推廣一元函數(shù)微分學(xué)二元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同二元函數(shù)微積分二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分一、區(qū)域二、二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分區(qū)域平面上滿足某個(gè)條件的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合。平面點(diǎn)集：平面區(qū)域：由平面上一條或幾條曲線所圍成的部分平面點(diǎn)集稱為平面區(qū)域，通常記作D。01·邊界閉區(qū)域開區(qū)域二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分00型區(qū)域型區(qū)域常見區(qū)域由四條曲線圍成由四條曲線圍成二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分鄰域:01·二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分二元函數(shù)的概念二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分一元函數(shù)二元函數(shù)定義域自變量個(gè)數(shù)一個(gè)：兩個(gè)：在數(shù)軸上討論（區(qū)間）在平面上討論（區(qū)域）二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分定義：在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分同樣可定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分例1.

求解：在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，要求二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，只需將另一個(gè)自變量看做常量，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可。二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分例2.

設(shè)證:例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分練習(xí)二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分解：

二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程二元函數(shù)微積分——偏導(dǎo)數(shù)和全微分內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先求后代（把其他變量視為常數(shù)）利用定義

求