專題六函數與導數考情分析函數是中學數學中起連接和支撐作用的主干知識,其知識、觀點、思想和方法貫穿于中學代數的全過程,而導數在高中數學中處于特殊的地位,它與高等數學銜接緊密,它不僅是一種代數運算工具,也是高中數學知識的一個重要交匯點.因此,函數與導數成為高考考查的重點內容.近幾年高考命題的趨勢是穩(wěn)中求變、變中求新,新中求活;命題的數量多為“三小一大”或“二小一大”;命題的難度分為易、中、難三個層次,小題有時也會出難度較大的把關題,大題為難度較大的壓軸題,大題所處試卷的位置多為倒數第一個題或倒數第二個題,預計這一趨勢會保持下去.備考策略1.首先要明確重點考查的內容.函數與導數的小題主要考查函數的性質、基本初等函數及其應用,函數的零點等;大題主要考查導數在函數問題中的綜合運用,重點是解決與函數的單調性、極值、最值相關的不等式和方程問題.2.牢固掌握有關函數與導數的基本概念、公式、定理,了解公式、定理的來龍去脈以及各知識點之間的關系.3.培養(yǎng)利用“特殊值法”解題的能力.對于識別函數的圖象,求解函數不等式,判別函數的零點及函數的單調性,往往可以利用函數的一些特殊值,當一次取值不能達到目標時,可考慮多次取值、混合選取,看能否達到目標.特殊值法可以讓一般問題特殊化,抽象問題具體化,從而減少計算量.4.對函數與導數的高頻考點問題——單調性、最值、范圍、零點、不等式證明等,通過開展微專題教學,以提升學生對利用導數研究函數的圖象與性質的認識.備考策略5.加強函數問題的變式教學.對典型問題進行變式教學,是備考復習教學中的一項重要方法,函數問題的變式要在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內進行拓展,體現學生能力培養(yǎng)的重要作用.6.注重解題能力的提升和數學思想方法的應用.在函數與導數的教學中,一是要注重培養(yǎng)學生函數建模能力和利用導數解模能力;二是要注重培養(yǎng)學生的邏輯推理能力、運算求解能力;三是要注重分類與整合思想、化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想的應用.1.(2021全國甲,文4)下列函數中是增函數的為(

)D解析

對于A,函數在R上單調遞減,不合題意;對于B,根據指數函數的性質可知函數在R上單調遞減,不合題意;對于C,函數在定義域內不具有單調性,不合題意;對于D,根據冪函數的性質可知,函數在其定義域內為增函數,符合題意.故選D.真題感悟C3.(2021全國乙,文9)設函數f(x)=

,則下列函數中為奇函數的是(

)A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1BA解析

設f(x)=(3x-3-x)cos

x,則f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函數為奇函數,排除B,D選項.又f(1)=(3-3-1)cos

1>0.故選A.B17.(2021全國甲,文20)設函數f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)討論f(x)的單調性;(2)若y=f(x)的圖象與x軸沒有公共點,求a的取值范圍.1.函數的概念(1)求函數的定義域的方法是依據含自變量x的代數式有意義來列出相應的不等式(組)求解.(2)求函數值域要優(yōu)先考慮定義域,常用方法:配方法、分離常數法、換元法、單調性法、基本不等式法、數形結合法、導數法.用導數求極值結合端點得最值

名師點析分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集,值域等于各段函數值域的并集.知識精要2.函數的性質(1)函數奇偶性:①定義:若函數的定義域關于原點對稱,則有:f(x)是偶函數?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數?f(-x)=-f(x).②判斷方法:定義法、圖象法、奇偶函數性質法(如奇函數相乘可得偶函數).(2)函數單調性判斷方法:定義法、圖象法、導數法.(3)函數周期性的常用結論:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±

(a≠0),則T=2a;若f(x+a)=f(x-b),則T=a+b;若f(x)的圖象有兩條對稱軸:直線x=a和直線x=b(a≠b),則T=2|b-a|;若f(x)的圖象有兩個對稱中心(a,0)和(b,0),則T=2|b-a|(類比正、余弦函數).3.函數的圖象(1)函數圖象的判斷方法:①找特殊點;②看性質:根據函數性質判斷圖象的位置,對稱性,變化趨勢等;③看變換:看函數是由基本初等函數經過怎樣的變換得到.(3)函數y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱,函數y=f(a-x)和y=f(b+x)的圖象關于直線x=

對稱;y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱;y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于原點對稱.(4)利用圖象可解決函數的最值、方程與不等式的解(集)以及求參數范圍問題.4.指數函數與對數函數的關系指數函數y=ax(a>0,a≠1)與對數函數y=logax(a>0,a≠1)互為反函數,其圖象關于直線y=x對稱,它們的圖象和性質分0<a<1,a>1兩種情況討論,著重關注兩函數圖象的異同.5.函數零點的等價命題函數F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的根,即函數y=f(x)與y=g(x)的圖象交點的橫坐標.是一個數值,不是函數圖象上的點

7.函數的導數與單調性的關系函數y=f(x)在(a,b)內可導,(1)若f'(x)>0在(a,b)內恒成立,則f(x)在(a,b)內單調遞增;(2)若f'(x)<0在(a,b)內恒成立,則f(x)在(a,b)內單調遞減.名師點析f'(x)>0是f(x)為增函數的充分不必要條件;f'(x)≥0是f(x)為增函數的必要不充分條件.8.函數的導數與單調性的等價關系函數f(x)在(a,b)內可導,f'(x)在(a,b)任意子區(qū)間內都不恒等于0.f'(x)≥0?f(x)在(a,b)上為增函數.f'(x)≤0?f(x)在(a,b)上為減函數.9.函數的極值、最值(1)若在點x=x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,則f(x0)為函數f(x)的極大值;若在點x=x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,則f(x0)為函數f(x)的極小值.(2)設函數y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值,且在極值點或端點處取得.(3)若函數f(x)在[a,b]上單調遞增,則f(a)為函數的最小值,f(b)為函數的最大值;若函數f(x)在[a,b]上單調遞減,則f(a)為函數的最大值,f(b)為函數的最小值.x0為極大值點

名師點析開區(qū)間內的函數不一定有最值,若有唯一的極值,則此極值一定是函數的最值.10.與ex,lnx有關的常用不等