函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、中心對稱、軸對稱、周期性）

目錄

題型01奇偶性基礎(chǔ)

題型02中心對稱型函數(shù)

題型03軸對稱型函

題型04斜直線軸對稱

題型05“正余弦”型對稱

題型06伸縮型對稱

題型07一元三次函數(shù)型中心對稱

題型08“局部周期”型函數(shù)性質(zhì)

題型09雙函數(shù)型對稱

題型10原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)型雙函數(shù)對稱

題型11放大鏡型函數(shù)性質(zhì)

題型12抽象函數(shù)賦值型性質(zhì)

題型13對稱型恒成立求參

題型14構(gòu)造“對稱”型函數(shù)

高考練場

熱點(diǎn)題型歸納

題型01奇偶性基礎(chǔ)

【解題攻略】_____________________________________________________________________________

高莉函函而桂欣：

[①偶函數(shù)0/（-X）=?。?關(guān)于丁軸對稱O對稱區(qū)間的單調(diào)性相反；;

:②奇函數(shù)0/（-x）=-Xx）O關(guān)于原點(diǎn)對稱O對稱區(qū)間的單調(diào)性相同；：

:③奇函數(shù)宙=0處有意義時(shí),必有結(jié)論＜0）=0；

嗇偶性的判定i

I①"奇士奇"是奇，"偶士偶"是偶，"奇X/.奇"是偶，"偶X/一偶"是偶，"奇X/.偶”是奇；:

珍奇（偶）函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運(yùn)算，奇偶性不變；

[③奇（偶）函數(shù)的絕對值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù).j

SSvi]

（2023秋?山西?高三校聯(lián)考期中）

題號：1

已知函數(shù)/（x）=（x+a-2）（x2+q-I）為奇函數(shù)，則/（a）的值是（）

A.0B.-|2C.12D.10

【典例1-2】

（2023秋?北京昌平?高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校校考階段練習(xí)）

題號：2

已知/⑴二與1，則（）

A./(x)為偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

B./(X)為偶函數(shù)，且在(0,+oc)上單調(diào)遞減

C./(x)為奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

D./(x)為奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

【變式1-1】

(2023?全國?高一專題練習(xí))

題號：3

若/?(x)=eT-a8為奇函數(shù)，則/(X)4-c的解集為()

A.(-00,2]B.(-oo,1]C.[2,+8)D.[1,+8)

【變式1-2】

(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)

題號：4

已知/(X);匕目(440)是奇函數(shù)，則”X)在.V-(處的切線方程是()

A.y=xB.y=2vC.y=exD.y=2ex

【變式1-3】

(2023秋?天津和平?高三天津一中校考階段練習(xí)).

題號：5

已知函數(shù),XGR,若對任意.vC[m.〃I+I],都有/(2/n-x)>0成立，則實(shí)

數(shù)〃的取值范圍是C)

A.(0,+oc)B.[0,+oo)C.(2,+x>)D.[2,+x)

題型02中心對稱型函數(shù)

【解題攻略】

布藏觥懿；…

i(1)若函數(shù)兒丫)滿足+X)+如z-X)=2b,貝版x)的一個對稱中心為(a,b)

：(2)若函數(shù)”)滿足/(2a-x)+-)=2b,則危)的一個對稱中心為(a,6)

;(3)若函數(shù)4x)滿足"2a+x)+人-幻=26,則/(x)的一^對稱中心為(a,6).

隔箱j

題號：6_____

已知函數(shù)/(x)=/〃(小疝2戈+1+shu)(xWR)，則存在非零實(shí)數(shù)'o,使得()

2

A.f(xn)=-IB./(A-o)-/(-Vo)=

C

-/(/(xo))=①(6+1)D.f(7r+xa)-f(xn)=1

【典例1-2】

題號：7

函數(shù)V=5sin（爭+即（-15Wx力0）的圖象與函數(shù)片圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

【變式1-1】

題號：8

設(shè)函數(shù)/（力=53+加m+由（》+必_7）-巡）最大值為5,則/（X）的最小值為（）

A.-5B.1C.2D.3

【變式1-2】

題號：9

已知函數(shù)/（x）=bg2（廣511）-芫7+2,XER,若三大［0,孫吏關(guān)于〃的不等式

/（2sin。-cosff）+/（4-2sin。-2co3-ni）＜2成立，則實(shí)數(shù)〃的范圍為.

【變式1-3】

題號：10

題型03軸對稱型函數(shù)

【解題攻略】

腳函唯的需甬曾領(lǐng)口示:一…

；(1)若函數(shù)/(X)滿足/(a+x)=五。-x),貝隊(duì)X)的一條對稱軸為x=a

\(2)若函數(shù)/(x)滿足/(2a-x)=小)，貝!|/(x)的一條對稱軸為x=a

：(3)若函數(shù)/(X)滿足/(2a+x)=/(-x),貝奴x)的一條對稱軸為x=a

：(4)/(a-x)=/(6+x)空危)的圖象關(guān)于直線x=:'對稱；

'【典例*i

(2023上?重慶?高三重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考)

題號：11

已知定義在R上的函數(shù)/(X),函數(shù)v=/(x+l)為偶函數(shù)，fi^VX1,X2e[1,+8)但62)都有

[/(^l)_/(v2)](xl-x2)>0-若/(a-1)s/(3a)，貝必的取值范圍是.

【典例1-2】

(2023上?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中)

題號：12

已知函數(shù)/(x)滿足關(guān)系式/(2+x)=/(-x),且對于V.t1,fW(-°°,1](工法叼)，滿足

/3)二,(叼)<6皈立,若不等式/(aOv/M+S)對VxeR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【變式1-1】

(2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí))

題號：13

設(shè)定義在R上的函數(shù)/(X)在(-%,2]單調(diào)遞減，且〃x+2)為偶函數(shù)，若,2mtn,且有

/(2m)=f(n),則J十鄴的最小值為.

【變式1-2】

(2023上?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)

題號：14

若函數(shù)/(x)=|(l-x2)(x2+ar+6)|-c(c,0)的圖象關(guān)于直線》=-2對稱，且/(》)有且僅有4個零

點(diǎn)，則a+/>+曲值為.

【變式1-3】

(2023上?陜西榆林?高三?？茧A段練習(xí))

題號：15

函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于對稱，在區(qū)間(0,；)上，/(x)=2v-l,則

/(W)-.

題型04斜直線軸對稱型

【解題攻略】

關(guān)于斜直線軸對稱，可以借鑒圓錐曲線中直線的對稱性來處理

n-b

------x-1

m-a

(1)點(diǎn)6)關(guān)于直卑l(fā)x+By+C=0的對稱點(diǎn)/(m,〃),則有

a+mb+n

A--+C=0

(2)直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決.:

如果斜直線軸對稱，還有以下經(jīng)驗(yàn)公式：

如果對稱軸所在的直線斜率是土1,即直線是)，=±x+6型，可以利用反解對稱軸法直接求出對稱變i

換式子

y=±x0+b

x=+y0-b

)如果4(為,此)關(guān)于直線/:>=x+6的對稱點(diǎn)為3,貝帕的坐標(biāo)為(y0~b,x0+6)；

⑵如果人均⑹關(guān)于直線/:尸一x+6的對稱點(diǎn)為3,貝帕的坐標(biāo)為(一處+①一和+Z?)

[Sw-i]

(2023上?重慶?高三西南大學(xué)附中校考)

題號：16

已知函數(shù)/(2+.H)為奇函數(shù)，/(x)的函數(shù)圖象關(guān)于尸丫對稱，且當(dāng)時(shí)，/(A)-sin^.v,則

/(A------------------------------，

【典例1-2】

(2023上?遼寧?高三校聯(lián)考)

題號：17

已知定義域?yàn)镽的函數(shù).L〃x)滿足f(2-x)+〃x)=2,且其圖象關(guān)于直線廠r對稱，若當(dāng)

xW(0,l)時(shí),/(x)=2*-l,則/(后-3卜.

【變式1-1】

(2023上?遼寧大連?禺三大連八中校考期中)

題號：18

已知函數(shù)/?(x)=0-a)ln(l+t),若曲線v=/Q)關(guān)于直線'/對稱，貝L+/)的值為

【變式1-2】

(2023上?上海浦東新?高三華師大二附中?？?

題號：19

已知函數(shù)/'(x)=；；；■、；(a#0)的圖象過點(diǎn)(-4,4),且關(guān)于直線l-、成軸對稱圖形，貝加+”

【變式1-3】

(2021上?高一?？颊n時(shí)練習(xí))

題號：203

-

若函數(shù)g(x)的圖象與＜(%)=54冏圖象關(guān)于直線v=、對稱，則g(2)的值等于

()

5

225

A~-D

--65一-

C.5TT

題型05“正余弦”型對稱

【解題攻略】

二在余弦壅函數(shù)為禰性質(zhì)廠課類比正弦"或者余孩r簡活注憶:…

(1)兩中心(。,0),(6,0),-=\a-b\-,

(2)兩垂直軸x=a,x=6,則/=\a-b\；

(3)一個中心(a,0),一條軸x=b,貝歸=|a-臼

【麗1二彳】

題號：21

函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且“x-l)為偶函數(shù)，當(dāng)在［0刀時(shí)，"X)-金，若函數(shù)

g(x)=/(x)-X-M合有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/)的取值集合是()

A.+B.++

C.(44-孑,必+,)/ezD.(44+:,4k+竽)*ez

【典例1-2】

題號：22

定義在R上的偶函甄G)滿足/'(7)+/(%-2)=0,當(dāng)-IWxgO時(shí)，〃x)=(l+x)鏟(已知

Iny=0.405)，則()

A./(2022)</(k)g2^)</(e0.3)B./(2022)</(e?-3)</(bg,-^)

C./(60.3)</飽高)v〃2022)D./他端)v/(e0,3)<〃2022)

【變式1-1】

題號：23

已知定義在R上的函數(shù)尸滿足條件“X仔)一/(x),且函數(shù)L/QL》為奇函數(shù)，則下列說法中錯

誤的是()

A.函數(shù)/(X)是周期函數(shù)；

B.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)|[,0)對稱；

C.函數(shù)〃x)為R上的偶函數(shù)；

D.函數(shù)為R上的單調(diào)函數(shù).

【變式1-2】

題號：24

,

已知函數(shù)〃x)1g(X)的定義域?yàn)镽,g(x)為g(A珀勺導(dǎo)函數(shù)，且/1(x)+g(x)=2,/(x)-g(4-v)=2,若gfx)為

偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是()

A.7(4)=2B.0(2)=0

C./(-1)=/(-3)D./⑴+〃3)=4

【變式1-3】

題號：25_

定義在R上的函數(shù)/(X)滿足/(-x)+/(x)=0,/(-x)=/(x+2)；且當(dāng)［0,1］時(shí),

/(、)=x3_"+x.貝(］方程4/(大)一x+2=0所有的根之和為()

A.6B.12C.14D.10

題型06伸縮型對稱

【解題攻略】

伸縮變換

1斕中卜.仲:。陽火的M,,HH*.小變v=af(x)

索:，…」一一，…上二氐工L」二匕一二

【典例1-1】

（2023秋?湖南懷化?高三統(tǒng)考）

題號：26

已知v=〃x）不是常函數(shù)，且是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若v=/（2x+l）的最小正周期為1,則（）

A./(x+1)=/(-x+1)

C./(1)=/(-1)=0

【典例1-2】

（2023?河南?長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）

題號：27

若函數(shù)/'（x）的定義域?yàn)镽,且/'（入+1）為偶函數(shù)，/（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3,3）成中心對稱,

則下列說法正確的個數(shù)為（）

①的一個周期為2②/（22）=3

19

③Z/（i）=57（7GN）④直線\=4是/（X）圖象的一條對稱軸

【變式1-1】

（2022秋?重慶南岸?高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）

題號：28

已知是定義在R上的函數(shù)，〃2t+l）是奇函數(shù)，且〃4x+2）是偶函數(shù)，則下列選項(xiàng)一定正確的

是（）

A.函數(shù)"X）的周期為2B.函數(shù)/（x）的周期為3

C./（2022）=0D./（2023）=0

【變式1-2】

（2022秋?吉林長春?高三長春市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）

題號：29

設(shè)函數(shù)7?1）的定義域?yàn)镽,且/.（X+2）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則一定有（）

A./(4)=0B./(-1)=0C./⑶=0D."5)=0

【變式1-3】

（2022秋?廣西玉林?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）

題號：30

已知〃X-1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g(x)=/(2r+3)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則()

A.g(2)=0B.g(3)=0C.〃3)=0D./(5)=0

題型07一元三次函數(shù)型中心對稱

【解題攻略】_____________________________________________________________________________

配看函三次函頻輪看，，拐點(diǎn)"，百夜”拐點(diǎn)"田是函藪yl數(shù)函窗豪1

旭對稱中心，

翊'(X)是函數(shù)仆)的導(dǎo)數(shù)，/'(X)是/'6)的導(dǎo)數(shù)，若方程八(x)=0有實(shí)數(shù)解》,則稱點(diǎn)加小。))為函:

數(shù)8=ax3+bx2+ex+d(aR0加勺"拐點(diǎn)".：

’【施而二彳】

題號：31

給出定義：設(shè)/'(X)是函數(shù)v=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，r(x)是函數(shù)v=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程/"(x)=0有實(shí)

數(shù)解L%,則稱(XoJ(Xo))為函數(shù)v=/(x)的"拐點(diǎn)”經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)

/(x)=ox3+bx2+cx+d(ar0)都有“拐點(diǎn)"，且該"拐點(diǎn)"也是函數(shù)v=/(x)的圖像的對稱中心，若

函數(shù)/3="一次2,則/(襦)+/(贏)+/(俞)+?嬲”()

A.8082B.2021C.-8082D.-2023

【典例1-2】

題號：32

已知一元三次函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為其二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).若/(X)=X3-鋁+3x+1,則

【變式1-1】

題號：33

在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)“X)=。必+瓜.2+cx+d(aW0)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列可能正確的序

號是()

①②④

A.①②B.①③C.③④D.①④

【變式1-2】

題號：34

設(shè)函數(shù)y=/(x)是y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)/。)=?3+m2+以+/

(ar0)的圖象都有對稱中心(.”,/(%)),其中均滿足八%)=0,已知函數(shù)/-(x)=2始-3x2+9x-孑

，則”+)+/(疆卜()

A.0B.1C.1D.g

【變式1-3】

題號：35

一般地，對于一元三次函數(shù)/(X),若r(Xo)=O,則(飛,/(而))為三次函數(shù)/(X)的對稱中心，已知

函數(shù)/(工)=》3+aH+I圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)為“(.vu>0),且/(C有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A-(一0-羋)B.(-8.0)

C.(0,+ac)D.(—?,—1)

題型08“局部周期”型函數(shù)性質(zhì)

(福建省長汀縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題)

題號：36

定義在[0,+oo)上的函數(shù)“X)滿足L：；”？一.

'l/(x-1)-2,xe[1,+8)

(i)/(2021)=.

(ii)若方程/(x)-h=(宿且只有兩個解，則實(shí)數(shù)舶勺取值范圍是.

【典例1-2】

題號：

371

-

2)+a.x<0,

已知/(x)=且方程/(.V)-M合有兩解.則實(shí)數(shù),7的取值范圍是

1),x>0.

【變式1-1】

(2021下?天津武清?高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校)

題號：38_______

已知函數(shù)/(、)=仲一(XT)2,0WX<2,若對于正數(shù)直線y=hr與函數(shù)的圖像恰好

{f(x-2),x>2

有2〃T個不同的交點(diǎn)，則Aj+后+...+k；t=.

【變式1-2】

(2021上?四川資陽?高三統(tǒng)考期末)

題號：39

已知函數(shù)人工卜場［，；：：］］函數(shù)/(X底LR處的切線為/，若\<所<發(fā)貝!!/與/Q)的圖象的公

共點(diǎn)個數(shù)為I

題型09雙函數(shù)型對稱

【解題攻略】

雙函黝醺：

1.雙函數(shù)各自對應(yīng)的對稱中心和對稱軸等性質(zhì)

2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系

(2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測)

題號：40

已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(x+1)是奇函數(shù)，fi/(l-x)+g(x)=2,/(.r)+g(x-3)=2,則

()

A.f(x)為奇函數(shù)B.g(x)為奇函數(shù)

2020

C.Z/的=40D.》依)=40

【典例1-2】

(2023春?河南開封?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)

題號：41

已知函數(shù)/Xx),g(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)-g(l+x)=2,g(x)+/(3-x)=4,若g(x)為偶函

28

數(shù)./(3)=1,則￡g(k)=()

Jb=l

A.24B.26C.28D.30

【變式1-1】

(2023秋?江西?高三校聯(lián)考期末)

題號：42

已知函數(shù)/(X),g(x)的定義域均為R,、目/(x)-g(2-x)=-5,g(x)+/(x+2)-3■?若/(\)的圖象

關(guān)于直線x=l對稱，且〃3)=-3,則￡g*)=()

jb=1

A.80B.86C.90D.96

【變式1-2】

(2023秋?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))

題號：43

y=/(K)的定義域?yàn)镽,y=/(x+2)為偶函數(shù)，/(2)=L@./(x)=g(2v)-g(4-2v),則下列說法不

正確的是()

A.y=/⑴的圖象關(guān)于(1,0)對稱B.y=/⑴的圖象關(guān)于工=2對稱

r22

C.4為y=/(x)的周期D.Z/優(yōu))=0

Jb=l

【變式1-3】

(2022秋?四川成都?高三成都?？紝ｎ}練習(xí))

題號：44

已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,為偶函數(shù)，且/(*)+8(2-.》)=1，8(*)-/'*-4)=3,

下列說法正確的有()

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于'1對稱

B.函數(shù)〃X)的圖象關(guān)于(-1,-2)對稱

C.函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)

D.函數(shù)g(x)是以6為周期的周期函數(shù)

答案詳解

1.

噲】D

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可知/(0)=0,由此可以求出。的值，進(jìn)而可以求出/(a).

【詳?shù)挂驗(yàn)楹瘮?shù)/(X)=(x+a-2)(x2+a-I)為奇函數(shù)，

所以/(0)=0,BP(a-2)(a-l)=0,BPa=2s&i=1,

顯然函數(shù)/(x)-(x+a-2)(x：+a-1)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且當(dāng)?-2時(shí)，W/(x)=x(x2+I),從而有/(-x)=-x(.v2+1)=-/(x),

與T時(shí)，有/(x)=x2(x-1),但/(-1)=-2于-/(1)=0,

所以a-2,即/(X)=x(x2+|),

所以/(a)=/(2)=2x(22+1)=10.

故選：D.

2.

【答案】C

［分析］根據(jù)函數(shù)定義判斷函數(shù)的奇偶性以及結(jié)合指數(shù)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

/(-x)=3'-3'=-/(A),

結(jié)合奇偶性定義，可知函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，

結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，.p=3'.y=-3".在(0,+8)單調(diào)遞增，

故/'(x)=3J3r在(0,+a)單調(diào)遞增，

故選；C.

3.

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的定義求出，，值，再由函數(shù)單調(diào)性求解不等式作答.

【詳解】由/(x)=e-*-ae'為奇函數(shù)，W/(~x)+f(x)=(ev+e-x)-+er)-0,解得a=L

于是〃x)=er-e3而.丫=L、是減函數(shù)，j，=8?是增函數(shù)，函數(shù)，(x)是R上的減函數(shù)，

j-e<=>/(.r)</(1),L

所以不等式/(x)wj-c的解集為［1,+oo).

故選：D

4.

刖】B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出“，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，即可得解.

【詳解】因?yàn)椤▁)為奇函數(shù)，

所以〃-A+/(x)=+『=0，

化簡可得t5八一e2v十&1公—1一0,

當(dāng)L2時(shí)，對任意YWR方程成立，

故/(X)=I=e，-e_t.

所以/'(x)=片+―3

蜘=/(0)=2,

所以切線方程為.v-/(0)=2x,即N=2v.

故選：B

【答案】C

【分析】由解析式.奇偶性定義判斷/⑺的單調(diào)性、奇偶性，再將條件化為，心會在r€],*"1+1]上恒成立，即可求范圍.

【詳解】由/仆)=宜于在rCR上單調(diào)遞增，且/(-x)=j￡=-/(x),即為奇函數(shù)，

所以/(2m一工)+/'(w-A)>0=>2m-x)>—f(m-x)-f(x—m)t

則2m-x>x-ni^m>yvffivG(ZM,7?J+1]上恒成立，

所以〃>q(m+1)=m>2.

故選：C

【答案】D

【解析】判斷函數(shù)/(不)的奇偶性并求出其值域，根據(jù)值域可判斷A錯誤；

由函數(shù)的奇偶性可推出/(%)=1，此式不成立，故B錯誤；

由所給等式可知/(匯0)-1,此時(shí)不成立，故C錯誤；

由二角函數(shù)誘導(dǎo)公式可知/(乃+與)-h(Jsin2Ko+1-siiivo)=f(-.r0)?代入等式可得/(的)=成立，故D正確.

【詳解】r/(x)=h(Jsin)工十1+sinx).In(',[------)=一In(^sin2x+1-sin.v),

VsinF+I-sin.v

/(-A*)-In(Jsin—十1-siav)，

???/(-、)=一/(、)，???/(、)是定義在R上的奇函數(shù)，

令LsiruG[—1,1],/'(/)=h(—+i+j="7(一r)，

當(dāng)W[0,1]時(shí),/(I)單調(diào)遞增，??.0=/(0)W/(f)S/(l)=ln(&+l),

又函數(shù)/(f)為奇函數(shù)，.?.一]0(卷+1)&ln(0+l),

.,.函數(shù)/(充)的值域?yàn)?-In(e+I),In(祖十1)],

???一1〈一|!1(隹+1)，、不存在％使得/(的)=-1成立，A錯誤；

-)-/(-與)=/(頻)，???若/(飛)-〃-工o)=2岫,則/(殉)=1,

又函數(shù)/(匯)的值域?yàn)閇-h(祖+l).ln(E+1)],

所以/(的)---2不成立，B錯誤；

若/'(/(而))=厲("+1)成立，則/(聞)一I,/(的)一I不成立，C錯誤；

2

???/(江十工0)-ln(7sinx0+l-sinv0)=/(-x0)r

A/(^*A0)-/(X0)=2/(-x0)=-2/(x0)=4

則/(兩)=一'成立,故D正確

故選：D

咨】-7

【分析】由函數(shù)解析式可得兩函數(shù)圖象均關(guān)于點(diǎn)（T,0）曲，進(jìn)而探討函數(shù).粉裂的單調(diào)性，然后畫出圖象的大致睜,

即可求得兩圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

【詳解】易知函數(shù)v-5sin（Wx+g）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-I,0）對稱,

設(shè)函數(shù)「?。?融2圖象上任意一點(diǎn)為出“），則它關(guān)于（工。）的麗點(diǎn)為8L2—將其代入

5(-1-工)________

y=〃x）的解析式得:

(-2-N)2-2(-2-X)+2

日n_5(工+1)_5(工-1)=5(x+1)'于是函數(shù)L*當(dāng)關(guān)于點(diǎn)T，。）對掰

即‘(X+2)2-2X-2~(x+2)2-lr-2婷+2行2

顯+2什2-(-+l)(2x+2)

又/（工）=5?

(x2+2x+2)2(x2+lt+2)2

所以\W(-X,一2)時(shí)，/(五)<0,y=/(x)單調(diào)遞減rxE(-2,0)W,f(x)>0,.v=/(x)單調(diào)遞增，xE(0,+oo)

時(shí)，/（工）<0,N=/（x）單調(diào)遞減

于是工=-2時(shí)，y=/（x）的極小值為-2）=-今,

而v=5sin（—-）=-5sin5<—5sin^=

尸。時(shí)，y=/（x）的極大值為/，（0）=當(dāng)，

而v=5sing>5sin^=g?

現(xiàn)作出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖：

故融為：-7.

【點(diǎn)睛】本題在函數(shù)的對稱性的應(yīng)用類題型中非常典型，首先要對函數(shù)的大致圖象要有所把握（在草稿紙上分析），進(jìn)而找出函數(shù)的對

稱點(diǎn)或?qū)ΨQ軸（大題需說明理由），然后討論函數(shù)的單調(diào)性；需要注意的是在本題中在［-2⑼這個區(qū)間上（即函數(shù)），=/（工）兩

個極值點(diǎn)之間），兩個函數(shù)都是單調(diào)遞增，這里有一個函數(shù)增加快慢的問題，如果把函數(shù).\，=/（、）的圖象畫得太靠近，軸，最

后會影響兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)，這個時(shí)候往往代特值比較兩個函數(shù)的函數(shù)值大小進(jìn)行解決.

8.

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設(shè)g(x)-a<3-/)siru+dn(A+”T)，利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出g(x)是奇函數(shù)，結(jié)合條件得出g(.r)

的最大值和最小值，從而得出/(X)的最小值

【二】解：由題可知,f(A)-ax^戾inx-cln(A+^x2+1)-3，

設(shè)g(v)~aH-Asinx+ch(x+代+i),義域?yàn)镽,

又g(-x)=a(一工戶十層皿(-x)+cln(-x+J(-.r)2+1)?

即且(—x)--ax3-hamx+ck\(—x+^.v2+1)?

由于g(-v)+g(x)=dn(x+Jx2+i)+dn(-x+^2+1)

=cln(.r+^x2+I)(一x+舊+1)=dn(、2+I-x2)=dnl=O，

即g(-工)十g(x)-0,所以g(x)是奇函數(shù)，

而/(》)=g*)+3,

由題可知，函數(shù)/(X)的最大值為5,

則函數(shù)以2的最大值為：5?3=2,

由于是奇函數(shù)，得g(x)的最小值為2

所以/(.、)的最小值為：-2+3=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，以及奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.

【答案】

【解析】證明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而把不等式變形后應(yīng)用單調(diào)性化簡，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函

數(shù)的最值，利用換元法可得結(jié)果.

【詳解】顯然函數(shù)定義域是7?,

/(-x)+,/'(-<)=k>g,("+x2-x)--?+2+10gl("+理+x)-TA-J+2

*x'1.Z?1

=(Jl+x2-Y)(J|+顯+工)]-(苣/十+4=2,

的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，

原不等式可化為/(2疝〃coM)<2-f(4-2sin/?-2cos-m),

即/(2、in9coM)v/(一4十2sinO+2cos0+m),(*)

i§-V|<x2,則+—+A-|-(Jl+.v?十必)=71+A-|-Jl+x;+⑺-x2)-I?-「+(X|-x2)

yi+巧十yi+.力

,-------t-------1-------,-------.X|+.V2

,?同〈出同〈出豆?,?|A||+|-V2|<)/1+X1+^1+X2,.L=[+xj+j+.,<L

“1+x；+x「("+.q+x2)="「叼)({]+$+j+x；+1卜0,即山+W+X|<"+.,+X2,

>

bg,(^l+Aj+X|)<(J1+.+A2).由2"<2"得/：[.1I-

..bgJ^l+A-f+3)-+2<bg,(^l+A-5+x,)-+2，

?,./(x)是增函數(shù)，

不等式(*)化為2sinOcosZ?<m-4+2sin〃+2cosf),(**)

令t~sinO+coM=psin(0+與)，

??力€[0,多],\￡[1,小，

不等式(**)化為戶一1V〃J-4+2/，in>(t-l)2+2?

問題轉(zhuǎn)化為存在ZE[1,近],使不等式/〃>1-+2成立，

當(dāng)pl.何時(shí)，"1)2-2的最小值為2.

w>2-

故答集為：m>2-

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查能成立問題，解題方法是確定函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，把不等式化簡變形，然后再利用換元瓏問題轉(zhuǎn)化

為一元二次不等式能成立問題.分離參數(shù)后變成求函數(shù)的最大值.

10.

【統(tǒng)】D

【分析】分析給定函數(shù)的奇偶性可力除兩個選項(xiàng)，再對函數(shù)求導(dǎo)并求出在0處的導(dǎo)數(shù)值即可判斷作答.

【詳解】令/“)=、鼠+用T),COS2T，則其的定義域?yàn)?一8,+8),

f(-A*)=In(-x+^(-x)2+1)?cos(—2r)=In(-x+'x2+I)-cosZv

="In-----Jcos2x=-In(x+^r2+1)cosZv=-f(x)

x+yjx2+1

則函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，于期滁選項(xiàng)A,B;

7c尸小+即"瑞-24+師g

于是得〃0)=L即函數(shù)/6)圖象在原點(diǎn)處切線斜率大于0,顯然選項(xiàng)C不滿足，D滿足.

故選：D

11.

【答案】(-8,T]u[T，+ao)

【分析】先根據(jù)條件得到函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.

【詳解】?.?函數(shù).v=/（x+l）為偶函數(shù)，即/1+1）=/（-工+1）

二函數(shù)/"）關(guān)于直線\-1對稱，

又；對7町，必￡［1,+8）（工］羊.巧）都有［/（修）一/（工2）］（町一叼）>°，

函數(shù)/（》）在U，+8）上單調(diào)遞增，

由/（4-1）&/（%）得。-1-W囚-1|,

【分析】由已知判定函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，利用單調(diào)性去函數(shù)符號解一元二次不等式恒成立問題即可.

【詳解】由于〃2+'）=/（-X），可知函數(shù)/（、）圖象關(guān)于直線\一1軸對稱,

又對大了”叼€（-00.1］（x.&），//g二\（必）<（）恒曲,

則函數(shù)/*）在（-8,1）上單調(diào)遞減，在（I,+8）上單調(diào)遞增，

貝(IVxeR,/(ax)v/("+3)=ax-i|<M+3T|=|"+2|

2

2、.i2.(x+ax+1>0

<=>-x-2<ar-1<x+2<=>\I">—ax，3.>o八恒成立,

A|=a24<0

則A,=?2-12<0=>flG(-2'2)-

故球?yàn)椋海?2,2）.

13.

【僦4+^2

【分析】由題意可得/（冗）的對稱軸為x=2,函數(shù)/（工）在［2,十8）單調(diào)遞增，若〃J>0,〃>0,2m±n,且有/（2”）-/（〃），則

2卅十〃=4,結(jié)合基本不等式求解最值即可.

【詳解】八'+2）為偶函數(shù)，則/（-克+2）=/（"2）,則/（不）的對稱軸為「2,

函數(shù)/（X）在（一肛2］單調(diào)遞減，則函數(shù)./（、）在［2,十》）單調(diào)遞增，

若〃】2m/n,且有/（2m）一/'（〃）,

則戶叫"〃=2,即2加+〃=4,2加=4—〃，

—十孕=J+當(dāng)產(chǎn)=J十余一［=1（2加+〃）（J+射一1

=:（2m+〃）（J+g）_］=｝（6+轉(zhuǎn)+等）7

?［（6+2用.弊）-I-j+^2?

當(dāng)且僅當(dāng)備=弊蜘+*4,m>0,7!>0f即〃］-2（石-1）,〃=4（2-石）時(shí)，等號成立，

故一〒孕的最小值為彳+石.

故答案為：

14.

【答案】39

【分析】先得到&*)=|(1-堀)(以+奴+萬)|的圖象也關(guān)于、--2對稱，觀察到I,-1為g(x)的兩個庫點(diǎn)，故由對稱性可知，

g(x)的另外兩個零點(diǎn)分別為-5,-3,從而得到方程組，求出匕二：一令/心)=(■")(x2+&+15),求導(dǎo)得到其單調(diào)

性和極值情況，畫出力(X)的圖象，進(jìn)而得到如x)的圖象，根據(jù)/(X)的零點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合得至必=16,從而得到答案.

【詳解】S|(l-x2)(x2+ax+*)|-c=0ff|(l-x2)(x2+ar+A)|=c,

令g(x)=1(1-*)(顯+小/))|,

由于/(x)-l-x2)(x2+ax+b)|-c(c￥O)的圖象關(guān)于直線丫=-2對稱，

所以g(x)=|(l-x2)(x2+ax+/>)|的圖象也關(guān)于x-

顯然I.-I為g(x)的兩個零點(diǎn)，故由對稱性可知，g(x)的另外兩個零點(diǎn)分別為-5,-3,

即管之;”°,解得憶3

193a+/)=03=15

檄(X)=I(1一)("十心+15)|,

令力(、)=(I-K2)(X2+&、+15),

貝加'(工)=(-2n("十縱+15)+(1一建)(2t+8)=-4x3-24顯一28x+8

=-4Q3+6x2+7r-2)=-4(x+2)(N+4入-1),

故當(dāng)、<-2-?或-2<x<-2+而時(shí),/i(x)>0,/?(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)-B〈x<-2或丫>-2+正時(shí)，<0,/“X)單調(diào)遞減，

XA(-2-^5)=h(-2+75)=16.h(-2)=-9,

2

畫出/?(')=(I-A-)(X+8L￥+15)的圖象如下，

檄(工)=I(1-短)(顯十以-15)|的圖象是將/“》)=(I-")(x2+如+15)圖象位于、軸下方部分沿著工軸翻折至心軸上方

要想/(A)有且僅有4個零點(diǎn),貝必-[6,

故《十力+。―8+15+16=39-

故答案為：39

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分

析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)

圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通常考慮圖象的對稱性進(jìn)行解決.

15.

【分析】根據(jù)對稱性和奇函數(shù)分析可得“x+2)=f(x),進(jìn)而結(jié)合指對數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：/(^+A)=/(j-X)=-/(A-4),則/(x+l)=-/(X),

可得/(x+2),f(x+I)=-[~/(x)]:/(x),

又因?yàn)?-log,4<10gl5<-k>g,25=j.即bg?56(2,.

Miog,5-2=iog2^e(o,j).

所以“bgj)=/(Io匿)=2崛-1=5-1=5

故舐為：

16.

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可得/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)(表w)關(guān)于yr的對稱點(diǎn)為(,”1),格(小金)代入

/(X)=5畤%即可求解.

【詳解】由/(2-x3)=-/(2+x3),臥替換目可得：/(2-x)=-/(2+A),所以/(X)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，故

/(￡)=-/G)，

設(shè)/(：)=,”，由于關(guān)于嚴(yán)、對稱，又當(dāng)1—W2時(shí)，/(K)=sin打,

由于點(diǎn)(4,m)關(guān)于尸'的對稱點(diǎn)為(，"./)，則(±)在/<x)=sin冬x上，故/(,”)=sin*,"=’(IWW2),所以

夕”=誓.解得,"=g.

故唱)=7，

故答案為：

17.

【答案】-百

【分析】求得/⑴，又由/(2-x)+/(x)=2,可得/&=3-拉根據(jù)點(diǎn)尸(…)關(guān)于直線「7的對稱點(diǎn)為P(-y.-x),即

可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)27，)在函數(shù)y=/(x)的圖像上，則關(guān)于直線v=7的對稱點(diǎn)為2(5.”，

[%+4=0x=_y

則二，02，解得：｛；,：，；，則戶(-*,-X),

[x^=I°

由x€(0,1)時(shí),f(x)=2'-\,則/(，)=0-1,

又/(2-x)+/(x)=2,M/(2-5)+/(5)=2.則/南=3-亞，

由圖象關(guān)于直線丫=-x對稱，則/(3-3)=4

故答案為：-義

18.

【--I

【分析】直線關(guān)于1-6對稱，可從定義域出發(fā)判斷對稱軸的位置，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法即可得到實(shí)數(shù)。的值，檢驗(yàn)

后，即可a+力的值.

【詳例因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=0-a)ln(|+x)，

/(X)的定義域?yàn)?-1,0)U(0,+oo)

則g(x)=y=/(*)=(x-a)ln(l+4)

則g(x)的定義域?yàn)?+4=亨>0,即函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-l)U(0,+oo),

又因?yàn)榍€&(x)關(guān)于直線r-/1對稱,則定義域也關(guān)于l〃對稱,

即八T，

由對稱的性質(zhì)可知則g(x)=g(-1-x)(x>0)

令1可得g(1)=g(-2)

代入函數(shù)得(l-fl)h2-(-2-a)ln(l-4)<則([-ajln?--2-a)ln4=(2+a)h2

所以I-a=2+a,貝(laJ

為--當(dāng)時(shí)，g(.r)-(x+^)h(1+4)

驗(yàn)證是否關(guān)于a-T對稱：

g(-l-.r)=(-l-x+j)ln(l+y)=-(A+4)h(-j47)=(v+4)h(l+|)=g(.r)(x>0)fi)uz；

則a十一=-1>

故恭為：-1.

【點(diǎn)瞪】方法點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)于直線對稱，即函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，定義域也關(guān)于直線對稱，也可通過特殊值的代入進(jìn)行求解.

9

【分析】在函數(shù)/支)的圖象上任取點(diǎn)/>(.*]，)，可得該點(diǎn)關(guān)于直線--A-對稱點(diǎn)，代入函數(shù)式并比較求出從再將給定點(diǎn)代入求出〃得蟀

【詳解】在函數(shù)〃')一舟;的圖象任取點(diǎn)P(X..V),則該點(diǎn)關(guān)于直線片7對稱點(diǎn)(11，.-工)在/心)的圖象上，

即r=T■擊P整理得尸痣I，而有蚱舟;，因此…，即有/⑶一品，

又函數(shù)/仆)的圖象過點(diǎn)(-4,4),加二詞,解得