2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷(理)滿分150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1.設(shè)集合，U為整數(shù)集，?U(A∪B)=A.{x|x=3k,k∈Z} C. D.?2.若復(fù)數(shù)a+i1?ai=2,a∈R，則A.-1 B.0· C.1 D.23.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B=（）A.21 B.34 C.55 D.894向量，且a+b+c=0，則A.?15 B.?25 C.5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a1=1,Sn為an前n項(xiàng)和，A.7 B.9 C.15 D.306.有60人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.17.“”是“sinα+cosβ=0A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件8.已知雙曲線的離心率為5，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A.15 B.55 C.259.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A120 B.60 C.40 D.3010.已知fx為函數(shù)y=cos2x+π6向左平移π6個(gè)單位所得函數(shù)，則A.1 B.2 C.3 D.411.在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，，則△PBC的面積為（）A.22 B.32 C. D.12.己知橢圓x29+y26=1，F(xiàn)1,F2A.25 B.302 C.35二、填空題13.若y=(x?1)2+ax+sin14.設(shè)x，y滿足約束條件?2x+3y≤33x?2y≤3x+y≥1，設(shè)z=3x+2y，則z的最大值為15.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為16.在△ABC中，AB=2，，D為BC上一點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，則AD=_________．三、解答題17.已知數(shù)列an中，a2=1，設(shè)Sn為an（1）求an（2）求數(shù)列an+12n的前18.在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥（1）求證：AC=A（2）若直線AA1與距離為2，求AB119.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）．（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X，求X分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對(duì)照組：17318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：<m≥m對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：k0.100.050.010P2.7063.8416.63520.已知直線x?2y+1=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B（1）求；（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，MF?NF=021.已知（1）若a=8，討論f(x)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．四、選做題22.已知P(2,1)，直線l:x=2+tcosαy=1+tsinα（t為參數(shù)），α為l傾斜角，l與x軸，y軸正半軸交于A（1）求α的值；（2）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．23.已知．（1）求不等式fx（2）若曲線與x軸所圍成的圖形的面積為2，求a2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)滿分150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1.設(shè)集合，U為整數(shù)集，?U(A∪B)=A.{x|x=3k,k∈Z} C. D.?【答案】A【解析】因?yàn)檎麛?shù)集Z=x|x=3k,k∈Z∪x|x=3k+1,k2.若復(fù)數(shù)a+i1-ai=2,a∈R，則A.-1 B.0· C.1 D.2【答案】C【解析】因?yàn)閍+i1-ai所以2a=21-a2=03.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B=（）A.21 B.34 C.55 D.89【答案】B【解析】當(dāng)n=1時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=1+2=3，B=3+2=5，n=1+1=2；當(dāng)n=2時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8，B=8+5=13，n=2+1=3；當(dāng)n=3時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A=8+13=21，B=21+13=34，n=3+1=4；當(dāng)n=4時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B=34．故選：B.4.向量，且a+b+c=0A.-15 B.-25 C.【答案】D【解析】因?yàn)閍+b+c即a2+b2+2a?如圖,設(shè)OA=由題知,等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a1=1,Sn為an前n項(xiàng)和，A.7 B.9 C.15 D.30【答案】C【解析】由題知,即,即,即.由題知q>0,所以q=2.所以S4=1+2+4+8=15.6.有60人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【答案】A【解析】報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)為，記“某人報(bào)足球俱樂(lè)部”為事件A,記“某人報(bào)兵乓球俱樂(lè)部”為事件B，則，所以.故選:A.7.“”是“sinα+cosβ=0A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，例如α=π2,β=0但即推不出sinα+當(dāng)sinα+cos即sinα+cos綜上可知，是sinα+cos故選：B8.已知雙曲線的離心率為5，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A.15 B.55 C.25【答案】D【解析】由e=5，則c解得ba=2，所以雙曲線的一條漸近線不妨取則圓心(2,3)到漸近線的距離d=|2×2-3|所以弦長(zhǎng)|AB|=2r2-9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.30【答案】B【解析】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A42=12種方法，同理：b,c,d,e所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5×12=60種.故選：B.10.已知fx為函數(shù)y=cos2x+π6向左平移π6個(gè)單位所得函數(shù)，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)閥=cos2x+π6向左平移π6而顯然過(guò)0,-12與1,0作出fx與的部分大致圖像如下，考慮2x=-3π2,2x=3π2,2x=7π當(dāng)x=-3π4時(shí)，f-當(dāng)x=3π4時(shí)，f3π當(dāng)x=7π4時(shí)，f7π所以由圖可知，fx與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：C.11.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，，則△PBC的面積為（）A.22 B.32 C. D.【答案】C【解析】法一：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4，所以AC=BD=42，則DO=CO=2又PC=PD=3，PO=OP，所以△PDO?△PCO，則∠PDO=又PC=PD=3，AC=BD=42，所以△PDB?△PCA，則PA=PB在△PAC中，PC=3,AC=42則由余弦定理可得PA故PA=17，則，故在△PBC中，PC=3,PB=所以cos∠又0<∠PCB<π，所以sin∠所以△PBC的面積為S=法二：連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4，所以AC=BD=42在△PAC中，PC=3,∠則由余弦定理可得PA2=AC2+PC不妨記PB=m,∠因?yàn)镻O=12即PA2則17+9+2×-3=m又在△PBD中，BD2=PB2兩式相加得2m2-34=0故在△PBC中，PC=3,PB=所以cos∠又0<∠PCB<π，所以sin∠所以△PBC的面積為S=故選：C.12.己知橢圓x29+y26=1，F(xiàn)1,F2A25 B.302 C.35 【答案】B【解析】方法一：設(shè)∠F1P由cos∠F1由橢圓方程可知，a2所以，S△PF1即xp2=9×故選：B．方法二：因?yàn)镻F1+即PF解得：PF而PO=12即PO=故選：B．方法三：因?yàn)镻F1+即PF12由中線定理可知，2OP2+F1故選：B．二、填空題13.若y=(x-1)2+ax+sin【答案】2【解析】因?yàn)閥=fx=x-1所以f-π2則πa=π2+1此時(shí)fx所以f-x又定義域?yàn)镽，故fx為偶函數(shù)，所以a=2.故答案為：14.設(shè)x，y滿足約束條件-2x+3y≤33x-2y≤3x+y≥1，設(shè)z=3x+2y，則z的最大值為【答案】15【解析】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-32x+z2由-2x+3y=33x-2y=3可得x=3y=3，即,所以z故答案為：1515.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為【答案】12【解析】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，EF中點(diǎn)為O，取AB，中點(diǎn)G,M，側(cè)面BB1C1C中心為N由題意可知，O為球心，在正方體中，EF=F即R=2則球心O到的距離為OM=ON所以球O與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.故答案為：1216.在△ABC中，AB=2，，D為BC上一點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，則AD=_________．【答案】2【解析】如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22因?yàn)閎>0，解得：b=1+3，由S12解得：AD=3故答案為：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×由正弦定理可得，6sin60°=因?yàn)?+3>6>2又∠BAD=30°，所以，即AD=AB=2故答案為：2．三、解答題17.已知數(shù)列an中，a2=1，設(shè)Sn為an（1）求an（2）求數(shù)列an+12n前n【答案】（1）an=n-1【解析】【1】因?yàn)?Sn=nan，當(dāng)n=1當(dāng)n=3時(shí)，21+a3當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=化簡(jiǎn)得：n-2an=n-1an-1，當(dāng)當(dāng)n=1,2,3時(shí)都滿足上式，所以an【2】因?yàn)閍n+1212兩式相減得，12=1-1+n21218.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥（1）求證：AC=A（2）若直線AA1與距離為2，求AB1【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）13【解析】【1】如圖，∵A1C⊥底面ABC，BC?∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C,AC?∴BC⊥平面ACC1A1，又BC?平面BCC1B1，∴平面過(guò)A1作A1O⊥CC1交于O，又平面ACC1A∴A1O⊥平面BCC1B1到平面在Rt△A1CC1中，∵△A1OC,△CO2+A1∴1+x2+1+(2-x，∴AC=【2】∵AC=A1∴BA=BA1，過(guò)B作，交AA1于D，則D由直線AA1與距離為2，所以∵A1D=1，，在Rt△ABC，∴BC=AB2-AC由CM∥A1C∴C1M∥A1C，∴C∴C1M⊥AM，則在Rt△A在Rt△AB1C∴AB1=(22)2+(所以AB1與平面BCC19.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）．（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：<m≥m對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：k0.100.050.010P2.7063.8416.635【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，E(X)=1（2）（i）m=23.4；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能【解析】【1】依題意，X的可能取值為0,1,2，則P(X=0)=C200C20所以X的分布列為：X012P192019故E(X)=0×19【2】（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為14.4，后續(xù)依次為17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,?故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m=23.2+23.6故列聯(lián)表為：<m≥m合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，K=40×(6×6-14×14所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.20.已知直線x-2y+1=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B（1）求；（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，MF?NF=0【答案】（1）p=2（2）12-8【解析】【1】設(shè)Ax由x-2y+1=0y2=2px可得，y所以AB=即2p2-p-6=0，因?yàn)閜>0【2】因?yàn)镕1,0，顯然直線MN設(shè)直線MN：x=my+n，Mx由y2=4xx=my+n可得，yΔ=16m因?yàn)镸F?NF=0即my亦即m2將y1+4m2=所以n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+22設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，所以d=n-1MN=21+所以△MNF的面積S=1而n≥3+22或