（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》1.2一元二次方程的解法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一直接開平方法◆1、用直接開平方法解一元二次方程（1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．（2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；（3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．◎◎◎注意事項(xiàng)：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二配方法◆1、將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．◆2、用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三公式法◆1、把x=-b±b2-4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝◆2、用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．◆3、用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．【注意】：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四因式分解法◆1、用因式分解法解一元二次方程：（1）若一元二次方程整理后右邊為0，且左邊能進(jìn)行因式分解，則宜選用因式分解法．（2）因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解．◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．題型一用直接開平方法解一元二次方程題型一用直接開平方法解一元二次方程【例題1】（2023?西青區(qū)二模）方程（x+6）2﹣9＝0的兩個(gè)根是（）A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9解題技巧提煉左平方，右非負(fù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，二次方程有實(shí)根，兩根分別寫清楚.【變式1-1】（2022秋?玄武區(qū)期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（）A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．x1=3，x2=-3 D．x1＝【變式1-2】（2022秋?路北區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m無(wú)實(shí)數(shù)根，那么m滿足的條件是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1【變式1-3】（2023春?蓬萊區(qū)期中）若一元二次方程ax2﹣b＝0的兩個(gè)根分別為m+1，2m﹣4，則baA．4 B．5 C．6 D．7【變式1-4】（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【變式1-5】（2022秋?蓮湖區(qū)校級(jí)期中）解下列方程：（1）9x2＝25；（2）6（x+2）2＝48．【變式1-6】（2022秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）14（2x+3）2﹣54＝0題型二用配方法解一元二次方程題型二用配方法解一元二次方程【例題2】（2023?隴南模擬）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正確的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝0解題技巧提煉用配方法解題過(guò)程中的靈活應(yīng)用：常數(shù)項(xiàng)可被二次項(xiàng)系數(shù)整除的，可先將系數(shù)化為1；常數(shù)項(xiàng)不能被二次項(xiàng)系數(shù)整除的，先移項(xiàng)更加簡(jiǎn)單.【變式2-1】（2023?乾安縣三模）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，將方程變?yōu)椋▁﹣m）2=13的形式，則m的值為【變式2-2】（2023?陽(yáng)谷縣二模）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5時(shí)，此方程可變形為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（）A．3 B．﹣1 C．11 D．7【變式2-3】（2023春?淮北月考）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0時(shí)，將方程配方為（x﹣m）2＝n，則m、n的值分別為（）A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2【變式2-4】（2023?東阿縣一模）將一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b為常數(shù)）的形式，則ab＝．【變式2-5】用配方法解方程：（1）x2﹣10x﹣2＝0；（2）y（y+3）=74；（3）2x2+x+1＝6x﹣【變式2-6】（2022秋?潁州區(qū)校級(jí)期末）用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．題型三用公式法解一元二次方程題型三用公式法解一元二次方程【例題3】用公式法解方程4x2﹣12x＝3得到（）A．x1=-3+62，x2=-3-62 B．x1C．x1=-3+232，x2=-3-232 D．x解題技巧提煉運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要把方程化成一般形式，再確定a，b，c的值，并且不要出現(xiàn)符合錯(cuò)誤．【變式3-1】（2023?豐順縣校級(jí)開學(xué)）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（）A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0【變式3-2】（2023?湘潭開學(xué)）用求根公式解一元二次方程3x2﹣2＝4x時(shí)a，b，c的值是（）A．a(chǎn)＝3，b＝﹣2，c＝4 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣4，c＝﹣2 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝﹣2【變式3-3】（2022春?瑯琊區(qū)校級(jí)月考）我們規(guī)定一種新運(yùn)算“★”，其意義為a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，則x的值為（）A．x＝﹣26 B．x1＝﹣4，x2＝11 C．x1＝2，x2=-112 D．x1＝﹣2，x【變式3-4】若代數(shù)式4x2﹣2x﹣5與2x2+1的值互為相反數(shù)，則x的值為（）A．1或-32 B．1或-23 C．﹣1或23 【變式3-5】用公式法解方程：（1）2x2﹣3x＝5；（2）3x（x﹣2）+1＝0；（3）6x2+2＝﹣5x．【變式3-6】用公式法解方程：（1）x2+x﹣6＝0；（2）x2-3x-1（3）3x2﹣6x+2＝0；（4）4x2﹣6x＝0．題型四用因式分解法解一元二次方程題型四用因式分解法解一元二次方程【例題4】（2023?晉城模擬）一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解為（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1解題技巧提煉因式分解法適用的條件，若一元二次方程右邊為0，左邊比較容易分解為兩個(gè)一次式乘積的形式，則常用因式分解法解方程．【變式4-1】（2023春?甌海區(qū)期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（）A．5和-12 B．-12 C．5 D【變式4-2】（2023?臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1【變式4-3】（2023春?鹿城區(qū)期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根為x1＝3，x2＝7，則方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是．【變式4-4】（2023春?肇源縣期中）方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A．12 B．15 C．12或15 D．18或9【變式4-5】（2022春?天橋區(qū)校級(jí)期中）用因式分解法解下列一元二次方程：（1）x2﹣6x+8＝0；（2）3x﹣x2＝x﹣3；（3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【變式4-6】（2022秋?金鄉(xiāng)縣期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了．過(guò)程為：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．題型五用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠填}型五用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭纠}5】（2023春?金寨縣期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）7x2＝21x；（2）x2﹣6x＝﹣8；（3）2x2﹣6x﹣1＝0；（4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．解題技巧提煉選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠虝r(shí)，要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，先考慮直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法時(shí)，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程．【變式5-1】用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）x2﹣x﹣1＝0；（2）（y﹣1）2﹣25＝0；（3）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．【變式5-2】（2022秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）解方程：（1）用配方法解方程：x2﹣2x＝4x+3；（2）14x2﹣x﹣4＝0（3）4（x﹣1）2﹣36＝0；（4）（x+1）（x﹣2）＝4．【變式5-3】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2+4x﹣6＝0．（2）（x+4）2＝5（x+4）．（3）3x2﹣1＝4x．（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．【變式5-4】解下列方程：（1）x2﹣4x＝3；（2）3x2﹣4x﹣1＝0；（3）2y2+4y＝y(tǒng)+2；（4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．【變式5-5】一元二次方程有多種解法，如因式分解法、開平方法、配方法和公式法，還可以運(yùn)用十字相乘法，請(qǐng)從以下一元二次方程中任選兩個(gè)，并選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@個(gè)方程．①x2﹣4x﹣1＝0；②x（2x+1）＝8x﹣3；③x2+3x+1＝0；④x2﹣9＝4（x﹣3）．題型六用十字相乘法解一元二次方程題型六用十字相乘法解一元二次方程【例題6】（2023?濱海新區(qū)二模）方程x2+10x+9＝0的兩個(gè)根是（）A．x1＝1，x2＝9 B．x1＝﹣1，x2＝9 C．x1＝1，x2＝﹣9 D．x1＝﹣1，x2＝﹣9解題技巧提煉①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．【變式6-1】（2023?河?xùn)|區(qū)二模）方程x2﹣4x﹣5＝0的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5【變式6-2】（2023?河北區(qū)一模）方程x2+7x+12＝0的兩個(gè)根為（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣4 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝3，x2＝4【變式6-3】（2023春?譙城區(qū)校級(jí)月考）下列各數(shù)中是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解的是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x＝3 D．x＝﹣3【變式6-4】用十字相乘法解下列方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0；（3）2x2﹣5x﹣3＝0；（4）2x2+15x+7＝0．【變式6-5】（2023春?寧明縣期中）閱讀理解題：在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個(gè)方法其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解，基本式子為：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），例如：分解因式x2﹣8x+12，x2＝x?x，12＝（﹣2）×（﹣6），按下圖排列：xx＜-2得到x2﹣8x+12＝（x﹣6）（x﹣2），這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：x2+4x﹣12；（2）先分解因式，再求值：（a2+2a）2﹣2（a2+2a）﹣3，其中a＝2．【變式6-6】閱讀下列材料：（1）將x2+2x﹣35分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：x2＝x?x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：7x+（﹣5x）＝2x．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．（2）根據(jù)乘法原理：若ab＝0，則a＝0或b＝0．試用上述方法和原理解下列方程：①x2﹣10x+21＝0；②x2﹣5x﹣6＝0；③3x2﹣2x﹣1＝0；④2x2+x﹣6＝0．題型七用換元法解一元二次方程題型七用換元法解一元二次方程【例題7】（2023春?濱海縣期中）如果有理數(shù)a、b同時(shí)滿足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值為（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不對(duì)解題技巧提煉1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．【變式7-1】（2022春?海門市校級(jí)期中）若（x2+y2+2）（x2+y2﹣3）＝6，