高等激光技術(shù)7

第三節(jié)、光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件光學(xué)諧振腔的幾何光學(xué)分析采用光束傳輸變換矩陣的方法菲涅耳數(shù)很大(衍射損耗小)＞100以雙球面鏡腔為例

光線傳輸矩陣

1LM(L)=自由空間

0110M(f)=薄透鏡

-1/f110M(R)=球面全反射鏡

-2/R1

腔內(nèi)光線往返一次后的光線傳播矩陣

x5ABx1x1x1==M=M(R1)M(L)M(R2)M(L)θ5

CDθ1

θ1

θ1

諧振腔穩(wěn)定性條件如果激光束在共軸球面腔內(nèi)經(jīng)多次反射后，其位置仍“緊靠”光軸，那么該光學(xué)諧振腔是穩(wěn)定的；如果光束從腔內(nèi)“逸出”反射鏡之外，即橫向逸出腔外,那么該光學(xué)諧振腔是不穩(wěn)定的。

腔內(nèi)光線往返n次后的傳播矩陣方程為：(利用了矩陣?yán)碚撝械难柗菜固豐ylvester定理)

n

對(duì)于穩(wěn)定的序列，光束是有界的，即，當(dāng)傳輸矩陣“Mn”的矩陣元為有限的實(shí)數(shù)時(shí)，近軸光線在腔內(nèi)往返進(jìn)行無限次后，不會(huì)橫向逸出腔外，要求矩陣元為實(shí)數(shù)，則要求θ為實(shí)數(shù)。對(duì)于不穩(wěn)定序列，方程中的三角函數(shù)變成雙曲線函數(shù)，這表明光束通過序列時(shí)將越來越發(fā)散，光束是無界的，因此，穩(wěn)定性條件是:引入兩因子來表示諧振腔的幾何參數(shù)0<g1g2<1此式稱為共軸球面腔的穩(wěn)定性條件。式中當(dāng)凹面鏡向著腔內(nèi)時(shí)，R為正值；而當(dāng)凸面鏡向著腔內(nèi)時(shí)R取負(fù)值。如果g1g2>1或g1g2<0則為非穩(wěn)定腔；g1g2=1或g1g2=0為臨界腔（介穩(wěn)腔）。

上述的穩(wěn)定性條件0<g1g2<1只是雙鏡腔的結(jié)果.對(duì)于多鏡腔,則要從腔內(nèi)光線往返傳輸矩陣來推導(dǎo).不同的腔型,腔內(nèi)光線往返傳輸矩陣是不同的.第四節(jié)、光學(xué)諧振腔的衍射理論要點(diǎn)自再現(xiàn)模+惠更斯-菲涅耳原理(菲涅耳-基爾霍夫公式)+光學(xué)諧振腔光學(xué)諧振腔的自洽衍射積分方程

腔鏡M1上的光場分布，到達(dá)鏡M2時(shí)，由于衍射效應(yīng)，要經(jīng)歷一次能量的損耗和場分布的變化，中間能量損失小，鏡邊緣損失大，每渡越一次，都會(huì)發(fā)生類似的能量損耗和場分布變化。多次往返后，從而逐漸形成中間強(qiáng)、邊緣弱的基本不受衍射影響的相對(duì)穩(wěn)態(tài)的場分布，該相對(duì)穩(wěn)態(tài)的場分布一個(gè)往返后可“自再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的場分布，唯一變化是鏡面上各點(diǎn)的場振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)相位發(fā)生同樣大小的滯后。該穩(wěn)定場形成過程就叫做腔模的自再現(xiàn)，形成的模式叫做自再現(xiàn)模。

自再現(xiàn)模是多次衍射的結(jié)果，與初始波形無關(guān)，但不同的初始波形最終形成的場分布不同，而自發(fā)輻射可提供不同的初始波形,因此決定了自再現(xiàn)模的多樣性。每經(jīng)過一次衍射，光束橫截面上各點(diǎn)的相位關(guān)聯(lián)度變?cè)黾右淮?，則由于經(jīng)過足夠多次衍射的作用后，光束橫截面上各點(diǎn)的相位關(guān)聯(lián)越來越緊密，從而使光的空間相干性變強(qiáng)。在無源開腔中，自再現(xiàn)模的形成過程和場的空間相干性的增強(qiáng)過程，都不可避免地伴隨著初始入射波能量的衰減，不足以形成激光。在激活腔中，只要某一自再現(xiàn)模能滿足閾值條件，則該模在腔內(nèi)就可以形成自激振蕩。自再現(xiàn)模的形成過程伴隨著光的受激放大，其結(jié)果是，光譜不斷變窄，空間相干性不斷增強(qiáng)，光強(qiáng)不斷增大，最終形成高強(qiáng)度的激光輸出。

惠更斯-菲涅耳原理是分析衍射現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)，定量處理開腔模式問題的數(shù)學(xué)理論是菲涅耳-基爾霍夫衍射積分。運(yùn)用以上兩個(gè)工具，可以實(shí)現(xiàn)：如果知道了光波場在其所達(dá)到的任意空間曲面上的振幅和相位分布，就可以求出該光波場在空間其他任意位置處的振幅和相位分布。這種方法主要求解光學(xué)諧振腔的菲涅爾-基爾霍夫衍射積分方程。積分方程的本征值描述了諧振腔的損耗特性，本征函數(shù)描述了光場分布（模）。但積分方程一般不存在解析解，只能用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。對(duì)于實(shí)對(duì)稱共焦球面鏡腔可以獲得近似解析解。設(shè)為已知空間任一曲面S上光波場的振幅和相位分布函數(shù)u(x’,y’)，這里(x’,y’)為S面上點(diǎn)的坐標(biāo)。由它在所要考察的空間任一點(diǎn)P處產(chǎn)生的場為u(x,y)，這里(x,y)為觀察點(diǎn)P的坐標(biāo)。有下列關(guān)系式

將此積分公式應(yīng)用到開腔的兩個(gè)鏡面上的場，則有式中為鏡1上的場分布；為由經(jīng)腔內(nèi)一次渡越后在鏡2上生成的場。

經(jīng)過j次渡越后所生成的場與產(chǎn)生它的場之間亦應(yīng)滿足類似的迭代關(guān)系

按照自再現(xiàn)觀點(diǎn)，當(dāng)渡越次數(shù)j足夠大時(shí)，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的復(fù)常數(shù)因子

以外，u+1應(yīng)該再現(xiàn)uj，，則：代入迭代關(guān)系得到：則不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù)v(x,y)為：即開腔自再現(xiàn)模應(yīng)滿足的積分方程式----自洽衍射積分方程,其中的積分核為：滿足上述方程的任意一個(gè)分布函數(shù)v(x,y)就描述腔的一個(gè)自再現(xiàn)?；驒M模。一般v(x,y)應(yīng)為復(fù)函數(shù)，它的模描述鏡面上場的振幅分布，而其輻角描述鏡面上場的相位分布。

當(dāng)腔長L和鏡線度a滿足：L>>a，或曲面反射鏡的曲率半徑R和鏡線度a滿足：R>>a時(shí)，有：則初步簡化后的自再現(xiàn)模方程（自洽衍射積分方程）為：

其中

的復(fù)常數(shù)因子的物理涵義表示自再現(xiàn)模的振幅衰減和相位移動(dòng)

光功率W,單程損耗因子

損

,單程渡越總相移:對(duì)于對(duì)稱腔型有:諧振條件(駐波條件):2Ф=2qπ,q為正整數(shù),對(duì)稱開腔自再現(xiàn)模的諧振條件----可得諧振頻率(縱模頻率)

平行平面腔在激光發(fā)展史上最先被使用，但平行平面腔振蕩模所滿足的自在現(xiàn)積分方程尚得不到確切的解析解，只能用迭代解法。?？怂购蛥柖σ?Fox-Li)首先用計(jì)算機(jī)完成了這樣的計(jì)算，求出了各種幾何形狀的平行平面腔、圓形鏡共焦腔等的一系列腔的自再現(xiàn)模。

對(duì)于一個(gè)對(duì)稱矩形平面鏡腔(尺寸為2a×2b，其中),有：若滿足：可做近似：

則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：

模方程變?yōu)閮尚问酵耆粯拥姆匠?，求一個(gè)即可：或者方程的解有多個(gè)，其中第m和第n個(gè)分別為vm(x)和vn(y)，

m和

n為相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則積分本征值方程為：

鏡面上的場分布為：相應(yīng)的復(fù)常數(shù)為：

取與Fox-Li相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即波長為632.8nm取腔鏡的菲涅爾數(shù)，實(shí)際計(jì)算中取得，，增益系數(shù)的單位為cm-1,輸入光為平面波，(用Matlab程序設(shè)計(jì)計(jì)算)即得到結(jié)果如下

由圖3可知,初始場在經(jīng)過第1次渡越后的振幅和相位隨著腔面坐標(biāo)的變化而急劇地起伏。隨后的幾次渡越,每一次渡越都對(duì)場分布發(fā)生了明顯的影響。在經(jīng)過第300次渡越后,振幅分布達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài),呈現(xiàn)出近似高斯分布;而穩(wěn)定后的相位分布,曲線上的起伏較小,中間區(qū)域接近平面波分布。將具有這種特征的橫模稱為腔的最低階對(duì)稱?；蚧?方形鏡腔和圓形鏡腔的基模通常以符號(hào)TEM00表示。

平行平面腔?？怂购蛥柖σ?Fox-Li)的計(jì)算結(jié)果意義在于:1、證明了光學(xué)諧振腔內(nèi)相對(duì)穩(wěn)定的光場分布----自再現(xiàn)模的存在；2、說明了自再現(xiàn)模的產(chǎn)生需要一定的時(shí)間過程（往返振蕩很多次），即激光的產(chǎn)生需要一定的時(shí)間過程。

第五節(jié)、方形實(shí)對(duì)稱共焦球面鏡光學(xué)諧振腔中光場的自洽衍射積分方程及其解

方形鏡2a×2a尺寸,L＞＞a＞＞λ

方形鏡2a×2a尺寸,L＞＞a＞＞λp2p2’

ρrp1’p1RL

則模方程變?yōu)椋悍蛛x變量，令：

鏡面上的場分布為：相應(yīng)的復(fù)常數(shù)為：

博伊德—戈登求出,在c=2πF為有限值時(shí),有:

當(dāng)F較大＞1，同時(shí)在共焦腔中心附近,角向長橢球函數(shù)可表示為厄米多項(xiàng)式(Hermitian)和高斯(Gauss)分布函數(shù)的乘積----厄米-高斯光束.

不同的m,n值,表示不同的相對(duì)穩(wěn)定的光場振幅(強(qiáng)度)分布,即不同的橫模,記為TEMmn模,m,n為橫模序數(shù)(或橫模指數(shù))。TEM00模---基橫?；蚧?，TEM01?；騎EM10模---低階模，其他---高階模。TEM00模---基橫?；蚧?，

x方向,m階,m個(gè)零點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)),m條暗線,m+1個(gè)峰值y方向,n階,n個(gè)零點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)),n條暗線,n+1個(gè)峰值光斑半徑:2πF越大,場越集中鏡面中心及其附近,越小,鏡邊緣場振幅漸增(衍射損耗增大);統(tǒng)一,高階模在鏡邊緣處的振幅比基模的大;近似解與精確解在鏡面中心及其附近符合較好.

位相分布鏡面上場的位相分布由自再現(xiàn)模的幅角決定角向長橢球函數(shù)為實(shí)數(shù),----鏡面上各點(diǎn)位相相同,即鏡面本身為等相位面.基模在鏡面上有單一的位相,其他模,相鄰模瓣之間有180度(π)相移.

第七節(jié)、圓形實(shí)對(duì)稱共焦球面鏡光學(xué)諧振腔中光場特性

其中為鏡面上的極坐標(biāo)，為歸一化常數(shù)；，L表示共焦腔的腔長，為締合拉蓋爾多項(xiàng)式。