淺談“數(shù)學(xué)歸納法”論文摘要：“觀察—歸納—猜想—論證”的思想方法，既能發(fā)現(xiàn)問題，又能證明結(jié)論，還能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，它是由揭露個別事物或某一對象的部分屬性過渡到一般或整體的思維形式。由于歸納推理的過程和人類認(rèn)識進程的一致性，因而這種推理方法顯得非常自然，容易被人接受，是認(rèn)識數(shù)學(xué)真理的一個重要手段，其地位越來越重要，數(shù)學(xué)歸納法正是應(yīng)用這一思想方法來證明某些與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法。本文簡單總結(jié)了一下它的基本依據(jù)和證明過程，以及它兩個條件的內(nèi)在聯(lián)系，然后回顧了一下數(shù)學(xué)歸納法的各種其他形式，在原來的基礎(chǔ)上拓寬了對數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識。最后舉例說明數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，其中有代數(shù)、不等式方面的證明，也有幾何方面的典型例子，從中可以窺見數(shù)學(xué)歸納法的強大功能。正文：已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo（1575年）。Maurolico利用遞推關(guān)系巧妙的證明出證明了前n個奇數(shù)的總和是n^2，由此揭開了數(shù)學(xué)歸納法之謎。最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當(dāng)n屬于所有正整數(shù)時一個表達式成立，這種方法是由下面兩步組成：（1）遞推的基礎(chǔ)：證明當(dāng)n=1時表達式成立。（2）遞推的依據(jù)：證明如果當(dāng)n=m時成立，那么當(dāng)n=m+1時同樣成立。這種方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那么任何一個值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進行的過程中?；蛟S想成多米諾效應(yīng)更容易理解一些，如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定：第一張骨牌將要倒下，只要某一個骨牌倒了，與之相鄰的下一個骨牌也要倒，那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。這樣就確定出一種遞推關(guān)系，只要滿足兩個條件就會導(dǎo)致所有骨牌全都倒下：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意兩塊相鄰骨牌，只要前一塊倒下，后一塊必定倒下。這樣，無論有多少骨牌，只要保證（1）（2）成立，就會全都倒下。一．?dāng)?shù)學(xué)歸納法(證明某些與正整數(shù)有關(guān)的命題時常常采用的方法)證明命題的步驟：（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個值時命題成立；（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立；根據(jù)（1）和（2），可知命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立．應(yīng)用類比的方法，類比多米諾骨牌游戲和數(shù)學(xué)歸納法，在多米諾骨牌游戲過程中，體會所有骨牌都倒下，第1塊骨牌必須倒下，這是基礎(chǔ)，也是前提條件.在多米諾骨牌游戲過程中，第塊骨牌不能拿走，因為第塊骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保證，這就是多米諾骨牌游戲的連續(xù)性．分析：根據(jù)“第一塊骨牌倒下”抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第一步，即（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個值(,例如=1或)時,命題成立.根據(jù)“任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下”，抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第二步，即（2）（歸納遞推）假設(shè)時命題成立,證明當(dāng)時命題也成立.從完成“多米諾骨牌游戲”中，抽象出數(shù)學(xué)歸納法證明命題的結(jié)論，即由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立.通過對多米諾骨牌游戲的分析，讓我們了解了從具體到抽象的歸納和概括過程，從而理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).體會并理解“歸納奠基”和“歸納遞推”，知道只有把“歸納奠基”與“歸納遞推”結(jié)合起來，才能完成數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，理解數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟．二．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與其他數(shù)學(xué)方法的區(qū)別：“數(shù)學(xué)歸納法”它可以完成通過有限個步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立的命題的證明．例如，在高中階段，在等差數(shù)列和等比數(shù)列知識的學(xué)習(xí)過程中，我們用不完全歸納法推出了它們的通項公式，然而其中正確性的嚴(yán)格證明則需要用數(shù)學(xué)歸納法進行.歸納法和演繹法都是重要的數(shù)學(xué)方法，歸納法中的完全歸納法和演繹法都是邏輯方法；不完全歸納法是非邏輯方法，只是用于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不是用于數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)證明。數(shù)學(xué)歸納法不是演繹法，而是一種遞歸推理。它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題．它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮．其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法有歸納的思想，遞推的思想，特殊到一般的思想，有限到無限的思想方法．三．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本理論依據(jù)：數(shù)學(xué)歸納法的原理，通常被規(guī)定作為自然數(shù)公理。數(shù)學(xué)歸納法證明的是與自然數(shù)有關(guān)的命題，它的依據(jù)是皮亞諾提出的自然數(shù)的序數(shù)理論，就是通常所說的自然數(shù)的皮亞諾公理，內(nèi)容是：設(shè)是正整數(shù)的一個子集，且它具有下列性質(zhì)：①；②若，則．那么是全體正整數(shù)的集合，即）也叫做歸納公理．設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，我們把使成立的所有正整數(shù)組成的集合記為，如果要證明對于所有正整數(shù)都成立，只要證明即可．為此，根據(jù)歸納公理，首先證明（數(shù)學(xué)歸納法中的第一步“歸納奠基”正是進行這樣的證明）；其次證明若，則（數(shù)學(xué)歸納法中的第二步“歸納遞推”正是進行這樣的證明）．這樣即可得到，從而證明了命題對于一切正整數(shù)都成立．不難看出歸納公理是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩個證明步驟恰是驗證這條公理所說的兩個性質(zhì)．

四．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)時命題成立，利用這個假設(shè)，如果能推出當(dāng)時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有的正整數(shù)，………，命題都成立.也就是說，當(dāng)時命題成立，可以推出時命題成立，當(dāng)時命題成立，可以推出時命題成立，……．即命題真命題真命題真命題真．因此可知命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立．五．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的思維模式是：“觀察——歸納——猜想——論證”．?dāng)?shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點是借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)（取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的命題，在證明過程中，要分“兩個步驟和一個結(jié)論”．其中第一步是歸納奠基，只需驗證取第一個值（這里是使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，它不一定是1，可以是2，或取別的正整數(shù)）時命題成立；第二步是歸納遞推，就是要證明命題的傳遞性．把第一步的結(jié)論和第二步的結(jié)論聯(lián)系起來，才可以斷定命題對所有的正整數(shù)都成立．因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，完成了上述兩個步驟后，還應(yīng)該有一個總的結(jié)論．否則，還不能算是已經(jīng)證明完畢．所以，嚴(yán)格地說，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的完整過程應(yīng)該是“兩個步驟和一個結(jié)論”．缺了第（1）步，就沒有了歸納奠基；缺了第（2）步，就喪失了歸納遞推的過程；缺了結(jié)論，整個數(shù)學(xué)歸納法的過程就不能順利完成.“兩個步驟和一個結(jié)論”缺一不可。六．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的表現(xiàn)形式：第一數(shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，有如下步驟：證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n)都成立。第二數(shù)學(xué)歸納法：對于某個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)，驗證n=n0時P(n)成立；假設(shè)n0≤n<k時P(n)成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k+1)成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n)都成立。倒推歸納法（反向歸納法）：驗證對于無窮多個自然數(shù)n命題P(n)成立（無窮多個自然數(shù)可以是一個無窮數(shù)列中的數(shù)，如對于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；假設(shè)P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k)成立，綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n)都成立；螺旋式歸納法對兩個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)，Q(n)，驗證n=n0時P(n)成立；假設(shè)P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假設(shè)Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。數(shù)學(xué)歸納法還有幾種其他表現(xiàn)形式：

（一）簡單歸納法。即在歸納步中，歸納假設(shè)為“n=k時待證命題成立”。這是最常用的一種歸納法，稱為簡單歸納法，大家都比較熟悉，這里不再贅述。（二）廣義歸納法。數(shù)學(xué)歸納法不僅可用于含有自然數(shù)變元n的命題，經(jīng)推廣后，還可用于含有某些其它集合上的命題。這種集合，稱為歸納集。對于一個含有某個歸納集上的變元x的待證命題P（x），所用的歸納法稱之為廣義歸納法。定義：設(shè)有一個集合A，如果它滿足下面三個性質(zhì)：（1）a1，a2?，an是A中的元素（n≥1）；（2）如果x是A中元素，則f11（x），f12（x），?f1n1（x）也是A中的元素（n、＞0）；如果x，y是A是元素，則f21（x、y），f22（x，y），?f2n2（x，y）也是A中元素（n2＞0）；?；如果x1?，xm是A中元素，則fm1xl?xm），fm2（xl?，xm），?fmnm（x1?，xm）也是A中元素（m≥l，nm＞0）。（3）A中的元素僅限于此。則A稱之為歸納集a1，a2，?an稱為該集的開始元素，諸fij稱為該集的生成函數(shù)（其中第一下標(biāo)為該函數(shù)的元素，第二下標(biāo)以區(qū)分具有同樣元素的各函數(shù)）。按照上述的定義，自然數(shù)集是歸納集，它的開始元素是0，生成函數(shù)是f（x）=x＋1。前例中集｛a，b，c，d｝的元素利用“+”，“-”運算所構(gòu)成的一切表達式的集合是歸納集，開始元素是是a，b，c，d，生成函數(shù)為f21（x，y）=x＋y，f22（x，y）=x-y。在證明含有某個歸納集A上的變元X的待證命題P（x）時，可用如下的廣義歸納法。奠基步要證明（al），P（a2），??P（an）成立，這里al，a2?，an是A中的開始元素。歸納法要證明對于1≤i≤m及1≤j≤n的所有i、j對于A中的任何元素x1，x2?，xi，如果P（xl），P（x2），?，P（x1）成立，則P（fij（xx1，?，xi））也成立。在例4中，因為表達式所組成的集合是歸納集（記為A），我們可用廣義歸納法證之。奠基：對于A中的四個開始元素a，b，C，d，因為它們的標(biāo)識符個數(shù)為1，而運算符個數(shù)均為0，所以命題成立。歸納：對于A中的元素x，y，f21（x，y）=x＋y中，我們設(shè)x＋y標(biāo)識符個數(shù)為m，運算符個數(shù)為n；x中標(biāo)識符個數(shù)為ml，運算符個數(shù)為nl；x中標(biāo)識符個數(shù)為m2，運算符個數(shù)為n2；則m=ml+m2=（n1+1）＋（n2+1）（nl+n+1）+1=n+1.同理可證f22（x，y）=x-y也有如上的結(jié)果，故依廣義歸納法，本命題成立。七．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。數(shù)理邏輯和計算機科學(xué)廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式。證明數(shù)列前n項和與通項公式的成立。（4）證明和自然數(shù)有關(guān)的不等式。只針對偶數(shù)或只針對奇數(shù)：如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù)，而只是針對所有奇數(shù)或偶數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改：奇數(shù)方面：第一步，證明當(dāng)n=1時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。偶數(shù)方面:第一步，證明當(dāng)n=0或2時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。遞降歸納法：數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如“對任意的n”這樣的命題。對于形如“對任意的n=0,1,2,...,m”這樣的命題，如果對一般的n比較復(fù)雜，而n=m比較容易驗證，并且我們可以實現(xiàn)從k到k-1的遞推，k=1,...,m的話，我們就能應(yīng)用歸納法得到對于任意的n=0,1,2,...,m，原命題均成立。八．有關(guān)數(shù)學(xué)歸納法的例題：例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．請讀者分析下面的證法：證明：①n=1時，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立．②假設(shè)n=k時，等式成立，即：．那么當(dāng)n=k+1時，有：這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式亦成立．由①、②可知，對一切自然數(shù)n等式成立．評述：上面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明的方法是錯誤的，這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，當(dāng)n=k+1時，而是用拆項法推出來的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求．正確方法是：當(dāng)n=k+1時．這就說明，當(dāng)n=k+1時，等式亦成立，例2．是否存在一個等差數(shù)列{an}，使得對任何自然數(shù)n，等式：a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并證明你的結(jié)論．分析：采用由特殊到一般的思維方法，先令n=1，2，3時找出來{an}，然后再證明一般性．解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組．，解得a1=6，a2=9，a3=12，則d=3．故存在一個等差數(shù)列an=3n+3，當(dāng)n=1，2，3時，已知等式成立．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個等差數(shù)列an=3n+3，對大于3的自然數(shù)，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．因為起始值已證，可證第二步驟．假設(shè)n=k時，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)那么當(dāng)n=k+1時，a1+2a2+3a3+…+kak+(k+1)ak+1=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3]=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]這就是說，當(dāng)n=k+1時，也存在一個等差數(shù)列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．綜合上述，可知存在一個等差數(shù)列an=3n+3，對任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．例3．證明不等式(n∈N)．證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=2．左邊<右邊，不等式成立．②假設(shè)n=k時，不等式成立，即．那么當(dāng)n=k+1時，這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式成立．由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立．說明：這里要注意，當(dāng)n=k+1時，要證的目標(biāo)是，當(dāng)代入歸納假設(shè)后，就是要證明：．認(rèn)識了這個目標(biāo)，于是就可朝這個目標(biāo)證下去，并進行有關(guān)的變形，達到這個目標(biāo)．例4．已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1，當(dāng)n∈N時，an+2=an+1+an．求證：數(shù)列{an}的第4m+1項(m∈N)能被3整除．分析：本題由an+1=an+1+an求出通項公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法．①當(dāng)m=1時，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．②當(dāng)m=k時，a4k+1能被3整除，那么當(dāng)n=k+1時，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．因此，當(dāng)m=k+1時，a4(k+1)+1也能被3整除．由①、②可知，對一切自然數(shù)m∈N，數(shù)列{an}中的第4m+1項都能被3整除．例5．n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓??？分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證．當(dāng)n=2時，由圖(1)．兩個半圓交于一點，則分成4段圓弧，故f(2)=4=