基于二叉樹(shù)模型的美式期權(quán)定價(jià)

叉樹(shù)組合模型的應(yīng)用20世紀(jì)以來(lái)，金融理論發(fā)生了重大變化，現(xiàn)代金融理論的三大支柱：（1）資金的時(shí)間價(jià)值；（2）資產(chǎn)價(jià)格；（3）風(fēng)險(xiǎn)管理。本文擬對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理中的期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行推導(dǎo)和分析。對(duì)于期權(quán)的定價(jià)很早以前就有人進(jìn)行了探索,但是那些模型幾乎不具備什么使用價(jià)值,因?yàn)樗鼈兓蚨嗷蛏俚募舆M(jìn)了一些主觀參數(shù),如投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好,市場(chǎng)均衡價(jià)格等。直到1973年Black——Scholes——Merton期權(quán)定價(jià)模型的問(wèn)世,才真正奠定了期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ),但是該模型假設(shè)條件比較苛刻,涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)很深,而且只適用于歐式期權(quán)的定價(jià),因此1979年Cox,Ross,Rubinstein(CRR)提出了期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型。該模型易于理解,比較直觀,不僅適用于歐式期權(quán)的定價(jià),而且也適用于美式期權(quán)的定價(jià),應(yīng)用比較廣泛,已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。前人對(duì)二叉樹(shù)的研究大概主要集中在以下兩個(gè)方面,一方面是對(duì)該模型的應(yīng)用:比如胡敏杰(2005)用二叉樹(shù)方法建立可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型,并以復(fù)興轉(zhuǎn)債為例進(jìn)行了實(shí)證分析;甘泉,戴諷(2007)利用二叉樹(shù)方法對(duì)一類(lèi)衍生產(chǎn)品進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,得到產(chǎn)品在T=0時(shí)的價(jià)值。另一方面是對(duì)二叉樹(shù)純理論的推導(dǎo)與擴(kuò)展:其中Duffie,Huang(1985)對(duì)CRR模型做了進(jìn)一步地推導(dǎo),RenRawChen等(2002)對(duì)CRR模型進(jìn)行了擴(kuò)展,討論了多項(xiàng)標(biāo)的資產(chǎn)時(shí)的期權(quán)定價(jià);AlfredoIbonez(2003)討論了美式看跌期權(quán)的算法,通過(guò)牛頓(Newton)的方法計(jì)算最優(yōu)的執(zhí)行邊界,并且通過(guò)實(shí)際計(jì)算也表明這種方法是準(zhǔn)確有效的,且便于操作;RongwenWuandMichaelC.Fu(2005)也討論了美式期權(quán)最優(yōu)執(zhí)行政策,指出最優(yōu)政策就是一個(gè)門(mén)檻政策,然后采用了一種數(shù)學(xué)算法來(lái)為這樣的期權(quán)定價(jià),并且采用模擬的方法證實(shí)了這種定價(jià)方式是十分有效的;侯木舟,周耀瓊(2006)對(duì)目前普遍使用的期權(quán)定價(jià)二叉樹(shù)模型進(jìn)行了分析,利用隨機(jī)誤差校正方法推廣出了一種新型的二叉樹(shù)參數(shù)模型,但是僅僅限于對(duì)歐式的分析,沒(méi)有討論更復(fù)雜的美式期權(quán),而且缺乏具體的實(shí)際例子;張鴻雁,岳妍(2006)對(duì)二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)的無(wú)套利條件進(jìn)行了討論,得出單時(shí)段和多時(shí)段市場(chǎng)的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式,歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式,另外,在多階段市場(chǎng)討論了等價(jià)鞅測(cè)度Q及其有關(guān)的性質(zhì),在其它方面可以推廣應(yīng)用;陳金生,鄧迎春(2007)建立了支付股息歐式看漲期權(quán)的價(jià)格模型,并在此基礎(chǔ)上研究了兩種定價(jià)方法,但是該文章缺乏具體的算例,只是理論公式上的推導(dǎo),并且沒(méi)有討論更為復(fù)雜的美式期權(quán)的定價(jià);安占強(qiáng),徐潔媛(2007)完善了Rubinstein提出的非正態(tài)分布下二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型,首先按風(fēng)險(xiǎn)中性概率及股價(jià)動(dòng)態(tài)過(guò)程得出標(biāo)準(zhǔn)二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型,其次將標(biāo)準(zhǔn)二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型延伸至非正態(tài)分布期權(quán)定價(jià)模型,并推導(dǎo)出美式期權(quán)算法;陳怡(2007)指出在單期情況下,模型可以求出數(shù)值解,但是對(duì)于多期,模糊二叉樹(shù)模型可以對(duì)股價(jià)運(yùn)動(dòng)的不確定性進(jìn)行描述,而且可通過(guò)求解期望值的方法得出清晰的結(jié)果以便決策者進(jìn)行決策,然而如果能夠分開(kāi)討論不同類(lèi)型的期權(quán)就更加完美了。通過(guò)以上對(duì)文獻(xiàn)簡(jiǎn)單地回顧,可以看出前人的研究雖然都各具特點(diǎn),但是都存在一些不足:(1)只是側(cè)重于對(duì)某一類(lèi)型期權(quán)的定價(jià),沒(méi)有系統(tǒng)的討論不同類(lèi)型期權(quán)的定價(jià);(2)在討論模型時(shí)沒(méi)有結(jié)合實(shí)例,這不便于讀者的理解,也無(wú)法說(shuō)明其定價(jià)方法是否有效。因此下面筆者針對(duì)目前研究中存在的這些不足,利用二叉樹(shù)原理比較詳細(xì)的推導(dǎo)和討論了美式,歐式期權(quán)的定價(jià)過(guò)程,并且給出了簡(jiǎn)單的實(shí)際例子,以證明定價(jià)的有效性,同時(shí)也有助于讀者更好的理解推導(dǎo)過(guò)程。本文是從單期二叉樹(shù)開(kāi)始討論,逐步推廣到多期。首先推導(dǎo)歐式期權(quán)的定價(jià)公式,然后推導(dǎo)美式期權(quán)的定價(jià)公式,其中在每個(gè)定價(jià)方法討論結(jié)束后都給出了具體的例子,以方便讀者理解,文章的最后對(duì)本文做了個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)并指出了研究中存在的問(wèn)題及以后進(jìn)一步地研究方向。注意,本文如果沒(méi)有特別注明,符號(hào)所代表的意義前后一致,每個(gè)符號(hào)第一次出現(xiàn)時(shí)都附有注釋。二叉樹(shù)模型的假設(shè)條件包括:(1)資本市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)。(2)在資本市場(chǎng)內(nèi),交易成本為零,投資者可以任意的借貸資金。(3)投資者可以無(wú)限制的賣(mài)空任何資產(chǎn)。(4)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率固定不變。(5)標(biāo)的股票在期權(quán)到期日或之前沒(méi)有股利發(fā)放。(6)投資者是理性的。有了以上的假設(shè)條件,就可以方便的構(gòu)造出二叉樹(shù)模型,它的基本思想是構(gòu)造出包括看漲期權(quán)和股票在一小段時(shí)間上無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的“合成”組合,然后我們使這個(gè)合成組合的收益與已知的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率相等,從而推導(dǎo)出未知的期權(quán)價(jià)格。1.歐洲的等待1.1小波三月之后,三月形成一個(gè)小波,一個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)月(1)單期二叉樹(shù)(一個(gè)時(shí)間間隔單位t)。假定股票的價(jià)格在下一期只會(huì)出現(xiàn)兩種狀態(tài),即上漲或者下跌。如圖1所示:注:其中S表示股票在時(shí)刻0時(shí)的價(jià)格,su是股票在一個(gè)間隔單位t上漲后的價(jià)格,sd是股票在一個(gè)間隔單位t下跌后的價(jià)格。u>1代表股票上漲的百分比,0<d<1代表股票價(jià)格下降的百分比,fu,fd分別為相應(yīng)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的期權(quán)的價(jià)值。那么在一個(gè)間隔單位t處有:(為標(biāo)的股票的數(shù)量),令這兩個(gè)等式相等,可以求出這個(gè)組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)所需要股票的數(shù)量,即設(shè)r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,那么在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界中,在連續(xù)復(fù)利的條件下,組合在一個(gè)單位間隔t處的收益=期初收益,即?s-f=e-rt(?su-fu),把上式中的?帶入,經(jīng)過(guò)整理,得:例:如果股票目前的價(jià)格是100,三個(gè)月看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是110,在u=1.3,d=0.9,r=0.1的情況下,那么三個(gè)月后股票價(jià)格要么是130,要么是90,因此相對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格分別是fu=max(130-110,0)=20,fd=max(90-110,0)=0。根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原理有:130*?-20=90*?,得?=0.5。三個(gè)月后期權(quán)價(jià)格是20的概率是:期權(quán)價(jià)格是0的概率是:1-p=0.6867122,因此期權(quán)的價(jià)格為:f=e-0.1*0.25(0.3132878*20+0*0.6867122)=6.11。(2)雙期二叉樹(shù)(兩個(gè)時(shí)間單位間隔,即2t)。同理,如圖2所示,利用一期二叉樹(shù)的方法逐步推導(dǎo),一期期權(quán)價(jià)格為:利用風(fēng)險(xiǎn)中型定理,把式(2)式帶入中,得:例:基本條件與上一個(gè)例子相同,只是期限變?yōu)?個(gè)月,每三個(gè)月變動(dòng)一次。這樣我們就可以知道fuu=59,fud=7,fdd=0。因?yàn)樯仙母怕蕿?期權(quán)期初的價(jià)格為:我們可以發(fā)現(xiàn)二期的期權(quán)價(jià)格比一期的期權(quán)價(jià)格要高,這是因?yàn)槠跈?quán)的時(shí)間價(jià)值在起作用,所以我們有理由相信下面的N期期權(quán)的價(jià)格會(huì)更高,但是因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜,所以就不再給出具體的例子,在這里只做一個(gè)簡(jiǎn)單的解釋。(3)n期二叉樹(shù)(n個(gè)時(shí)間間隔單位,即nt)。設(shè)股票價(jià)格上漲的次數(shù)為k次,那么下降的次數(shù)為(n-k)次,s為股票在0時(shí)刻的價(jià)格,則任一個(gè)節(jié)點(diǎn)上股票的價(jià)格可以表示為snt=ukdn-ks,(其中n=0,1....)所以看漲期權(quán)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的內(nèi)在價(jià)值為max(ukdn-ks-x,0)(其中x為該期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格);以p表示股價(jià)上漲一次的概率,(1-p)表示股價(jià)下降一次的概率,因?yàn)槌薾次全部上漲和n次全部下降的情況,其他情況發(fā)生的路徑不止一條,所以其路徑條樹(shù)就等于n次中選取k次上升的排列樹(shù),即nck,因此利用上面的推導(dǎo)法就可以求出n期二叉樹(shù)定價(jià)公式:當(dāng)ukdn-ks-x<0,max(ukdn-ks-x)=0,當(dāng)ukdn-ks-x>0,我們就可以消除0項(xiàng),只保留正項(xiàng)。設(shè)g是一最小整數(shù)能使ugdn-gs-x>0,1.2關(guān)于節(jié)拍的計(jì)算該期權(quán)定價(jià)的推導(dǎo)過(guò)程與看漲期權(quán)定價(jià)的推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似,只需要把f=max(sukdn-k-x,0)改為f=max(x-sukdn-k,0)就可以了,或者依據(jù)歐式期權(quán)看漲看跌平價(jià)公式來(lái)為其定價(jià),即看漲期權(quán)多頭+ke-rt現(xiàn)金=看跌期權(quán)多頭+股票多頭,用公式表示為:因此看跌期權(quán)的定價(jià)為:例:因?yàn)闅W式看跌期權(quán)計(jì)算過(guò)程幾乎與看漲期權(quán)一致,因此這里不繼續(xù)做具體的計(jì)算,而是直接給出二期的計(jì)算結(jié)果,僅僅與看漲期權(quán)的價(jià)格做對(duì)比,以幫助讀者更好的理解。繼續(xù)沿用上面的例子,我們可以看出fuu=0,fud=0,fdd=0。那么直接套用公式(3),得f=13.01。2.美國(guó)特權(quán)與式禁止權(quán)的定價(jià)因?yàn)槊朗狡跈?quán)的執(zhí)行日是不確定的,在期權(quán)的有效期內(nèi)的任何一個(gè)交易日,只要提前執(zhí)行有利,投資者就可以執(zhí)行,因此美式期權(quán)的定價(jià)比歐式期權(quán)的定價(jià)要復(fù)雜很多,在二叉樹(shù)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上都需要比較期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值,取其中較大者,即為了討論方便,令期權(quán)的時(shí)間價(jià)值為v,內(nèi)在價(jià)值為w。2.1提前執(zhí)行的合理性對(duì)一個(gè)單周期二叉樹(shù),在時(shí)刻0時(shí),如果沒(méi)有執(zhí)行,則在該點(diǎn)期權(quán)的價(jià)值為:v=e-rt[p(x-su)++(1-p)(x-sd)+],如果執(zhí)行,則在該點(diǎn)期權(quán)的價(jià)值為:w=[x-s]+。因此按照二叉樹(shù)中第6條假設(shè),投資者在時(shí)刻0會(huì)選擇max(v,w),但是w,v的大小與su,sd,x的大小有關(guān),所以必須分三種情況討論:(1)x>su(2)su>x>sd(3)sd>x。第一種情況:v=e-rtx-s<x-s=w,則在0時(shí)刻執(zhí)行;第三種情況,若不執(zhí)行,v=0,若執(zhí)行,s>sd>k,則w<0,所以投資者不會(huì)提前執(zhí)行;第二種情況,投資者可能執(zhí)行也可能不執(zhí)行,因此就有必要討論執(zhí)行的臨界價(jià)格,設(shè)執(zhí)行的臨界價(jià)格是s*,則w=x-s*=v=e-rt(1-p)(x-sd),即若標(biāo)的價(jià)格低于這個(gè)臨界價(jià)格,提前執(zhí)行該期權(quán)是最優(yōu)的,反之就不執(zhí)行。例:因?yàn)樯厦娴睦右呀?jīng)分別討論了一期和二期的情況,所以為了加深讀者的理解,筆者在這里討論三期的情況。假設(shè)股票現(xiàn)在的價(jià)格是100,股價(jià)每三個(gè)月波動(dòng)一次,期限是九個(gè)月,r=0.1,u=1.2,d=0.8,執(zhí)行價(jià)格是104。首先,很容易得出各個(gè)節(jié)點(diǎn)上股票價(jià)格分別是:三個(gè)月時(shí)su=120,sd=80;六個(gè)月時(shí)suu=144,sud=96,sdd=64;九個(gè)月時(shí)suuu=172.8,suud=115.2,sudd=76.8,sddd=51.2。然后,從期權(quán)到期日開(kāi)始,倒推出這個(gè)期權(quán)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的價(jià)值。九個(gè)月時(shí)各個(gè)節(jié)點(diǎn)上期權(quán)的價(jià)值:六個(gè)月時(shí)各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的持有價(jià)值:同理,fud=11.59,fdd=37.43;所以,在節(jié)點(diǎn)fuu上,這個(gè)期權(quán)時(shí)間價(jià)值與內(nèi)在價(jià)值max(104-144,0)都是0,在節(jié)點(diǎn)fud上,時(shí)間價(jià)值為11.59,而內(nèi)在價(jià)值為max(104-96,0)=8,應(yīng)該繼續(xù)持有,在節(jié)點(diǎn)fdd上,時(shí)間價(jià)值為37.43,而內(nèi)在價(jià)值為max(104-64,0)=40,存在著提前執(zhí)行的可能性;在三個(gè)月時(shí)各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值:fu=4.94,fd=23.4,又因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)fu上內(nèi)在價(jià)值為max(104-120,0)=0,因此應(yīng)該繼續(xù)持有,在節(jié)點(diǎn)fd上內(nèi)在價(jià)值為max(104-80,0)=24,因此存在提前執(zhí)行的可能性?？傊?依據(jù)上面討論的執(zhí)行臨界條件,把相關(guān)數(shù)據(jù)帶入公式就可以求出臨界價(jià)格為90.56162,若股票的價(jià)格低于這個(gè)臨界價(jià)格,提前執(zhí)行該權(quán)是最優(yōu)的把上述分析推廣到n期,采用推導(dǎo)公式:逆向推導(dǎo),在每一節(jié)點(diǎn)都要對(duì)期權(quán)是否提前執(zhí)行進(jìn)行判斷。(1)若wnt,k>vnt,k,則在(nt,k)提前執(zhí)行,取f=nt,kwnt,k。(2)若w<nt,kvnt,k,則在(nt,k)不執(zhí)行,取fnt,k=vnt,k。這個(gè)公式對(duì)于美式看跌看漲期權(quán)都適用,但是對(duì)于看漲期權(quán)如果也這么討論,就顯得非常煩瑣,因此下面筆者詳細(xì)地討論了一種比較簡(jiǎn)單的方法。2.2不同公司標(biāo)準(zhǔn)的臨界價(jià)格由前面的討論我們清楚地看到,當(dāng)標(biāo)的股票不支付現(xiàn)金股利時(shí),該期權(quán)不應(yīng)該提前執(zhí)行,這時(shí)該期權(quán)定價(jià)和歐式期權(quán)沒(méi)有什么區(qū)別;但是,當(dāng)在期權(quán)有效期內(nèi)發(fā)放股利,那么就有可能提前執(zhí)行會(huì)獲得比較高的利益。因此必需找出投資者是否決定提前執(zhí)行的股價(jià)臨界點(diǎn)(注:討論發(fā)放股利已經(jīng)放寬了CRR的假定條件)。我們知道,在到期前任一時(shí)刻,該期權(quán)的價(jià)值取值范圍是snt≥fnt≥snt-x,即在nt時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的最大值不超過(guò)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)值,而最小值不低于在該時(shí)刻期權(quán)的執(zhí)行價(jià)值,所以我們?cè)O(shè)該投資者決定是否提前執(zhí)行的股票價(jià)格的臨界價(jià)格為s*nt,支付股息前記做(nt)-,支付股息后記做(nt)+,Dnt為在nt時(shí)刻股息支付額。因?yàn)橐话阒Ц豆衫紩?huì)導(dǎo)致股價(jià)下跌,所以s(nt)+=s(nt)--Dnt。若在(nt)-點(diǎn)執(zhí)行,期權(quán)價(jià)值為s(nt)--x,若不執(zhí)行,期權(quán)價(jià)值為f(nt)+,其中f(nt)+可用遞推法由后面的節(jié)