第6章回歸分析6.1多元正態(tài)分布6.2多元回歸分析6.3邏輯回歸分析6.1多元正態(tài)分布6.1.1隨機(jī)向量及數(shù)字特征6.1.2n維正態(tài)分布6.1.3距離

6.1.1隨機(jī)向量及數(shù)字特征

n維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)定義為：對(duì)任意的n個(gè)實(shí)數(shù),

的聯(lián)合分布函數(shù)為1、均值向量為隨機(jī)向量，若存在，則X的均值向量為p×q階隨機(jī)矩陣的數(shù)學(xué)期望均存在，則Z的數(shù)學(xué)期望為性質(zhì)1設(shè)X為n維隨機(jī)向量，A,B分別為m×階常矩陣和n維常向量,則有

2、協(xié)方差矩陣為隨機(jī)向量，若存在，則X的協(xié)方差矩陣為記為為隨機(jī)向量，若存在，則X和Y的協(xié)方差矩陣為,

,

性質(zhì)2（1）協(xié)方差矩陣對(duì)稱且非負(fù)定，當(dāng)協(xié)方差矩陣可逆時(shí)，則為正定矩陣；（2）設(shè)X，Y分別為m維和n維隨機(jī)向量，A和B分別為r×m，s×n階常數(shù)矩陣，a和b分別為r維和s維常數(shù)向量，則（3）協(xié)方差矩陣為對(duì)角矩陣時(shí)，

兩兩不相關(guān)。

若協(xié)方差矩陣為單位矩陣，則,

（4），,

3、相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣為，相關(guān)系數(shù)矩陣的主對(duì)角線都是1，且為對(duì)稱矩陣。,

例1設(shè)

X~N(0,1),Y~N(0,1),D(X

Y)=0,求(X,Y)的協(xié)差陣，例2

設(shè)X和Y的協(xié)方差矩陣為，求相關(guān)系數(shù)矩陣。,

4、樣本的均值向量、離差陣、協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)矩陣為來(lái)自p維總體的樣本，,

樣本的均值向量樣本的離差陣,

樣本的協(xié)方差矩陣定義為樣本相關(guān)系數(shù)矩陣定義為

例3

已知數(shù)據(jù)矩陣求樣本的均值向量、協(xié)方差矩陣、相關(guān)系數(shù)矩陣。

1、服從二維正態(tài)分布

的隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)6.1.2n維正態(tài)分布

2、服從n維正態(tài)分布的隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)n維正態(tài)分布

3、n維正態(tài)分布的性質(zhì)（1），它的每一個(gè)分量都服從正態(tài)分布反之，都是正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則（2）的充要條件為都服從正態(tài)分布，不全為0

（3），若（4），則相互獨(dú)立和兩兩不相關(guān)等價(jià)

（5）多維正態(tài)分布的任意線性組合仍為多維正態(tài)分布。（6）多維正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣是對(duì)角矩陣，則它的分量是相互獨(dú)立的。（7）獨(dú)立，且，則，

即獨(dú)立正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布

4、結(jié)論（1）獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，A為n階正交矩陣，獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（2）

，A為n階正交矩陣，（4）

，A為n階對(duì)稱冪等矩陣

，

（3）

，A為n階正交矩陣，（5）

，A為n階對(duì)稱冪等矩陣

，

（6）A為n階對(duì)稱矩陣，B為m×n矩陣，BA=0，

則獨(dú)立（7）A、B為n階對(duì)稱矩陣，BA=0，

則獨(dú)立（8），A為m×n矩陣，且列滿秩，a為m維列向量，則6.1.3距離距離就是平面上兩個(gè)點(diǎn)的直線距離。常用的度量距離的方法有：歐氏距離、馬氏距離（MahalanobisDistance)、曼哈頓距離（Manhattandistance）、余弦值（cos），相關(guān)度（correlation）等。1、歐氏距離2、標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離樣本數(shù)據(jù)集X的均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為S例4計(jì)算A（500,3）與B（100,4）的標(biāo)準(zhǔn)歐氏距離3、馬氏距離樣本向量協(xié)方差矩陣為S