8.3.2球的體積與表面積教學設(shè)計-人教A版高中數(shù)學（2019）必修第二冊一、教學目標1.熟悉祖暅原理，利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想掌握球的體積和表面積公式的推導及應用；2.體會“分割、球近似值、再由近似值轉(zhuǎn)化為球的體積”的極限思想方法；3.了解外接球和內(nèi)切球的相關(guān)概念；4.通過本堂課的學習要培養(yǎng)學生的文化自信和民族自豪感；5.學會利用數(shù)學建模思想和數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng)解決與球相關(guān)問題.二、教學重難點重點：球的體積與表面積公式的應用；難點：球的體積與表面積公式的推導及其中的極限思維.三、教學過程教師活動學生活動設(shè)計意圖一、視頻導入播放祖暅原理視頻。問題1：祖暅原理的應用是什么？學生觀看視頻，理解什么是祖暅原理.視頻播完后，介紹祖暅及其突出的事跡，增強學生的文化自信，提升學生的民族自豪感二、實驗探究1.量沙實驗每個學習小組發(fā)一套同底等高的圓柱、圓錐、球體教具，讓學生動手實驗，并猜想出球的體積公式.學生通過量沙實驗很快猜出球的體積為對應圓柱體積減去圓錐的體積.學生動手實驗，并猜想出球的體積公式，為后面的GGB數(shù)學實驗奠定了基礎(chǔ)，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)2.抽象模型問題1：根據(jù)球的對稱性，我們先研究半球體積問題.設(shè)半球半徑為R.我們知道過任一平行于半球底面的平面所得的截面為圓，請你據(jù)此猜想一下可以用什么幾何體作它等體積的替代品？問題2：根據(jù)祖暅原理，你認為這些幾何體還需要滿足什么條件？演示GGB軟件，借助數(shù)據(jù)直觀感受.問題3：觀察GGB數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？問題4：如果改變截面高度，結(jié)論是否發(fā)生變化？改變半徑呢？問題5：如何證明這一結(jié)論？據(jù)此你能推導出球的體積公式嗎？學生根據(jù)上一環(huán)節(jié)的實驗，結(jié)合已有知識以及祖暅原理猜想出用同底等高的圓柱與圓錐推導球的體積公式.學生觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：圓柱截面圓面積減圓錐截面圓面積等于半球截面圓面積.從而構(gòu)造一個圓柱挖去一個同底等高圓錐的模型.小組討論后，學生上臺展示證明過程.我們通過分析實驗數(shù)據(jù)，進一步為猜想提供了數(shù)據(jù)支持，引導學生找到新的組合體，利用祖暅原理求球的體積公式，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，進一步論證，是公式獲得的必然步驟，培養(yǎng)了學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維，也培養(yǎng)了學生的直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).3.球的表面積公式推導問題1：你還記得如何求圓的面積公式嗎？幫助學生回顧逼近的方法求圓的面積公式，并觀看視頻動畫.問題2：請類比這種方法，利用球的體積公式推導出球的表面積公式學生通過觀看視頻得到啟發(fā)，小組合作利用球的體積公式推導球的表面積公式.回顧初中求圓的面積公式的方法，培養(yǎng)學生的類比思想和極限思維，也培養(yǎng)了學生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)三、典例解析例1如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m.如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）例2如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比學生自主完成后，拍照上傳講解.例1是球的表面積公式的應用，并且有一定的計算量，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想和數(shù)學運算素養(yǎng).通過例2引入內(nèi)切球概念例題講解，鞏固本堂課的重點知識，是球的體積公式和表面積公式的簡單應用，也為后面實際應用提供了理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學生的數(shù)學運算等核心素養(yǎng).四、當堂檢測一個棱長為23cm的正方體的頂點都在球面上，求球的體積與表面積學生自主完成后，由學生代表回答引入外接球的概念，并且會求正方體的外接球的半徑，再求球的體積和表面積課堂檢測是球的表面積公式的應用，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想和數(shù)學運算素養(yǎng)五、課堂小結(jié)問題1：我們通過祖暅原理得到柱體、球體的體積分別是什么？問題2：球的表面積公式是什么？我們利用了什么方法推導出來的？隨機選學生總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容.引導學生回顧柱體、錐體、球體的體積公式，在回顧球的表面積公式的同時，滲透極限思維，最后引導幫助學生回顧本堂課的數(shù)學方法和數(shù)學思想六、作業(yè)布置