級(jí)數(shù)

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.2冪級(jí)數(shù)4.3泰勒級(jí)數(shù)4.4洛朗級(jí)數(shù)

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為定義

設(shè)復(fù)數(shù)列{αn}={an+ibn},n=1,2,稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);將

sn=α1+α1+…+αn

稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和。設(shè){αn}(n=1,2,…)為復(fù)數(shù)列，其中αn=an+ibn,設(shè)α=a+ib為一確定復(fù)數(shù)。

若任意給定ε>0，存在一個(gè)與ε相關(guān)的正數(shù)N(ε)，使|αn－α|<ε在n>N時(shí)成立，那么稱(chēng){αn}收斂于α，記作

定理一級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)

和都收斂。

這就是說(shuō)，一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題可完全歸

結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題，并且，由實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

和收斂的必要條件

2.絕對(duì)收斂與條件收斂

定理二如果收斂，那么收斂，且具有不等式：

定理三絕對(duì)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)

和絕對(duì)收斂。

［例］下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？解(1）因發(fā)散，

收斂，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。

（2）因，由正級(jí)數(shù)的比值審斂法知

收斂，故原級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂。（3）因收斂，也收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。但因?yàn)闂l件收斂，所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。

（4）

4.2冪級(jí)數(shù)

1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義

若級(jí)數(shù)中各項(xiàng)為復(fù)變函數(shù)，其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則

f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…

稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記做，稱(chēng)sn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)若對(duì)于D內(nèi)某一點(diǎn)z0，極限

存在，稱(chēng)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在z0處收斂，

s(z0)稱(chēng)為它的和。若級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂，則其和就是z的函數(shù)s(z)：

s(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…

s(z)稱(chēng)為的和函數(shù)。

2.冪級(jí)數(shù)及其收斂圓

若復(fù)變函數(shù)fn(z)=cn(z－a)n或fn(z)=cnzn，則得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情況：（4.2.1）或（4.2.2）以上兩式都稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)。

定理一（阿貝爾Abel定理）如果級(jí)數(shù)

在z=z0(≠0)收斂，那么對(duì)滿(mǎn)足|z|<|z0|的z，級(jí)數(shù)必絕對(duì)收

斂。如果在z=z0處級(jí)數(shù)發(fā)散，那么對(duì)滿(mǎn)足|z|>|z0|的z，級(jí)數(shù)必發(fā)散。（1）僅在z=0處收斂；

（2）在整個(gè)z平面收斂；

（3）存在R>0，當(dāng)|z|<R時(shí)收斂，當(dāng)|z|>R時(shí)發(fā)散。

此時(shí)，稱(chēng)R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，|z|=R為收斂圓。在（1）、（2）兩種情形中，也稱(chēng)的收斂半徑為0和∞。

3.收斂半徑的求法

定理二（比值法）如果，那么收斂半徑。

定理三（根值法）如果，那么收斂半徑。［例1］求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。解(1）因?yàn)榛颍?），即R=1。用根值審斂法也得同樣結(jié)果。

在收斂圓|z－1|=1上，當(dāng)z=0時(shí)，原級(jí)數(shù)成為,它是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)萊布尼茨準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)z=2時(shí)，原級(jí)數(shù)成為，它是調(diào)和級(jí)數(shù)，所以發(fā)散。這個(gè)例子表明，在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)，也有級(jí)數(shù)發(fā)散點(diǎn)。（3）因?yàn)?，所以故收斂半徑?/p>

4.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

性質(zhì)1因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓內(nèi)不僅收斂而且絕對(duì)收斂，因此兩個(gè)冪級(jí)數(shù)，R=R2在|z|=R=min{R1,R2}內(nèi)不但可以做加法、減法，還可以做乘法運(yùn)算，即及，至于除法，可利用待定系數(shù)與乘法進(jìn)行計(jì)算。性質(zhì)2

冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(z)在收斂圓

|z－a|=R內(nèi)解析；在收斂圓上至少有一個(gè)奇點(diǎn)。

性質(zhì)3

f(z)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，可通過(guò)將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，即，|z－a|<R

性質(zhì)4

f(z)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分，即C：|z－a|=r<R或其中，C為收斂圓內(nèi)連接a點(diǎn)與z點(diǎn)的任意一條曲線(xiàn)。［例2］把函數(shù)表示成形如

的冪級(jí)數(shù)，其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù)。

解本題的解題思路在于：首先要把函數(shù)作代數(shù)變形，使其分母中出現(xiàn)量z－a；再把它按照展開(kāi)式為已知的函數(shù)的形式寫(xiě)成形式，其中;然后把展開(kāi)式中的z換成g(z)。把函數(shù)寫(xiě)成如下的形式：當(dāng)時(shí)，有從而得到設(shè)|b－a|=R，那么當(dāng)|z－a|<R時(shí)，上式右端的級(jí)數(shù)收斂，且其和為。

4.3泰勒級(jí)數(shù)

1.泰勒展開(kāi)定理

定理（泰勒展開(kāi)定理）設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，z0為

D內(nèi)的一點(diǎn)，d為z0到D邊界上各點(diǎn)的最短距離，那么當(dāng)

|z－z0|<d時(shí)，有

(4.3.1)

2.直接泰勒展開(kāi)

利用泰勒展開(kāi)定理，可以直接計(jì)算系數(shù)：從而把一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。［例1］求ez在z=0的泰勒展開(kāi)式。

解由于故有［例2］求sinz與cosz在z=0的泰勒展開(kāi)式。

解直接計(jì)算泰勒系數(shù)可得：

3.間接泰勒展開(kāi)

［例3］把函數(shù)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù)。

解由于函數(shù)在單位圓周|z|=1上有一奇點(diǎn)z=

－1，而在|z|<1內(nèi)處處解析，所以它在|z|<1內(nèi)可展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù)。把其中的z換成－z，得，|z|<1把上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得所求的展開(kāi)式:，|z|<1［例4］將ln(1+z)展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù)。

解注意到ln(1+z)在|z|<1內(nèi)解析，在z=－1處無(wú)意義，而在|z|<1內(nèi)，又當(dāng)|z|<1時(shí)，有但是，ln1=0，而由冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)(3)知，當(dāng)|z|<1時(shí)，有所以，在|z|<1內(nèi)，［例5］將在z=0處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

解因在|z|<1內(nèi)解析，故展開(kāi)后的冪級(jí)數(shù)在|z|<1內(nèi)收斂。已經(jīng)知道|z|<1|z|<1在|z|<1時(shí)，將兩式相乘，得［例6］試將函數(shù)按z－1進(jìn)行冪展開(kāi)，并指明其收斂范圍。

解

|z－1|<3

4.4洛朗級(jí)數(shù)

1.雙邊冪級(jí)數(shù)

首先讓我們探討具有下列形式的級(jí)數(shù)：（4.4.1）其中,z0及cn（n=0,±1,±2,…）都是常數(shù)。把級(jí)數(shù)式（4.4.1）分成兩部分來(lái)考慮，即正冪項(xiàng)（包括常數(shù)項(xiàng)）部分：

(4.4.2)與負(fù)冪項(xiàng)部分：(4.4.3)級(jí)數(shù)式（4.4.3）是一個(gè)新型的級(jí)數(shù)。如果令ζ=(z－z0)－1，那么就得到(4.4.4)對(duì)變數(shù)ζ來(lái)說(shuō)，級(jí)數(shù)式（4.4.4）是一個(gè)通常的冪級(jí)數(shù)。設(shè)它的收斂半徑為R，那么當(dāng)|ζ|<R時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)|ζ|>R時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。由于級(jí)數(shù)式（4.4.1）中的正冪項(xiàng)與負(fù)冪項(xiàng)分別在常數(shù)項(xiàng)c0的兩邊，各無(wú)盡頭，因此沒(méi)有首項(xiàng)。所以對(duì)它的斂散性作如下的規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)式（4.4.2）與式（4.4.3）都

收斂時(shí)，級(jí)數(shù)式（4.4.1）才收斂，并把級(jí)數(shù)式（4.4.1）看做級(jí)數(shù)式（4.4.2）與式（4.4.3）的和。因此，當(dāng)R1>R2時(shí)（見(jiàn)圖4.1），級(jí)數(shù)式（4.4.2）與式（4.4.3）沒(méi)有公共的收斂范圍，所以，級(jí)數(shù)式（4.4.1）處處發(fā)散；當(dāng)R1<R2時(shí)（見(jiàn)圖4.2），級(jí)數(shù)式（4.4.2）與式（4.4.3）的公共收斂范圍是圓環(huán)域R1<|z－z0|<R2。所以，

級(jí)數(shù)式（4.4.1）在此圓環(huán)域內(nèi)收斂，在此圓環(huán)域外發(fā)散。在圓環(huán)域的邊界|z－z0|=R1及|z－z0|=R2上可能有些點(diǎn)收斂，有些點(diǎn)發(fā)散。這就是說(shuō)，級(jí)數(shù)式（4.4.1）的收斂域是圓環(huán)域：R1<|z－z0|<R2。在特殊情形，圓環(huán)域的內(nèi)半徑R1

可能等于零，外半徑R2可能是無(wú)窮大。圖4.1圖4.2例如，級(jí)數(shù)(a與b為復(fù)常數(shù))中的前面部分由負(fù)冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)當(dāng)，即|z|>|a|時(shí)收斂；后面部分由負(fù)冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)當(dāng)，即|z|<|b|時(shí)收斂。所以，在|a|<|b|的情形下，原級(jí)數(shù)中正、負(fù)冪項(xiàng)各自組成的級(jí)數(shù)的公共收斂范圍為圓環(huán)域|a|<|z|<|b|，即原級(jí)數(shù)在此圓環(huán)域內(nèi)收斂。在|a|>|b|的情形，原級(jí)數(shù)中的兩個(gè)級(jí)數(shù)沒(méi)有公共的收斂點(diǎn)，所以原級(jí)數(shù)處處發(fā)散。

2.洛朗定理

定理（洛朗定理）設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<|z－z0|<R2內(nèi)處處解析，那么（4.4.5）其中,［例1］函數(shù)在圓環(huán)域：

(1）0<|z|<1；

(2）1<|z|<2；

(3）2<|z|<+∞。

內(nèi)是處處解析的，試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。

解先把f(z)用部分分式來(lái)表示：

(1）在0<|z|<1內(nèi)，由于|z|<1，從而，所以有(4.4.7)(4.4.6)因此，我們有結(jié)果中不含有z的負(fù)冪項(xiàng)，原因在于在z=0處是解析的。（2）在1<|z|<2內(nèi)，由于|z|>1，所以式（4.4.6）不

成立，但此時(shí)，因此把另行展開(kāi)如下：(4.4.8)并由于此時(shí)|z|<2，從而，所以式（4.4.7）仍然有效。因此，我們有（3）在2<|z|<+∞內(nèi)，由于|z|>2，所以式（4.4.7）

不成立，但此時(shí)，因此把另行展開(kāi)如下：因此，我們有［例2］把函數(shù)在0<|z|<+∞內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。

解函數(shù)在0<|z|<+∞內(nèi)是處處解析的。我們知道，ez在復(fù)平面內(nèi)的展開(kāi)式是：

而１／ｚ在內(nèi)解析，所以把ez式中的z代換成

1／ｚ，兩邊同乘以z3，即得所求的洛朗展開(kāi)式：

3.洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系

當(dāng)已知函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0解析時(shí)，收斂圓環(huán)：R