角平分線、中點有關(guān)輔助線一、角平分線有關(guān)常見輔助線1、角平分線定理：在角平分線上的任意一點到這個角的兩邊距離相等。2、角平分線逆定理：在一個角的內(nèi)部〔包括頂點〕，且到這個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。ABCMP∟Q12∟〔1〕假設∠1=∠2，那么MP=MQ〔2〕假設MP=MQ，那么∠1=∠2一、角平分線有關(guān)常見輔助線3、與角平分線垂直得等腰12∟ABCD假設∠1=∠2，AD⊥BC那么AB=AC，且點D為BC的中點4、角平分線+平行線得等腰A123BC假設∠1=∠2，AC//BD那么∠2=∠3∴∠1=∠3∴AB=ACD12D學以致用核心透析例1.如圖，ΔABC中，過點A分別作∠ABC,∠ACB的外角的平分線的垂線AD,AE,D,E為垂足；求證：〔1〕ED//BC；〔2〕ED=〔AB+AC+BC〕；〔2〕∵DE=MN，BA=BM，CN=CA又∵MN=BM+BC+CN∴DE=〔BM+BC+CN〕=〔AB+BC+AC〕證明〔1〕延長AD，CB交于點M；延長AE，BC交于點N∵BD平分∠ABM，BD⊥AM∴BA=BM，點D為AM的中點同理可證：CA=CN，點E為AN的中點∴DE為△AMN的中位線∴DE//BC，DE=MN考查知識點：垂直角平分線得等腰以及三角形的中位線定理思維點撥：有與角平分線垂直→等腰三角形，中點例2.如圖，在△ABC中，AB＞BC，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分線交于點G．〔1〕圖中是否有相等的線段？假設有，請寫出相等的線段，并證明．〔2〕圖中線段AC是否等于其他兩條線段的和？假設有，請寫出等式，并證明；假設無，請說明理由．證線段相等又想到證三角形全等。題目中出現(xiàn)角平分線，我們就想到什么呢？就想到角平分線定理和逆定理，因此做出輔助線。∟∟NM證明〔1〕：過點G作GN⊥AB，GM⊥BC，垂足分別為點N，M∵點G是∠BAC，∠ACB的平分線的交點∴GM=GN∵∠B=60°∴∠1+∠3=∠2+∠3=120°∴∠1=∠2又∵∠GNF=∠GME=90°∴△GNF≌△GME〔ASA〕∴GE=GFABCFEG∟P過G點作GP⊥AC，垂足為點P

那么GP=GN，又∵AG公共，∴RT△AGN≌RT△AGP∴AP=AN同理可證：RT△GPC≌RT△GMC∴PC=MC∴AC=AP+PC=AN+CM=AF+FN+CE-EM又∵FN=EM∴AC=AF+CE學以致用231B例3.如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．〔1〕求證：EO=FO；〔2〕當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．思維點撥：角平分線+平行線可以得到什么呢？等腰三角形〔1〕證明：∵CE平分∠BCA∴∠1=∠2∵MN//BC∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴CO=EO同理可證：CO=FO∴EO=FO123思維點撥：證矩形，先證是平行四邊形，再證一個角是直角或證對角線相等〔2〕當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形證明：∵點O為AC中點∴AO=CO，又∵EO=FO∴四邊形AECF為平行四邊形∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠1=∠2，∠3=∠4∴∠1+∠4=90°即∠ECF=90°∴四邊形AECF為矩形45考查知識點：角平分線+平行線得等腰三角形及矩形的證明學以致用6例5.〔2011黃岡中考〕如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，假設∠BPC=40°，求∠CAP．EFG∟∟∟思維點撥：由角平分線性質(zhì)可知：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以作如圖輔助線解：過P點作PE⊥BD，PF⊥BA，PG⊥AC垂足分別為點E，F(xiàn)，G∵∠1=∠2+∠BPC，∠ACD=∠ABC+∠BAC又∵∠1=∠ACD，∠2=∠ABC∴∠BPC=∠BAC，∴∠BAC=80°又由角平分線性質(zhì)可知：PD=PF，PD=PG∴PG=PF，又∵PA=PA，∴RT△PGA≌RT△PFA〔HL〕∴∠3=∠4又∵∠3+∠4+∠BAC=180°∴∠3=∠4=50°即∠CAP=50°1234考查知識點：三角形外角定理，角平分線定理及全等三角形學以致用一、中點有關(guān)常見輔助線1、三線合一2、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半3、中位線4、倍長中位線例4.如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是的BC、AD中點，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，那么∠BME=∠CNE，〔不需證明〕．〔溫馨提示：在圖1中，連結(jié)BD，取BD的中點H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質(zhì)，可證得∠BME=∠CNE．〕問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC，AD的中點，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論．問題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，與BA的延長線交于點G，假設∠EFC=60°，連結(jié)GD，判斷△ADG的形狀并證明．思維點撥:由題目提示，利用三角形中位線，作如下輔助線，可證△OMN為等腰三角形G學以致用H思維點撥：由前面兩問提示，我們?nèi)匀贿B接BD，取BD的中點H，連結(jié)HE，HF看看能得到什么?△AGD為RT△證明：連結(jié)BD，取BD的中點H，連結(jié)HF，HE∵點F為AD中點,∴HF//AB且HF=AB同理可證：HE//CD且HE=CD∵AB=CD∴HE=HF∴∠HFE=∠HEF=∠EFC=60°∴∠AFG=∠EFC=60°，∠AGF=HFE=60°∴△AFG為等邊三角形∴GF=AF=DF,∴∠AGD=90°，即△AGD為RT△歸納小結(jié)：考查了三角形中位線，等邊三角形的證明及在三角形中一邊中線等于這一邊一半的三角形為RT△學以致用例6．△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，BE的延長線交AC于F，且AF＝EF.求證：BE＝ACG321思維點撥:中點輔助線的常規(guī)作法，以及證兩條線段相等的常規(guī)方法有哪些呢？證明：延長AD至點G，使AD=GD∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD∵∴△ADC≌△BDG〔SAS〕∴∠1=∠G，AC=BG∵AF=EF∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3∴∠G=∠3考查知識點：倍長中線，三角形全等及等腰三角形的等邊對等角∴BE=BG∴BE=AC學以致用三、中垂線常見輔助線1、線段的垂直平分線定理2、線段垂直平分線逆定理線段垂直平分線上的點，到線段的兩個端點距離相等到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上ABC思維點撥：由垂直平分線→DB=DA，而證線段相等那么想到證三角形全等。證明:連接AD∵DH垂直平分AB∴BD=AD∴∠DAB=∠B=22.5°∴∠ADE=45°又∵AE⊥BC，∴AE=DE∵DF⊥AC∴∠C+∠EDG=90°，又∵∠C+∠CAE=90°∴∠EDG