絕密★考試結束前

寧波市2023學年第一學期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若集合"={，3<81},N={0,l,2,3,4},則McN的子集個數(shù)是（）

A.4B,8C.16D.32

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合知,進而可求出集合McN,確定集合McN的元素個數(shù)，利用子集個數(shù)公式可求得

結果.

【詳解】因為M={,3"<81}={x|x<4},N={0」,2,3,4},則MN={0,l,2,3},

所以，McN的元素個數(shù)為4，McN的子集個數(shù)是24=16,

故選：C.

2.為了得到函數(shù)y=sinx的圖象，可以將函數(shù)y=sin[x+；）的圖象（3

A.向左平移,個單位長度

B.向右平移,個單位長度

4

C.向左平移工個單位長度

8

D.向右平移工個單位長度

8

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出結論.

【詳解】為了得到函數(shù)y=sinx的圖象，可以將函數(shù)y=sin(x+；J的圖象向右平移;個單位長度,

故選：B.

b

3.“一＜1”是“QVb＜0”的()

a

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式的基本性質、特殊值法結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.

bb

【詳解】當一＜1時，不妨取沙=1,a=2,則a＞6＞0,所以，"一＜1"N，

aa

b

另一方面，當。＜匕＜0時，由不等式的基本性質可得一＜1,

a

b

所以，“一＜1"u"〃vb＜0”,

a

b

因此，“一＜1”是“a＜/?＜0"的必要不充分條件.

a

故選：B.

4.已知菱形ABCD的邊長為1,若440=60°,則+()

A.73B.2C.75D.幣

【答案】D

【解析】

【分析】將同+2用平方轉化為數(shù)量積求解.

【詳解】|AB+2BC|2=(AB+2BC)2=AB2+4BC?+4AB-BC

兀

=l+4+4xlxlxcos—=7.

3

所以,8+234=77.

故選：D

/Q_2

5.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

x-\x-a\

A.a<-3B.a>3C.-3<a<3D.。<一3或a?3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)/(x)為偶函數(shù)，得，=%-|%—。|在［-3,3］(或其子集)上為偶函數(shù)，求得。的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(x)=童三己為偶函數(shù)，y=,9—爐的定義域為［—3,3］,且為偶函數(shù)，

x-\x-a\

y=%-1x—a|在［-3,3］(或其子集)上為偶函數(shù)，

20恒成立，

a<x,(-3<x<3)：恒成立,

故選：A.

6.某試驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規(guī)律，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可知，在相同條件下，這種植物每周

3

以a%的增長率生長.若經過4周后，該植物的長度是原來的一倍，則再經過6周，該植物的長度大約是原

2

來的()

A,巫倍B.趣倍C,還倍D.%四倍

24816

【答案】C

【解析】

【分析】設植物原來的長度為加，由已知可得出(1+a%)=耳，求出1+。％的值，利用指數(shù)運算可求得結

果.

3

【詳解】設植物原來的長度為加，經過4周后，該植物的長度為原來的一倍，

2

￡

即m(l+tz%)4=—m,即(1+Q%)4=—,即］+〃％-f,

22UJ

rin105

再過6周后該植物的長度為加(1+〃％)°=川d-~—8~m

因此，再經過6周，該植物的長度大約是原來的/倍.

8

故選：C.

7.已知函數(shù)/(%)=x+ln(，4%2+1+2x)+2.若VxwR,不等式24-/(|3%-24一恒

成立，則實數(shù)〃的取值范圍是()

]_]_7-]小,+/

A.B.

3」[3J

11

C.D.—GO,----------，+°°

2,22

【答案】A

【解析】

【分析】令g(H=/(x)—2=x+ln(+1+2x),分析函數(shù)g(x)的奇偶性與單調性，將所求不等式

變形為g(|2x—冊2g(/一段―2司)，可得出田一2a|+|2x—a1'/,分「=()、。>0、”0三種情況

討論，在第一種情況下，直接驗證即可，在第二、三種情況下，求出函數(shù)/z(x)=|3x—2a|+|2x-M的最小

值，可得出關于實數(shù)。的不等式，綜合可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】令g(x)=/(九)—2=尤+In(，4尤2+1+2尤卜

對任意的xeR,>/4%2+1>A/4X2=2|x|>-2x>

故對任意的xeR,74%2+1+2%>0-故函數(shù)g(x)的定義域為R，

因為g(_尤)+g(無)=—x+In~4爐+1-2x)+無+ln(j4%2+1+2x)

=ln(4x2+l-4x2)=lnl=0,所以，g(-%)=-g(x),函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

令M=J4f+l+2x，則函數(shù)a=j4l+l+2x在R上為增函數(shù)，

函數(shù)y=ln〃為增函數(shù)，所以，函數(shù)g(無)=x+ln(，4.+1+x)在R上為增函數(shù),

Efe/(|2x-?|)>4-/(|3x-2fl|-fl2),可得

g《2x-a|)+224-[g03x-2a|-4)+2]=2-g^|3x-2a\-a2^,

所以，g(|2x-a|)>-g(|3x-2a|-?2)=-|3X-2?Q,

所以，12無一fl|>—|3x—2a],即|3x—2tz|+12,x—tz|>cr,

令/z(x)=|3x_2a|+|2x_a|,

當a=0時，則有5x20,顯然成立;

當a>0時，則/z(x)=j〃一羽

__、2a

5x—3。，x2—

[3

,/x(a~\[a2a~\「2〃1

所以，函數(shù)/2(尤)在[-°°，5、—,—上單調遞減，在上單調遞增,

又因為函數(shù)妝光)在R上連續(xù)，所以，函數(shù)妝％)在一上單調遞減，在q-,+8上單調遞增,

所以，hfx].—h\—]=一,所以，cr<—,解得OWoW—,此時，0<a?—；

'7minI3J3333

3tz-5x,x<y

2aa

當a<0時，則〃(x)=<x——<%<一,

32

5x-3a,x>—

2

,/X(2alaaa\

所以，函數(shù)人(九)在-",三上單調遞減，在、5,+”上單調遞增，

la\

又因為函數(shù)妝光)在R上連續(xù)，所以，函數(shù)妝％)在一上單調遞減，在工上單調遞增,

所以，一,所以，tz2,=—,解得—Wa<0,

3'7min33

綜上所述，實數(shù)0的取值范圍是一；,；

故選：A.

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調性求解抽象函數(shù)不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式

來求解，方法是：

(1)把不等式轉化為/根(叫>/[〃(％)]；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性把不等式的函數(shù)符號脫掉，得到具體的不等

式(組)，但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

8.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+e)0>0,網苦為奇函數(shù),為偶函數(shù)，且了（龍）在

0,￡上沒有最小值，則①的最大值是（）

A.2B.6C.10D.14

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出。，再由/（%）在0，E上沒有最小值，求出答案?

=sm[a)x-^co+(p

【詳解】由題意知了利小—訃。

jr

因為/為奇函數(shù)，所以——ty+c=KM&eZ）⑴，

8

=sin[s+方0+可,

jrJT

因為/為偶函數(shù)，所以一。+夕=—+&兀eZ）（2），

82

⑴⑵相加得夕=：+空兀，

又因為何<^，所以°=:,

代入（1）得一二0+巴=匕兀（左1eZ）,即①=2-8k11kleZ）,

84

代入（2）得烏0+烏二巴+左2兀（%2￡Z）,即a>=2+8左2（左26Z）,即G=2+8左（左EZ）.

842

因為/（X）在［。弓］上沒有最小值,

設ix+9置。+3則江寧*所以。<。嗜，。的最大值是2.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個：一是利用奇偶性求出。及。的表達式；二是利用區(qū)間上沒

有最小值可求。的不等關系.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列式子化簡正確的是()

A.sin8sin52-sin82cos52=—

2

B.gcos15-sin15=血

C.1—上15

1+tan15

D.sin15sin30sin75=—

8

【答案】BD

【解析】

【分析】利用誘導公式結合兩角差的正弦公式可判斷A選項；利用輔助角公式可判斷B選項；利用兩角差

的正切公式可判斷C選項；利用誘導公式結合二倍角的正弦公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，sin8sin52-sin82cos52=sin(90-82sin52-sin82cos52

=sin52cos82-cos52sin82=sin(52-82)=sin(-30)=-sin30=-；,A錯；

對于B選項，V3cosl5-sin15=一卜inl5-A/3COS15)=-2sin(15-60)=-2sin(—45)

=2sin45=2x^=行，B對；

2

“工c、生苗1-tan15tan45-tan15/._._\V3?

對于C選項，---------=-----------------=tan45-15I=tan30?C錯；

1+tan151+tan45tan15''3

對于D選項，sin15sin30sin75=gsinl5sin(90-15)=；sinl5cos15=sin30

111j

=-x—=-,D對.

428

故選：BD.

io.已知邊長為1的正〃邊形4414.若集合尸=［臼機=44-44億/6{1,2,-,九}且，0/)},貝!?

()

A.當〃=3時，P=

B.當〃=4時，P={-1,1}

C.當〃=5時，2COS236eP

D.當〃=6時，{0,1,2}cP

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，當〃=3時，如下圖所示:

則=1，A^2,A4=11|A4cos60—一,

444A=A4,4Acos]20

2

同理可得44.4A=_],W.'W=A4,A4

2

故〃=3時，尸=（一1‘_2'2'11，A對;

對于B選項，當〃=4時，如下圖所示：

A4?=A&?AA=1，A4—AA,AA—AA*AA=AA*AA—o?

A4.4A=44?A4=—i,此時，尸={-B錯；

對于c選項，當〃=5時，取44的中點石，連接&E，則4月，44,如下圖所示:

易知正五邊形AAA44A的每個內角都為108,則/A4A=i08,故442AA=36，

則44=24石=2A4cos36=2cos36,

由平面向量數(shù)量積的定義可得44-44=|44,44卜。536=2cos236,

故當〃=5時，2cos236cP，c對；

對于D選項，當〃=6時，設正六邊形4AA的中心為。，如下圖所示：

易知正六邊形A&&A4AA的每個內角都為120，則N&AA=30,

故N44A=/44兒_/446=120-30=90,所以，AA，AA=°，

2

A4=AA，則4444=44=>

由正六邊形的幾何性質可得=60=n。41A,則,

則44=240=2,結合圖形可知A1A=244,故44.343=24A一=2,

因此，當〃=6時，{0,1,2}cP,D對.

故選：ACD.

11.若lga+lgZ?=lg(a+2Z?),則()

A.ab的最小值是2c

B.。+/?的最小值是3+20

1b

C.-—2的最大值是0

a8

213

D.-；+「的最大值是:

tz+1b+14

【答案】BCD

【解析】

【分析】結合對數(shù)的運算，利用不等式的性質與基本不等式即可解決.

【詳解】若lg"+lg人=lg(〃+2Z?),則〃>0,b>0,lgab=\^{a+2b),即aZ?=a+2Z?.

對于A,ab=a+2b>2y)2ab，當且僅當a=2/7,

即〃=4,5=2時，等號成立，可得故A錯誤;

12

對于B,由〃Z?=a+2Z?,可得一+—=1,

ba

bi、iiz2、ca2bi—

所以a+Z?=(<2+Z?)(—H)=3+—H>3+2V2，

baba

當且僅當。=回，即〃=2+后，h=l+四時，等號成立，故B正確;

lb

對于C,由ab=a+2b,可得a=-----,

b-1

所以工一

<1-2,=0,

a82b822b8I?

當且僅當。=4,人=2時，等號成立,故C正確;

對于D,由a/?=a+2Z?,可得Z?=——>0,可知a>2,

a—2

2[

M21=——+-----------2a-22113a-51

故-----F----a+1a=--------1---------=-------------------1—=—、------1—

6Z+1b+1-+1a+12ci—2a+12a-222a2-22

a-2

x+5

令3〃-5=%，可知x>l,a=------

3

故--O-----C/X+5、2C=---O--------------C32V---7=------二:，

2。2—22(^-)-22X2+20X+322x+—+202764+204

3x

3221113

當且僅當2x=",即x=4,。=3時，等號成立，故一+——最大值是一+—=巳，故D正確.

xa+1b+1424

故選：BCD.

12.下列大小關系正確的是（）

A.log022023>log032023

B.log20222023>log20232024

C.72>log23

,20241

D.logo------>-------

20232023

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)換底公式結合對數(shù)函數(shù)單調性分析判斷；對于B：根據(jù)換底公式結合基本不等式以及

3

對數(shù)函數(shù)單調性分析判斷；對于C：根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性以及中間值一分析判斷；對于D：結合圖象可知當

2

1<%<2時，^ijlog2x>x-1,進而可得結果.

【詳解】對于選項A：因為log。.22023,log。32023均不為0,且

log022023=——-——,log。32023=——-——

log20230.2log20230.3

又因為y=log2023X在定義域內單調遞減，可得lOg202302<lOg20230-3<lOg20231=°，

11

--------------------->-------------,-----所----以logo.22023>logo.32023,故A正確;

*2302log20230.3

)2

對于選項B：因為.也2023-1-232024=黑||In2024(In2023-In2022In2024

In2023In2022.In2023

且In2022>0,In2023>0,

(In2022+In2024)-「In(2023-1)1(in2023'),2

In2022-In2024<-----------------------------------------------------------------=(in2023)'

444v'

可得log20222023-log20232024〉0,即log20222023〉log20232024,故B正確；

33

對于選項C：因為23<32,則2萬<3,可得5<log23,

且|〉友,所以夜〈log??,故C錯誤；

對于選項D：對于y=log2X與y=xT,如圖所示，

可知當l<x<2時，則log2%>x-l,

202420241

令"詞’可得g標〉詞’故口正確;

故選：ABD.

【點睛】關鍵點睛：對于選項D：構建函數(shù)，結合圖象可得當1<%<2時，Bijlog2x>x-1,令

2024

JQ------------即可得結果.

2023

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.杭州第19屆亞洲運動會于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運會的會

徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網符號及象征亞奧理事會的太陽圖形

六個元素組成如圖1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊.會徽的幾何圖形如圖2所示，設弧

S

的長度是4,弧的長度是，2,幾何圖形A3CD的面積為M，扇形的面積為邑.若肅=3,

>2

l

則A廣.

【答案】2

【解析】

4o

【分析】根據(jù)扇形的面積公式及肅=3求解即可.

耳s-s。

【詳解】設扇形AOD的面積為S,ZAOD=a,則肅=k==23.

<?—/1,OA-—，2

所以丁=4,即3-----=—^=*=4,

Sz\.QB12kh

a

所以｝=2.

,2

故答案為：2

14.與向量「=（2,-3）共線的一個單位向量的坐標是

"2舊

【答案】或一干

【解析】

【分析】先求出向量。=（2,—3）的模，與向量a=（2,—3）共線的單位向量為土向，計算即可.

【詳解】因為a=（2,—3）,同=也2+（一3）2=屈，

所以與向量a=（2,—3）共線的單位向量為±j,

所以向量。=（2,-3）共線的一個單位向量的坐標是或

J2屈

故答案為:或一干

S1H/C_I）

15.已知函數(shù)/（%）=-----a+ax在R上既有最大值/,又有最小值加.若〃+加=4,則。=

cosx一

【答案】①.0②.行

【解析】

sxmc_I）

【分析】根據(jù)“力在R上的值域為［加,/］，判斷出a=0,得至iJ〃x）=cosxLr然后根據(jù)三角函數(shù)

的有界性，轉化為不等式的解集問題，再根據(jù)方程與不等式的關系，即可求b的值.

S1IX/C_I）

【詳解】對于函數(shù)〃X）=----‘+以，

COSX-A/2

當awO時，它在R上沒有最大值，也沒有最小值，

所以，由/（%）在R上既有最大值又有最小值機，必有。=0,

所以/（x）二9—晨其值域為［北/］.

cosx-v2

siwc-b

由y二--------斤得

COSX-A/2

cosx-0)y=sin%-/?,

sinx-ycosx=b-s/2y，

/、

1y

/S1DX——/_COSX=b-6y,

歷J

Jl+y?sin（無一0）=Z?—叵y,其中t第10=^,

所以小。）二營’

因為卜in（x-同<1,

b-亞y

所以<1,

M+V|

所以上一夜Jl+y2,

兩邊平方得y2-2?by+b--l<0,

因為A=（2回J—4伊—1）=4^+4>0,

根據(jù)題意可得

/-2叵by+/—1<0的解集為[加,.

所以私M為方程/-2后y+〃一1=0的根,

所以m+M=2y/2b>

所以2回=4，解得人=忘.

故答案為：0,72■

my八

XH----1,%22

16.設函數(shù)y(x)=<X,若對任意演G[2,T8),都存在唯一的尤2e(TO,2),使得

\2~x-m\,x<2

/（/）=/（內），則實數(shù)加的取值范圍是.

1_5

【答案】

2J2

【解析】

【分析】對實數(shù)，〃的取值進行分類討論，分析函數(shù)/（尤）的單調性與值域，根據(jù)題意以及數(shù)形結合額可得出

關于實數(shù)加的不等式，綜合可得出實數(shù)加的取值范圍.

【詳解】設函數(shù)“X）在（—8,2）、［2,4W）上的值域分別為A、B,

當機<0時，函數(shù)y='在［2,+8）上為增函數(shù)，函數(shù)丫=》-1在［2,+5。）上為增函數(shù)，

此時，函數(shù)/（力=］+生一1在［2,+8）上為增函數(shù)，

X

當0（詬<2時，即當0<mW4時，函數(shù)〃x）=x+'—1在［2,長。）上為增函數(shù)，

1

當XV2時，則一%>—2,則2r>2一29=—,

4

①當機<；且％V2時，/（x）=2-x-m>-m,即A=-加,

此時，函數(shù)/（%）=%+---1在［2,+oo）上為增函數(shù)，則/（九）2/（2）=1+—,即5=1+5,+8,

九22J

YYl1111

由題意可知，BA,則1+—>——m,解得加〉一一,此時，〈機《一；

—24224

②當一<加44時，函數(shù)=----1在［2,+00）上為增函數(shù)，貝|J5=1H,+8,

4X-2J

“、2-x-m,x<-logm

當％v2時，/（%）=；%9,

\m-2,-log2m<x<2

當％<—log2加時，一x>log2相，則2一%>加，此時，/（x）=2-x-m>0,

當一log2根&%<2時，一2<—%Wlogz^,則工<2一"?相，

4

此時，f（x）=m-2~x€0,加一；1,

如下圖所示：

若對任意為￡［2,+8）,都存在唯一的馬￡（-8,2）,使得/（%2）=/（3），

m1515

只需一+12加—一，解得加<一,此時，一<用《一；

24242

③當相>4時，而>2，函數(shù)/（x）=x+'—1在［2,而）上單調遞減，在（、//,+e）上單調遞增，

貝|］3=12而,+00）,

2r-m.x<-logm

當x<2時，/(%)=<2

-x

m-2,-log2m<x<2

當x<-log2根時，-X〉log2〃z,則2-x>相，此時，/(x)=2-x-;n>0,

當一10g2根Wx<2時，一2<—X<log2m，則(<2fw機，如下圖所示：

若對任意石G[2,+8),都存在唯一的々€(-8,2),使得/(%2)=/(%)，

只需,解得,三機42,與m>4矛盾，此時，加不存在，

444

綜上所述，<mW—.

22

Y-

故答案為：[2'2.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)值相等求參數(shù)的取值范圍，解題的關鍵在于對參數(shù)進行分類討

論，結合圖形將題中的信息等價轉化為不等式求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.求解下列各題：

025log49

(1)計算：-</2x8+2+log29xlog34；

(2)已知sin'e+cos'eu*,求cos46>值.

9

13

【答案】(1)—

2

⑵-工

9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)指對塞運算求解結果.

(2)根據(jù)平方和關系與倍角公式求解結果.

【小問1詳解】

原式=3—21義24+21°33+12^2、210832=3—2+3+4=U

3

2log3222

【小問2詳解】

因為僅in2夕+cos2^)2=sin%+cos%+2sin2^-cos2^=—+2sin2^-cos2^=1,

9

2Q

所以sin2e.cos2e=—,所以sin226=2,

99

所以cos48=1—2sin22^=1---=—.

99

[3

18.已知集合A=vx%一],B=|x|3-2m<x<2m+11.

（1）當根=1時，求AD5；

（2）從①噂4aRB；②5C（\A）=0；③Au5=A中任選一個作為已知條件，求實數(shù)加的取值范

圍.

【答案】（1）Au3={H—

⑵m<—

2

【解析】

【分析】（1）當加=1時，寫出集合3,并解出集合A,利用并集的定義可得出集合

（2）根據(jù)所選條件可得出A,分5=0、8N0兩種情況討論，可得出關于實數(shù)m的不等式（組）,

綜合可得出實數(shù)m的取值范圍.

【小問1詳解】

3313

H<-,得一一<%——<-,得所以A={x[—

當〃z=l時，B={x|l〈x<3},所以AU3={M—l<x?3}.

【小問2詳解】

解：若選①，因為瘠RB,則B=

當5=0,即3—2m>2m+1,得加<,；

2

3-2m<2m+1

當6H0時，則有3—2機2—1,解得機=工，

2

2m+1<2

綜上，實數(shù)加的取值范圍是加工工；

2

若選②，因為3c（々A）=0,則BgA,

當5=0,即3—2m>2m+1,得機<,；

2

3-2m<2m+1

當時，則有b-2加11,解得〃2=L

2

2m+1<2

綜上，實數(shù)m的取值范圍是小《工；

2

若選③，因為Au5=A，則8=A,

當5=0,即3—2根＞2加+1,得加＜，；

2

3-2m＜2m+1

當640時，貝|J有卜-1,解得m=L

2

2m+l＜2

綜上，實數(shù)冽的取值范圍是冽＜一.

2

19.已知向量Q=(6sinx,0sinx+cosx),b=(cosx,cosx一0siru;),/(x)=a.Z?+g.

(1)求函數(shù)7(%)的解析式及其單調遞減區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=/(x)—左在區(qū)間-上有且僅有兩個零點，求實數(shù)化的取值范圍.

7兀77兀

【答案】(1)于(公=瓜isinf2x+y1,K7H-----,K7H---(--k-eZ)

1212

(2)當出

7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積及三角函數(shù)公式化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質求解即可;

(2)根據(jù)函數(shù)零點的定義，將問題轉化為圖形交點問題求解即可.

【小問1詳解】

=B

sin2x+—cos2x=石sin\2x+—\,

~~22I33

TTTT37r7T711

由一十2E?2%+一?---卜2kn,keZ,得防i+—K防TH------,keZ,

2321212

jr7兀

即函數(shù)的單調遞減區(qū)間為far+—,far+—(keZ).

【小問2詳解】

,7171,小兀2兀5兀

當工￡時，令A，=2%+—￡-----,——

24336

I]L]([L[L]L5

則函數(shù)g(f)=A/?sinf在---上單調遞減，在一7，不上單調遞增，在—,—上單調遞減,

，乙乙乙NU

函數(shù)y=/(x)-左在區(qū)間一上有且僅有兩個零點,

等價于函數(shù)y=上的圖象與函數(shù)丁=8。)在一耳一，不上有兩個公共點，

所以一，^<左<—2,或■〈左

22

即左的取值范圍是1―G,—g.

I2」[2J

20.已知一個半徑為3.2米的水輪如圖所示，水輪圓心。距離水面1.6米，且按順時針方向勻速轉動，每

45秒轉動一圈.如果以水輪上點P從水面浮現(xiàn)時(圖中點此位置)開始計時，記點P距離水面的高度

/z(m)關于時間f(s)的函數(shù)解析式為h(t)=Asin(皿+°)+3[A〉0,0〉0,冏<

(1)在水輪轉動的一周內，求點P距離水面高度〃(m)關于時間f(s)的函數(shù)解析式；

(2)在水輪轉動的一周內，求點P在水面下方的時間段.

【答案】(1)丸⑺=3.2sin+L6,fe[0,45)

(2)30<r<45

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值可得出關于A、B的方程組，解出這兩個量的值，求出該函

數(shù)的最小正周期，可得出0的值，再由〃(0)=0,結合9的取值范圍，可得出9的值，由此可得出函數(shù)人(。

的解析式；

(2)te[0,45)時，解不等式/?(/)<0即可得出結論.

【小問1詳解】

解：由題意知五(，)的最大值為4.8,最小值為一1.6,

A+8=4.8A=3.2

所以，《解得《

-A+B=-1.6B=1.6

函數(shù)=Asin(次+o)+4A>Q,a)>Q,\(p|〈三的最小正周期為45,

由題意可知,

則°=荒，所以"⑺=3.2sin|||/+9)+1.6.

當/=0時，人(。=0,即3.2sin0+1.6=O,可得sineu-^,

又_]<O<楙，所以0=-弓，所以丸(。=3.251111；|/_￡1+1.6,/€[0,45).

【小問2詳解】

解：令丸(。=3.25皿1||/一巳)+1.6<0,得—看)<一:，

,c"―兀2兀兀1171，7兀2兀兀11715,ncc

由0W/<45,得一一<—t——<——,所以一<—t——<——，解得30</<45,

6456664566

即在水輪轉動的一圈內，點