年高考診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題（二）(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合A＝{x∣x2－3x＜0}，B＝{x∣x≥1}，則圖中陰影部分表示的集合為()．A．{x∣x＞0}B．{x∣0＜x≤1}第1題C．{x∣1≤x＜3}第1題D．{x∣0＜x＜1或x≥3}2．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，則＝()．A．2i B．－2i C．2 D．－23．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，它的表面積為a，則它的底面積為()．A． B． C． D．4．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實(shí)數(shù)，若f(x)≤∣f()∣對(duì)xR恒成立，且f()＞f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()．A．[π－，π＋](Z) B．[π，π＋](Z) C．[π＋，π＋](Z)D．[π－，π](Z)5．橢圓的左焦點(diǎn)為F，直線x＝t與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積為()．A． B． C． D．36．已知函數(shù)f(x)＝2sin(x－)，x∈R．設(shè)α，β[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，則cos(α＋β)的值為()．A． B． C． D．7．已知f(x)＝alnx＋x2，若方程f(x)＝(a＋1)x恰有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()．A．(，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)8．小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》的現(xiàn)場(chǎng)錄制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的種數(shù)為()．A．60 B．72 C．84 D．96二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”．根據(jù)過(guò)去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，不一定符合該標(biāo)志的是()．A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地：總體均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：總體均值為2，總體方差為310．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()．A． B．C． D．在方向上的投影為11．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點(diǎn)為A，B，則有()．A．公共弦AB所在直線方程為x－y＝0B．線段AB中垂線方程為x＋y－1＝0C．公共弦AB的長(zhǎng)為D．P為圓O1上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為12．已知函數(shù)f(x)＝ex·x3，則以下結(jié)論正確的是()．A．f(x)在R上單調(diào)遞增B．f(log52)＜＜f(lnπ)C．方程f(x)＝－1有實(shí)數(shù)解D．存在實(shí)數(shù)，使得方程f(x)＝x有4個(gè)實(shí)數(shù)解三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題后的橫線上．13．如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則的值為_(kāi)_________．14．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線AB交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則＝__________．15．點(diǎn)O是平面α上一定點(diǎn)，A，B，C是平面α上△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，∠B，∠C分別是邊AC，AB的對(duì)角．有以下五個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋＋，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)(λ＞0)，則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)(λ＞0)，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)(λ＞0)，則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中．⑤動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)(λ＞0)，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中．其中所有正確命題的編號(hào)是________．16．已知數(shù)列{an}，若an＝－n2＋n＋4，且對(duì)于任意n∈N*，都有an＋1＜an，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(10分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cosA＋sinA＝0，a＝，b＝．(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．18．(12分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an+1＝2Sn(nN*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn．19．(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AP的中點(diǎn)．(第19題)(1)求證：EF(第19題)(2)若AD＝AP＝PB＝AB＝1，求三棱錐P-DEF的體積．20．(12分)某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陰性．現(xiàn)有n()份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：(1)逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；(2)混合檢驗(yàn)，將其中(，≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份血液全為陰性，因而這份血液只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為＋1次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p(0＜p＜1)．(1)假設(shè)有5份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；(2)現(xiàn)取其中(，k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)的方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)的方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①若＝，試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求p關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式p＝f()；②若p＝1－，采用混合檢驗(yàn)的方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．21．(12分)如圖，已知橢圓(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸AB長(zhǎng)為4．梯形ABCD的兩頂點(diǎn)C，D在橢圓上(點(diǎn)C在第一象限)，且|CD|＝2，∠ABC＝30°．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)P是線段CD上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作與PB垂直的直線交橢圓于點(diǎn)Q．若△PBQ的面積為，求直線BQ的斜率．22．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax＋3(aR)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值是4，求a的值．2024年高考診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題（二）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1．C．2．A．3．A．4．C．提示：因?yàn)閒(x)≤∣f()∣對(duì)xR恒成立，所以∣f()∣＝1．x＝是一條對(duì)稱(chēng)軸．因?yàn)門(mén)＝π，f()＞f(π)＝f(0)，而(0，)，所以x＝時(shí)函數(shù)取得最小值．于是[π＋，π＋](Z)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．5．A．6．B．7．A．8．C．提示：解法1：若小明的父母中只有1人與小明相鄰且父母不相鄰，先在其父母中選1人與小明相鄰，有種情況，將小明與選出的家長(zhǎng)看成一個(gè)整體，考慮其順序有種情況，當(dāng)父母不相鄰時(shí)，需要將爺爺奶奶進(jìn)行全排列，將整體與另一個(gè)家長(zhǎng)安排在空位中有種情況，此時(shí)有＝48種不同的坐法；若小明的父母中只有1人與小明相鄰且父母相鄰，即將父母及小明看成一個(gè)整體，小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序有2種情況，則這個(gè)整體內(nèi)部有2×2＝4種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有種情況，此時(shí)有4×＝24種不同的坐法；若小明的父母與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，將3人看成一個(gè)整體，考慮父母的順序，有種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有種情況，此時(shí)有2×＝12種不同的坐法．綜上，一共有48＋24＋12＝84種不同的坐法．二、選擇題9．ABC．10．BCD．提示：由題E為AB中點(diǎn)，則．如圖，以E為原點(diǎn)，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，所以．設(shè)，∥，所以，解得，即O是CE中點(diǎn)，，所以選項(xiàng)B正確．，所以選項(xiàng)C正確．因?yàn)?，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤．，，在方向上的投影為，所以選項(xiàng)D正確．故選BCD．11．ABD．解析：對(duì)于A，由圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點(diǎn)為A，B，兩式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直線方程為x－y＝0，故A正確．對(duì)于B，圓O1：x2＋y2－2x＝0的圓心為(1，0)，AB＝1則線段AB中垂線斜率為－1，即線段AB中垂線方程為y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正確．對(duì)于C，圓O1：x2＋y2－2x＝0，圓心O1(1，0)到x－y＝0的距離為，半徑r＝1，所以，故C不正確．對(duì)于D，P為圓O1上一動(dòng)點(diǎn)，圓心O1(1，0)到x－y＝0的距離為，半徑r＝1，即P到直線AB距離的最大值為，故D正確．故選ABD．12．BCD．提示：f(x)＝ex·x3，則f'(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，故函數(shù)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(－3，＋∞)上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；0＜log52＜，＜＜1，lnπ＞1，根據(jù)單調(diào)性知f(log52)＜＜f(lnπ)，B正確；f(0)＝0，f(－3)＝－＜－1，故方程f(x)＝－1有實(shí)數(shù)解，C正確；f(x)＝x，易知當(dāng)x＝0時(shí)成立，當(dāng)x≠0時(shí)，＝＝exx2，設(shè)g(x)＝exx2，則g'(x)＝exx(x＋2)，故函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，且g(－2)＝．畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0＜＜時(shí)有3個(gè)交點(diǎn)．綜上所述：存在實(shí)數(shù)，使得方程f(x)＝x有4個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確．故選BCD．三、填空題13．．14．．15．②③．提示：①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋＋＝＋時(shí)，則點(diǎn)P是△ABC的重心，所以①不正確；②顯然＋在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，所以△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)P集合中，因此②正確；③變形為＝λ(＋)，而sinB，sinC表示點(diǎn)A到BC邊的距離，設(shè)為AD，所以＝(＋)，而＋表示BC邊的中線向量，所以表示BC邊的中線向量，因此△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，所以③正確；④當(dāng)∠A＝90°時(shí)，△ABC的垂心與點(diǎn)A重合，但顯然此時(shí)垂心點(diǎn)P不滿足公式，所以④不正確；⑤當(dāng)BC的中點(diǎn)即為△ABC的外心時(shí)，公式顯然不成立，所以⑤不正確．16．＜3．四、解答題17．解：(1)由已知可得tanA＝－，所以A＝．（2分）在△ABC中，由余弦定理得28＝12＋c2－ccos，（3分）即c2＋6c－16＝0，（4分）解得c＝－8(舍去)，c＝2．（5分）(2)由題設(shè)可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝．（6分）故＝＝2．（8分）又S△ABC＝×2×sin＝，（9分）所以S△ABD＝．（10分）18．解：(1)因?yàn)閍n＋1＝2Sn，所以Sn+1－Sn＝2Sn，即＝3(顯然Sn＞0)．（1分）又因?yàn)镾1＝a1＝1，因此，數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，（2分）從而Sn＝3n-1(nN*)．（3分）當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn-1＝2·3n-2(n≥2)，（4分）故an＝（5分）(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，（6分）當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n-2，①（7分）3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n-1，②（8分）(第19題)①－②得：－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n-2)－2n·3n-1＝2＋2·－2n·3n-1＝－1＋(1－2n)·3n-1．(第19題)得Tn＝＋(n－)3n-1(n≥2)(T1＝a1＝1也滿足上式)，（11分）所以Tn＝＋(n－)3n-1(nN*)．（12分）19．解：(1)如圖，取PD中點(diǎn)G，連接GF，GC．在△PAD中，∵G，F(xiàn)分別為PD，AP中點(diǎn)，∴GF∥AD，且GF＝AD．（1分）在矩形ABCD中，∵E為BC中點(diǎn)，∴CE∥AD，且CE＝AD，∴GF∥EC，且GF＝EC．（2分）∴四邊形GCEF是平行四邊形，∴GC∥EF．（3分）∵GC平面PCD，EF平面PCD，∴EF∥平面PCD．（4分）(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．（5分）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCD＝AB，AD平面PAB，AD⊥平面PAB，（6分）∴平面PAD⊥平面PAB，BC∥平面PAD．（7分）∵AD＝AP＝PB＝AB＝1，∴AB＝，∴AP2＋PB2＝AB2，（8分）∴AP⊥BP，∴BP⊥平面PAD．（9分）∵BC∥平面PAD，∴點(diǎn)E到平面PAD的距離等于點(diǎn)B到平面PAD的距離．（10分）而S△PDF＝×PF×AD＝，∴VP-DEF＝S△PDF·BP＝××1＝．（12分）20．解：(1)設(shè)恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件A，則P(A)＝＝．（1分）故恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率為．（2分）(2)①由已知得E＝，的所有可能取值為1，＋1，P(＝1)＝，P(＝＋1)＝，（3分）所以E＝＋(＋1)[1－]＝．（4分）若E＝E，則＝p＝1－，（5分）所以p關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式p＝f()＝1－(，≥2)．（6分）②由題意可得E＞E，得＜＝ln＞．（7分）設(shè)f(x)＝lnx－x(x＞0)，則f'(x)＝－．（8分）當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f'(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增；（9分）當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，f'(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減；（10分）又ln4≈1.3863，≈1.3333，所以ln4＞．因?yàn)閘n5≈1.6094，≈1.6667，（11分）所以ln5＜．故的最大值為4．（12分）21．(1)由題意，得a＝2．點(diǎn)C的坐標(biāo)為，（1分）代入，得，解得．（2分）所以橢圓的方程為．（3分）(2)設(shè)直線BQ的斜率為，則直線BQ的方程為y＝(x－2)．由PB⊥BQ，得直線PB的方程為(x－2)．（4分）聯(lián)立方程組消去y，得(1＋92)x2－362x＋362－4＝0．（5分）設(shè)點(diǎn)B，Q的橫坐標(biāo)分別為，，則，所以．（6分）所以．（7分）由得，所以．（8分）所以，解得．（9分）由題意得直線BC的斜率為，直線BD的斜率為．（10分）所以，得．．（1