第五節(jié)多元函數(shù)的極值二、條件極值一、二元函數(shù)的極值1一、二元函數(shù)的極值

定義4-6

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都滿足不等式

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值;使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).

則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值(極大值);.為函數(shù)極小值點(diǎn)(極大值點(diǎn)).2例例例

從以上例子看出:若函數(shù)在某點(diǎn)取得極值,這點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)等于零或不存在.下面介紹極值存在的必要條件與充分條件.3

定理4-6（必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)取得極值,且在該點(diǎn)處兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在,則必有證明不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值

則對(duì)于的某鄰域內(nèi)任意

都有

類似地可證

.

必有

說(shuō)明一元函數(shù)在處有極大值

故當(dāng)，時(shí)，

4

與一元函數(shù)相同，我們稱一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)呢?

定理4-7（充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又，.(2)極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn).因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面在頂點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn).

注意

(1)駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如,點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).5令則有

（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處具有極值,且當(dāng)時(shí)有極大值,時(shí)有極小值；

（3）當(dāng)時(shí),可能有極值,也可能沒(méi)有極值，還需另作討論.

（2）當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)沒(méi)有極值；6

由此可得求二元可微函數(shù)極值的一般步驟：

第一步求函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù);第二步解方程組,可求得所有駐點(diǎn);第四步求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值

對(duì)每個(gè)駐點(diǎn),求出相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)A、B、C

的值,并根據(jù)的符號(hào)判別各駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn),是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);第三步7例4-28

求函數(shù)的極值.解求方程組得駐點(diǎn).又在點(diǎn)處,且故是極小值點(diǎn),極小值為.8在點(diǎn)處,故不是極小值點(diǎn).在點(diǎn)處,故不是極小值點(diǎn).在點(diǎn)處,且故是極大值點(diǎn),極大值為.9例.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為10

求最值的一般方法：（1）求函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（2）求出函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)處的函數(shù)值,以及在區(qū)域邊界上的最大值和最小值；（3）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.二元函數(shù)的最值11

例4-29

求函數(shù)在圓域上的最大值.解顯然,函數(shù)在圓周上的值到處是.令得駐點(diǎn),所以在處取得最大值2.12

在很多實(shí)際問(wèn)題中,根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì),知道函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一定能取到最大值(最小值),又如果函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么這駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是f(x,y)在D上的最大值(最小值),而不必再進(jìn)行檢驗(yàn).

例4-30

要制作一個(gè)容量為V的長(zhǎng)方體箱子，問(wèn)如何選擇尺寸，才能使所用材料最??？此水箱的用料面積解

設(shè)箱子的長(zhǎng)為

,寬為

,則其高為.13

所以當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為

時(shí)，水箱所用的材料最省.令

根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開(kāi)區(qū)域D內(nèi)取得.又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)時(shí)，S取得最小值14條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值．

無(wú)條件極值對(duì)自變量除有定義域的限制外無(wú)任何其它條件限制的極值．二、條件極值條件極值還可以應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)計(jì)算.問(wèn)題求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極值.15

拉格朗日乘數(shù)法：分析：則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點(diǎn)必滿足記值問(wèn)題,故有16引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.17求解步驟(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(lagrange函數(shù))(為常數(shù))(2)對(duì)函數(shù)分別關(guān)于、、求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于零,得方程組(3)解方程組,若是方程組的解,則是可能的條件極值點(diǎn)(4)判別是否為極值點(diǎn).在實(shí)際問(wèn)題中,可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判定.18

例4-31

某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的儀器,其產(chǎn)量分別為臺(tái)和臺(tái),兩種儀器的產(chǎn)量與所需的成本的關(guān)系可以用一個(gè)以應(yīng)變量z為成本、以自變量(x,y)為兩種儀器產(chǎn)量的函數(shù)表示:(單位:萬(wàn)元).若根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè),需這兩種儀器共8臺(tái),問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn),才能使成本最小?構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

解本題歸結(jié)為:求函數(shù)在約束條件下的最小值.19解方程組得唯一解

由于實(shí)際問(wèn)題的最小值存在，、是唯一的駐點(diǎn)，故、是本題的最小值點(diǎn).即：兩種型號(hào)的儀器各生產(chǎn)5臺(tái)和