均勻設(shè)計(jì)1目錄引言總體均值模型均勻性度量-偏差均勻設(shè)計(jì)的構(gòu)造好格子點(diǎn)法及其推廣隨機(jī)優(yōu)化法均勻設(shè)計(jì)的應(yīng)用正交性與均勻性的聯(lián)系25.1引言傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的未知參數(shù)正交設(shè)計(jì)：主效應(yīng)和二階交互效應(yīng)的個(gè)數(shù)為最優(yōu)回歸設(shè)計(jì)：多元二次模型的未知參數(shù)個(gè)數(shù)為3模型未知設(shè)計(jì)：均勻布點(diǎn)建模：尋找近似模型g:未知函數(shù);

x1,

,xs

:s

個(gè)因素;T=[a1,b1]

[as,bs]:試驗(yàn)區(qū)域,

其中

aj

xj

bj,j=1,

,s4例1.6(續(xù))事先假設(shè)模型未知試驗(yàn)次數(shù)n=12,取q(=2,3,4,6,12)個(gè)不同的均勻的試驗(yàn)點(diǎn)，并作適當(dāng)重復(fù)(n/q

次)。采用d階多項(xiàng)式回歸模型重復(fù)N=501次試驗(yàn)，得到各模型的N個(gè)MSE。取中位數(shù)對(duì)應(yīng)的模型如下圖565.2總體均值模型試驗(yàn)區(qū)域上的總體均值用試驗(yàn)點(diǎn)集P={x1,···,

xn}

上的響應(yīng)值的樣本均值估計(jì)Koksma-Hlawka

不等式：其中V(g)是函數(shù)的全變差，D*(P)為設(shè)計(jì)的星偏差。均勻設(shè)計(jì)可以滿(mǎn)足要求，且穩(wěn)健。75.3均勻性度量例試驗(yàn)區(qū)域:Cs=[0,1]s，P={x1,,xn}:Cs

上的n

個(gè)點(diǎn).8D(XP)在X的行交換或列交換是不變的，即改變?cè)囼?yàn)點(diǎn)的編號(hào)，或改變因素的編號(hào)，不影響D(XP)的值；若將XP

關(guān)于平面xj

=1/2反射，即將XP

的任一列(x1j,···,xnj)′變?yōu)?1?x1j,···,1?xnj)′，則它們有共同的D(XP)；D(XP)不僅能度量XP

的均勻性，而且也能度量XP投影至Rs

中任意子空間的均勻性。滿(mǎn)足Koksma-Hlawka

不等式(5.8)；易于計(jì)算；與其它的試驗(yàn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則有一定的聯(lián)系，例如混雜、正交性，平衡性，等等；均勻性度量的要求：9Lp-星偏差其中，F(xiàn)u(x)=x1…xs

為Cs

上的均勻分布函數(shù)，x=(x1,…,xs).

FP(x)表示設(shè)計(jì)P={x1,···,xn}的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。10局部偏差函數(shù)其中則Lp-星偏差為11[0,x)

中的局部偏差函數(shù)xJx比率

=5/30 =0.167面積

=0.1615xJx比率

=9/30 =0.3

面積

=0.2875xJx比率

=6/30 =0.2

面積

=0.243812L2–星偏差Lp-

星偏差的缺點(diǎn):

Dp(P)

旋轉(zhuǎn)不可逆，原點(diǎn)

0

占有非常重要的位置沒(méi)有考慮投影的均勻性13(a)D(P)=0.1611(b)D(P)=0.1500(c)D(P)=0.1411(d)D(P)=0.1389設(shè)計(jì)的旋轉(zhuǎn)D(P)

14其中，需在

Rs

的所有低維上求和

u :{1,2,,s}

的非空子集;

xu :

X

在

Cu

上的投影；

Jx :預(yù)先由

x

確定的區(qū)域;

Jxu :Jx

在

Cu

上的投影。不同的

Jx

會(huì)導(dǎo)致不同的偏差定義.改進(jìn)的偏差15中心化偏差對(duì)應(yīng)的

JxxJx比率

=5/30 =0.167面積

=0.1615比率

=2/30 =0.0667面積=0.0478xJx比率

=2/30 =0.0667面積=0.0741Jxx16可卷偏差

(WD)17再生核希爾伯特空間希爾伯特空間：完備的內(nèi)積空間核函數(shù)：18可分核：再生核19再生核希爾伯特空間20偏差定義：在偏差的定義中，目標(biāo)函數(shù)取X上的均勻分布Fu。此時(shí)，偏差(5.25)式的具體計(jì)算公式為21(a)中心化偏差:22(b)可卷偏差:23(c)離散偏差:式中，當(dāng)xij

=xkj

時(shí)δxijxkj

=1，否則為0。24(d)Lee偏差:式中βijk

=min{|xik?xjk|,1?|xik

?xjk|}25例5.2不同5水平設(shè)計(jì)的偏差的比較表5.2.兩因素五水平的設(shè)計(jì)不同的偏差值2627例5.3不同6水平設(shè)計(jì)的偏差的比較表5.3.兩因素六水平的設(shè)計(jì)28例5.3(續(xù))295.4

均勻設(shè)計(jì)的構(gòu)造均勻設(shè)計(jì)的基本要素因素個(gè)數(shù)和試驗(yàn)個(gè)數(shù)：s，n試驗(yàn)范圍：超矩形、單純性均勻性測(cè)度：某種偏差試驗(yàn)設(shè)計(jì)空間：全體試驗(yàn)設(shè)計(jì)PX

30均勻設(shè)計(jì)給定試驗(yàn)的諸元素(n,s,X)及均勻性測(cè)度D，若一個(gè)設(shè)計(jì)P?∈PX

具有最小的偏差值，即D(P?)=minD(P),則稱(chēng)P?為在(n,s,X,D)下的均勻設(shè)計(jì)，或簡(jiǎn)稱(chēng)為均勻設(shè)計(jì)。求解均勻設(shè)計(jì)的方法分類(lèi)：(A)理論求解；(B)優(yōu)化數(shù)值求解；(C)求近似解。31均勻設(shè)計(jì)的理論解單因素試驗(yàn)中心化偏差可卷偏差不同的偏差，其相應(yīng)的均勻設(shè)計(jì)可以不同也可以相同32均勻設(shè)計(jì)的近似解U

型設(shè)計(jì)

若

n×s矩陣U=(uij)中第j列的取值為1,2,···,qj

且這

qj

個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，該設(shè)計(jì)稱(chēng)為U型設(shè)計(jì)，記為

U(n;q1,···,qs)。33縮小設(shè)計(jì)空間利用U型設(shè)計(jì)，尋求均勻設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)空間可大大縮小如下：?(n;ns)為設(shè)計(jì)U(n;ns)的導(dǎo)出矩陣，即U

=

(uij)

=

U(n;ns)?(n;ns)

=(xij)其中

xij

=(uij-0.5)/n34給定n和s，若設(shè)計(jì)的第一列選取為自然順序1,2,···,n，則總共有(n!)s?1

個(gè)U型設(shè)計(jì)U(n;ns)，即使n和s不算太大，(n!)s?1

也是難以用窮舉法來(lái)尋找均勻設(shè)計(jì)。好格子點(diǎn)法(glpm)

是有效的quasi-MonteCarlo方法

(N.M.Korobov(1959),E.Hlawka(1962),H.Niederreiter(1978),L.K.Hua,Y.Wang(1981),J.E.N.Shaw(1988),K.T.FangandY.Wang(1994).5.5好格子點(diǎn)法35Glpm

構(gòu)造

Un(ns)

的步驟尋找備選的正整數(shù)集

Hn={h:h<n,gcd(n,h)=1.}，若Hn

中元素個(gè)數(shù)不小于s，轉(zhuǎn)步驟2，否則glpm

無(wú)法構(gòu)造需要的均勻設(shè)計(jì)，退出程序在

Hn

中選取

h1,h2,,

hs,產(chǎn)生一個(gè)

n

s

的矩陣

U=(uij)，

其中

uij=ihj

(modn),

其中模運(yùn)算要求1

uij

n.記

U

為

U(n,h),其中

h=(h1,

,hs)稱(chēng)為

U

的生成向量.記

Un,s

為所有

U(n,h)

的設(shè)計(jì).在Un,s

中選擇使得偏差值最小的設(shè)計(jì)即為所求的(近似)均勻設(shè)計(jì)Un(ns).12336例

5.5對(duì)于

n=15，s=2

g.c.d{1,15}=1

g.c.d{2,15}=1

g.c.d{3,15}=3xxxxxxx37在中心化偏差意義下，當(dāng)生成向量

h*=(1,11)時(shí)，U(15,h*)的偏差最小，故得均勻設(shè)計(jì)

U15(152).h*=(1,11)CL22=0.00160038好格子點(diǎn)法的注意事項(xiàng)生成向量中元素與n互質(zhì)的的目的是使得向量hj

=(hj,2hj,···,nhj)(modn)構(gòu)成{1,2,···,n}

的一個(gè)置換；給定n，其唯一的素?cái)?shù)分解為，與其互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為歐拉函數(shù)?(n)歐拉函數(shù)?(n)的個(gè)數(shù)多少對(duì)最后選擇出來(lái)的設(shè)計(jì)的均勻性有很大影響。39例當(dāng)

n=6,H6={1,5}，其元素個(gè)數(shù)只有2.則好格子點(diǎn)法得到的設(shè)計(jì)

U6(62)均勻性不好.因此,由

H6

更不可能得到U6(6s),s>240修正的好格子點(diǎn)法尋找備選的正整數(shù)集Hn+1在Hn+1

中選擇s個(gè)不同元素

h=(h1,h2,,

hs),產(chǎn)生一個(gè)

(n+1)

s

矩陣

U(n+1,

h1,,

hs).

去掉第n+1行得到設(shè)計(jì)U(n,h),其全體記為

Un,s

.選擇

使得

有最小偏差

則U*

為(近似)均勻設(shè)計(jì).123U*U*

Un,s

41例(續(xù))當(dāng)

n=6,得

H7={1,2,3,4,5,6}修正的好格子點(diǎn)法U6*(62)好格子點(diǎn)法U6(62)所有

U6(6s),s

6的近似均勻設(shè)計(jì)可用H7

得到.近似均勻設(shè)計(jì)

U6(62)42方冪好格子點(diǎn)法構(gòu)造

Un(ns)

的步驟尋找正整數(shù)集

An,s

={a:a<n,gcd(a,n)=1,且a,a2

···,as

在

模

n

的意義下互不相同}.對(duì)每個(gè)a∈

An,s，按下面方法生成

U型設(shè)計(jì)Ua

=(uija):

uija

=iaj?1(modn),i=1,···,n;j=1,···,s.這里同余運(yùn)算是把數(shù)減去n的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)后落入?yún)^(qū)間[1,n]。在所有的Ua

中選擇a?

∈

An,s

使得Ua?

的具有最小的偏差。則Ua?

即為(近似)均勻設(shè)計(jì)Un(ns)。12343切割法構(gòu)造

Un(ns)

的步驟初始設(shè)計(jì)：設(shè)Up

=(uij)為試驗(yàn)次數(shù)p

的均勻設(shè)計(jì)Up(ps)，其中p>n，最好p?n，且p

或p+1為素?cái)?shù)。行排列：對(duì)于

l∈{1,···,s}，矩陣

Up

的各行按照第

l列的元素的大小重新排序，使得第

l列變?yōu)?,···,p，變化后的矩陣記為Up(l)=(uij(l))。切割：對(duì)于m=1,···,p,設(shè)n×s

的矩陣Up(l,m)=(uij(l,m)),其中12344切割法構(gòu)造

Un(ns)

的步驟新設(shè)計(jì)空間：對(duì)矩陣Up(l,m)

每一列的n個(gè)元素，根據(jù)其大小從最小到最大分別重記為1到n，重記后的矩陣為U(l,m)，則為U型設(shè)計(jì)。共有ps

個(gè)這樣的U型設(shè)計(jì)。推薦的設(shè)計(jì)：對(duì)于給定的偏差準(zhǔn)則

D，比較這

ps

個(gè)

U型設(shè)計(jì)U(l,m)，偏差最小的設(shè)計(jì)即為欲求的(近似)均勻設(shè)計(jì)

Un(ns)。45注：步驟1的初始設(shè)計(jì)可以用好格子點(diǎn)法構(gòu)造，或當(dāng)n,s較大時(shí)，用方冪glpm

構(gòu)造。步驟5中的偏差可以為中心化偏差、可卷偏差，等等。45例5.6初始設(shè)計(jì)任選一列，如第三列，排序取m=13，應(yīng)用(5.36)式得到構(gòu)造一個(gè)均勻設(shè)計(jì)U9(93)46例5.6(續(xù))按該列的大小關(guān)系，從最小到最大分別重記為1到9，所有得到的設(shè)計(jì)中，U(3,13)有最小的中心化偏差0.1027，比直接用glpm

得到的偏差0.1044要小。47切割法的優(yōu)點(diǎn)給定一個(gè)初始設(shè)計(jì)Up(ps)，可以找到多個(gè)不同n和s的近似均勻設(shè)計(jì)Un(ns),n<p；用切割法構(gòu)造的設(shè)計(jì)比直接用glpm

構(gòu)造的設(shè)計(jì)均勻性更好；該設(shè)計(jì)不太依賴(lài)于偏差準(zhǔn)則。48大試驗(yàn)次數(shù)的設(shè)計(jì)雙因素試驗(yàn)

Fibonacci序列{Fn}：F0=0,F1=1,Fn+1=Fn

+Fn?1(n>1)。則對(duì)于試驗(yàn)次數(shù)為Fm(m≤3)的兩因素試驗(yàn)，由(1,Fm?1)作為生成向量的設(shè)計(jì)具有很好的均勻性。多因素試驗(yàn)

設(shè)a1,···,as

為s個(gè)不同的正整數(shù)，記Fi

=ai(i

=1,···,s),Fm

=Fm?1+Fm?2+···+Fm?s+1(m>s)，則稱(chēng)序列{Fm}

為廣義Fibonacci序列，則試驗(yàn)次數(shù)為Fm(m>3)的設(shè)計(jì)可由(1,Fm?1,Fm?2,···,Fm?s+1)作為生成向量構(gòu)造，對(duì)較大的n，所獲的設(shè)計(jì)具有較好的均勻性。49設(shè)

Un,s

為全體

U(n;ns)的設(shè)計(jì).我們尋找

U*

Un,s

使其在給定的偏差準(zhǔn)則D

下達(dá)到最小,即5.6隨機(jī)優(yōu)化法50優(yōu)化問(wèn)題的困難:

即使對(duì)于一般大小的n

和s，備選集是很大的有限集合。

對(duì)于該問(wèn)題，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法失效.局部極小值可能成百上千個(gè).遺傳算法門(mén)限接受法模擬退火因此，需要尋找更佳的優(yōu)化算法

U*.51模擬退火算法的思想當(dāng)新設(shè)計(jì)優(yōu)于當(dāng)前設(shè)計(jì)，即新設(shè)計(jì)的偏差低于當(dāng)前設(shè)計(jì)，接受新設(shè)計(jì)，然后把新設(shè)計(jì)作為當(dāng)前設(shè)計(jì)；若新設(shè)計(jì)比當(dāng)前設(shè)計(jì)差，則用一定的小概率接受新設(shè)計(jì)門(mén)限接受法：當(dāng)新設(shè)計(jì)比當(dāng)前設(shè)計(jì)差的不太多時(shí)，直接接受新設(shè)計(jì)，換句話(huà)說(shuō)，其判斷準(zhǔn)則采用硬門(mén)限，而不是用一定的概率。52設(shè)

f(x)為定義在

G

(

Rs)

上的函數(shù).尋找

x*

使得對(duì)于任意x

G，其鄰域

N(x)需事先給定。53門(mén)限接受法的示意圖545.7均勻設(shè)計(jì)的應(yīng)用確定因素：對(duì)于具體問(wèn)題，選擇因素和相應(yīng)的試驗(yàn)范圍、水平數(shù)；試驗(yàn)方案：選擇相應(yīng)的均勻設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)方案；作試驗(yàn)：按試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，得到相應(yīng)的響應(yīng)值；建模：根據(jù)因素的取值及相應(yīng)的響應(yīng)值建立合適的模型；預(yù)報(bào)：根據(jù)建立的模型給出響應(yīng)和因素間的關(guān)系，同時(shí)尋找其極值點(diǎn)；追加試驗(yàn)：具體步驟：555.7.1僅有定量變量的試驗(yàn)例5.7.在某化工的合成工藝中，為了提高產(chǎn)量，試驗(yàn)者選了四個(gè)因素：原料配比(x1)，反應(yīng)溫度(x2)，反應(yīng)時(shí)間(x3)及加堿量(x4)，試驗(yàn)區(qū)域?yàn)閇1,5.4]×[5,60]×[1,6.5]×[15,70].(5.49)每個(gè)因素均取了12個(gè)水平：原料配比(mol/mol):1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.8,4.2,4.6,5.0,5.4;反應(yīng)溫度(℃):5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60;反應(yīng)時(shí)間(h):1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5,5.0,5.5,6.0,6.5;加堿量(ml):15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70.全面試驗(yàn)次數(shù)：124=207365657多項(xiàng)式回歸模型(逐步回歸法)一次模型

?=0.063+0.004x2+0.046x3,

R2=86.9%，s2=0.0023二次模型?

=0.2259?0.0507x1+0.0096x12+0.0010x2x3

+0.00035x3x4

R2=98.5%，s2=0.0003，二次中心化模型沒(méi)有非中心化的二次模型好58統(tǒng)計(jì)診斷59方差分析表表5.7.例5.6的方差分析表60尋求更佳的工藝條件不難求得，當(dāng)?在

x1=2.6406,x2=60,x3=6.5,x4=70,達(dá)到極大值，?

=0.7082,它顯著地高于12次試驗(yàn)的最高y值0.6096。應(yīng)在最優(yōu)點(diǎn)做追加試驗(yàn)，假如通過(guò)追加模型，說(shuō)明該模型是合理時(shí)，由于x2,x3,x4

的取值都在其邊界點(diǎn)，故需要擴(kuò)大原來(lái)設(shè)定的取值范圍，再做追加試驗(yàn)。61混合水平625.7.2含定性變量的試驗(yàn)偽變量方法設(shè)定性變量x的值來(lái)自于不同的類(lèi)C1,···,Cq，則對(duì)x的數(shù)量化需要q?1個(gè)偽變量z1,···,zq?1：63回歸模型廣義線(xiàn)性模型二次模型變量篩選方法中，變量z1,···,zm

不