決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷03

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.己知向量1=(2,2),3=(1,x),若Z//3,則⑸=()

A.1B.V2C.拒D.2

2.已知集合/={T,0,2},5={X|X2<1},則下列結(jié)論正確的是(

A.4=BB.AcBC.AuB=BD./cB={-1,0}

3.已知a=ln一,Z)=log031.5,)

2

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.已知樣本數(shù)據(jù)再,工2,…，%的平均數(shù)為"則數(shù)據(jù)』,％2,…，%，三

A.與原數(shù)據(jù)的極差不同B.與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.與原數(shù)據(jù)的方差相同D.與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同

71

5.在梯形48CQ中，ADUBC,^ABC=-,BC=2AD=2AB=2,以下底所在直線為

2

軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（）

2714兀5兀_

A.----B.----C.----D.2兀

333

6.甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，

以4，4分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以雇示從乙箱中取出

的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

5113

A.4,4互斥B.尸（叫4）=7c.P（A?=]D.P（B）=-

7.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,y=/（x）+e'是偶函數(shù)，y=/（x）—3砂是奇函數(shù)，則/（x）的

最小值為（）

A.eB.2V2c.2V3D.2e

8.雙曲線aE-與=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是耳，馬，離心率為如，點(diǎn)尸(事,%)是曲

ab2

右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過月作/片尸耳的平分線的垂線，垂足是%\MO\=42,若一點(diǎn)7W足

F\T-FJ=5,則TH比勺兩條漸近線距離之和為()

A.2A/2B.2A/3C.275D.276

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)4/2是關(guān)于x的方程/+區(qū)+1=0(—2<6<2/€及)的兩根，貝IJ()

—Z,

A.z、=Z)B.—￡R

z?

C.匕bLhiD.若b=l,則z；=z：=l

10.如圖，點(diǎn)43,C是函數(shù)/(x)=sin(①x+o)(o>0)的圖象與直線了=岑4目鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且

D.若將函數(shù)/(x)的圖象沿x軸平移。個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則冏的最小值為最

H.如圖，正方體NBC?！?4Goi的棱長為2,點(diǎn)庭/踴J中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面BCC14內(nèi)(含邊界)

A.若2尸，平面4QD,則點(diǎn)咫點(diǎn)A重合

B.以防球心，婭為半徑的球面與截面的交線的長度為正

33

C.若防棱比中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面的面積為逅

6

D.若博II直線的距離與到平面的距離相等，則點(diǎn)在勺軌跡為一段圓弧

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）.

13.在中，tanB=tanC=,b=1,則tan（B+C）=；a=.

14.已知點(diǎn)/為拋物線/=2x上一點(diǎn)（點(diǎn)/在第一象限），點(diǎn)協(xié)拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為1,線段/用勺中

垂線交準(zhǔn)線，于點(diǎn)2,交法由于點(diǎn)￡（〃、斑/崩兩側(cè)），四邊形40匹石為菱形，若點(diǎn)只汾別在邊處、

EA上，DP=ADA>EQ=JJEA，若2X+〃=|■，則而.瓦的最小值為—一，

tFA-^FE+卜E4-尸百?eR）的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

13

15.設(shè)/（x）=alnx+----x+1,曲線y=/（乃在點(diǎn)（1,/。））處取得極值.

2x2

⑴求a；

（2）求函數(shù)〃x）的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.如圖，四棱錐「一/BC。中，底面N8C。是邊長為2的菱形，ABAD=60°.平面底面

ABCD.

/>.

H

（1）求證：ACLVD-,

（2）若E3=2,且四棱錐憶-/BCD的體積為2,求直線修。與平面匕18所成角的正弦值.

17.現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,〃的五盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都

是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒

子，…，依次進(jìn)行到從n-l號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入〃號(hào)盒子為止.

（1）當(dāng)〃=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

（2）當(dāng)〃=3時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)J的分布列；

（3）記〃號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X",求X"的期望E（X“）.

18.已知尸為曲線C：二+匕=1（〃〉1）上任意一點(diǎn)，直線尸與圓好+/=1相切，且分別與

4n

。交于兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若麗.兩:為定值，求〃的值，并說明理由；

4

（2）若〃=—,求面積的取值范圍.

3

19.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光

滑曲線Gy=/（x）上的曲線段就，其弧長為加，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從4沿曲線段令運(yùn)動(dòng)到6點(diǎn)時(shí)，4點(diǎn)的切

線〃也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到5點(diǎn)的切線力，記這兩條切線之間的夾角為A6（它等于"的傾斜角與。的傾斜角

之差）.顯然，當(dāng)弧長固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長越小則彎曲

—

程度越大，因此可以定義K=丁為曲線段前的平均曲率；顯然當(dāng)?shù)饨咏?即加越小，堿越能

As

〃\y"\

精確刻畫曲線位點(diǎn)/處的彎曲程度，因此定義J（若極限存在）為曲線位點(diǎn)

（"）2

/處的曲率.（其中V,V'分別表示y=/（x）在點(diǎn)/處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

（2）求橢圓;+「=1在［百,處的曲率；

（3）定義心）="叮為曲線V=/（力的“柯西曲率”.已知在曲線/（x）=xlnx—2x上存在

（1+少）

兩點(diǎn)尸卜1，/（西））和0（9,/（%）），且R。處的“柯西曲率”相同，求返+病的取值范圍.

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷03

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知向量。=（2,2）,S=（1,%）,若a//B，則|B|=（）

A.1c.V3D.2

【答案】B

【解析】向量a=(2,2),3=(1,x),丁2x=2,「.x=1,

/.|b\=-\/l2+12--\/2-

故選：B.

2

2.已知集合4={—1,0,2},B={x\x<l]f則下列結(jié)論正確的是()

A.A=BB.AaBc.AuB=BD./c5={—1,0}

【答案】D

【解析】由題意可知：B={x\x2<l

所以45之間沒有包含關(guān)系，且4cB={-1,0},故ABC錯(cuò)誤，D正確;

故選：D.

-0.5

3.已知a=Ing,6=log1.5,c2

03I,則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】b=log031.5<log031=0,0=lnl<ln"!=a<lne=l,

-0.5

2

1，所以C>Q>b.

5

故選：C

4.已知樣本數(shù)據(jù)占,％2,…，%的平均數(shù)為無，則數(shù)據(jù)了1，%2,…，%，無（)

A.與原數(shù)據(jù)的極差不同B.與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.與原數(shù)據(jù)的方差相同D.與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同

【答案】D

【解析】由樣本數(shù)據(jù)占,々，…，%的平均數(shù)為無，可得了=1（西+X,+…+無”），

n

對(duì)于數(shù)據(jù)再,々，…，龍"，于，其平均數(shù)x'=一一（西+々+…+X*+x）=x,

77+1V'

其方差S；旦S2；

n+\

即兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，方差不同，可得C錯(cuò)誤，D正確；

由極差定義，兩組數(shù)據(jù)的最大值和最小值不變，則兩組數(shù)據(jù)的極差相同，即A錯(cuò)誤;

對(duì)于中位數(shù)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相同，即B錯(cuò)誤.

故選：D

7T

5.在梯形/BCD中，AD//BC,ZABC=-,BC=2AD=2AB=2,以下底8。所在直線為軸,

2

其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（）

2兀4兀5兀一

A.—B.—C.—D.27t

333

［答案］B

【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱與一個(gè)同底的圓錐的組合體，如圖所示：

其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于AB=1,

圓柱的高等于40=1,圓錐的高等于8C-4D=1,

底面圓的面積為兀xl2=7C,

171

圓錐的體積為一X兀xl二—，圓柱的體積為兀乂1=兀，

33

714兀

所以所得幾何體的體積為兀

33

故選：B.

6.甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，

以4，4分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以糜示從乙箱中取出

的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

<1］3

A.4，4互斥B.P（叫4）=5c.P（A2B）=-D.P（B）=-

【答案】c

【解析】因?yàn)槊看沃蝗∫磺?，?，4是互斥的事件，故A正確；

由題意得尸（4）=g，尸（4）=：，尸（例4）=：，尸（a4）=。

is2413

P(S)=P(45)+P(4S)=-x-+-x-=-,故B,D均正確;

248

因?yàn)椤?48)=]義7=天，故C錯(cuò)誤.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,y=/(x)+e'是偶函數(shù)，y=/(x)—3d是奇函數(shù)，則/(x)的最

小值為()

A.eB.272C.273D.2e

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)/(%)的解析式，再利用基本不等式可求得/(元)的最小值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)+e工為偶函數(shù)，則/(—，+尸=/@)+於，即/⑴―/(—x)=「—e工,

①

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)-3e*為奇函數(shù),則〃—x)—3e-*=—/(x)+3e，,即

/(%)+/(-x)=3ev+3e~x,②

聯(lián)立①②可得/(x)=e，+2e-\

由基本不等式可得f(x)=e*+2e-x>2薪*k=2收，

當(dāng)且僅當(dāng)e'=2ef時(shí)，即當(dāng)x=」ln2時(shí)，等號(hào)成立，

2

故函數(shù)/(x)的最小值為2JL

22/7

8.雙曲線G——q=1(4>0]>0)的左、右焦點(diǎn)分別是片，耳，離心率為點(diǎn)是。

ab2

的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過工作/內(nèi)尸鳥的平分線的垂線，垂足是弘|MO|=72,若6±一點(diǎn)礴

足而?孽=5,則7?用J兩條漸近線距離之和為()

A.272B.273C.275D.276

【答案】A

【解析】設(shè)半焦距為c,延長巴”交助于點(diǎn)兒由于峻/片尸鳥的平分線，F(xiàn).MVPM,

所以是等腰三角形，所以|PN|=|尸月|,且腮W工的中點(diǎn).

根據(jù)雙曲線的定義可知|咫|—|尸乙1=2。，即|M]|=2a,由于。是耳片的中點(diǎn),

所以掰2是AN片乙的中位線，所以|M0=g|g|=a=VL

又雙曲線的離心率為半，所以c=6，b=l,

2

所以雙曲線由]方程為--/=1.

2

所以片(-6,0)，8(6,0)，雙曲線煙漸近線方程為x土。=0，

|u+V2v||u-V2vI

設(shè)TQ,v),律U兩漸近線的距離之和為S,則5=

222122

由F、T?F2T=(U—V§)("+\/3)+v=w+v—3=5,Wz/+v=8>

22

又在EG—-y2=l±,則土-U=i,即/一2V2=2,解得“2=6,V2=2,

2.2

所以|"|>也|丫|,故即距離之和為2后.

故選:A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)az?是關(guān)于x的方程/+區(qū)+1=0(-2<6<2/€及)的兩根，貝IJ()

A.Zj=zB.—^R

2z?

c團(tuán)=團(tuán)=1D.若b=1,則z；=2：=1

【答案】ACD

-b土飛4-b?i

【解析】解：A=/?2-4<0x=-----------

2

不妨設(shè)

則Z]=Z2，故/正確；

由選項(xiàng)/可知，|41=1z2|=j(—g)2+d42b>-1

QE確;

由韋達(dá)定理得2逐2=1,

.4Z；22*4-/.

..——---=Z]=---------------1

z[Z]Z222

當(dāng)bwO時(shí)，,生R，故庫昔；

z?

小入[口T1百?1G.

=1時(shí)，Z[=——+——I，Z.=-------1，

12222

計(jì)算得----^-i=z2=zx，

12221

同理可得Z；=2I=Z2,

結(jié)合成項(xiàng)可知2：=平2=1,同理可得22=1,故〃正確.

故選：ACD

10.如圖，點(diǎn)是函數(shù)/(X)=sin(0x+°)(①>0)的圖象與直線歹=字相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且

D.若將函數(shù)/(x)的圖象沿X軸平移。個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則網(wǎng)的最小值為最

【答案】AD

l~^jp2兀

【解析】令/(x)=sin(cox+cp^——得，ox+0=§+2ATI或QX+0=—^—F2,kji,左eZ,

2兀

由圖可知：coxA-\-(p=—+2kn,+°=§+2版+2兀，coxB+^=-+2kji,

兀

所以忸=_工5=——g+2兀,\AB\=XB-XA=—

CD\3Jco

-女+2兀

所以g=，所以G==4,故A選項(xiàng)正確,

3CD3

71

所以/(x)=sin(4x+°),由7=0得sin+=0,

12

兀

所以----F0=7c+2kji,k￡Z,

4兀

所以0=5+2版kwZ,

=sm4x+”

所以/(x)=sin|4x+—+2hr=-sinf4x+yL

I3l3

(兀兀)兀兀八兀、

當(dāng)時(shí)?’人4+尸,。5，2兀+J，

(5兀兀、?7T7T?

因?yàn)閥=-sinf在ter-,2兀+§為減函數(shù)，故/(x)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

將函數(shù)/(x)的圖象沿x軸平移。個(gè)單位得g(x)=—sin[4x+46+]),(。＜0時(shí)向右平移,

0>0

時(shí)向左平移)，

g(x)為偶函數(shù)得48+三=]+也，keZ,

所以。=工+期，keZ,貝U網(wǎng)的最小值為二，故D正確.

2441124

故選：AD.

H.如圖，正方體as。?！?4G2的棱長為2,點(diǎn)后是力周勺中點(diǎn)，點(diǎn)p為側(cè)面BCG4內(nèi)(含邊界)

A.若A尸，平面4QD,則點(diǎn)咫點(diǎn)座合

B.以煙球心，豆5為半徑的球面與截面4C4的交線的長度為叵

33

C.若歷棱反華點(diǎn)，則平面QEP截正方體所得截面的面積為上叵

6

D.若圖J直線的距離與到平面CDDG的距離相等，則點(diǎn)崩軌跡為一段圓弧

【答案】ABC

【解析】正方體ABCD-481Goi中，3C工平面DCCn,DC,u平面DCCR,BC1DC-

正方形DCGA中，DXC1DCX,

DQ,BCu平面BCR,D[CcBC=C,則。G，平面BC'，

QBu平面BCD1,DCX±DR,

同理，DA,1DXB,

Z>4，Z)Gu平面4G。，D&cDCi=D,平面4cQ,

若點(diǎn)壞與底合，因?yàn)?。尸，平?G。，則a尸〃與4尸口48=。1矛盾，

故當(dāng)3尸，平面4G。時(shí)，點(diǎn)咫4重合，故A正確；

DA=DC=DDX,AC=ADX=CDX,三棱錐。一/CD]為正三棱錐,

故頂點(diǎn)〃在底面/cn的射影為△/cn的中心〃

連接DH,由-D—ACD]=-ACD，^-x-x2x2x2=-x-x2V2x2V2x—D//，

3232

2o[f.

所以DH=T，因?yàn)榍虻陌霃綖?2,所以截面圓的半徑

V33

2

所以球面與截面4cA的交線是以偽圓心，耳為半徑的圓在內(nèi)部部分,

如圖所示,

兀兀

HF2+HM2=MF2＞所以NMHR=5，同理，其余兩弦所對(duì)圓心角也等于5,

所以球面與截面/C2的交線的長度為2兀*1-3x'xg=半，故B正確；

對(duì)于C,過打在勺直線分別交〃4、麻勺延長線于點(diǎn)。M,連接。1M、Dfi,

分別交側(cè)棱G。于點(diǎn)兒交側(cè)棱4/于點(diǎn)〃，連接硼口仍如圖所示：

則截面為五邊形〃"EPN,

GA=AE=EB=BP=PC=CM=1,GE=EP=PM=亞，GM=372

D[G=D、M=\DQ2+DM。=拒,HA=1,GH=號(hào),

cosZDtGM=3GM=,故ZDGM=2^

Dfi—V26,26

g"_1嗎"V17_3V17?_1/zV13V17_V17

所以^/\DGM--xV13x3v2x/ry-彳'S^GEH-TXXXa'

X272bZ23A72bo

所以五邊形DHEPN的面積S=S&DQM-2s&GEH=h孚—2x*=邛2,故C正確；

因?yàn)?4，平面BCCRi，PB]u平面BCQBi，

所以尸且144，點(diǎn)序U直線4月的距離即點(diǎn)段1|點(diǎn)耳的距離，

因?yàn)槠矫鍮CC'B、1平面CDDG,故點(diǎn);5J平面CDDG的距離為點(diǎn)/5」CCt的距離，

由題意知點(diǎn)序U點(diǎn)Bx的距離等于點(diǎn)件l|CQ的距離，

故點(diǎn)理）軌跡是以用為焦點(diǎn)，以CG為準(zhǔn)線的拋物線在側(cè)面5CG4內(nèi)的部分，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

.（用數(shù)字作答）.

故常數(shù)項(xiàng)為C；（-2）3=-672.

故答案為：-672.

13.在AJISC中，tanB=tanC=，b=l,則tan(B+C)=a—

【答案】①.6②.百

【解析】由tan5=tanC=3，5=Ce(0,兀=],可得5=0=3兀；

326

所以可得3+C=巴，所以4=空即tan(S+C)=V3；

33

..V3

易知sin5=—sinA=——，

22

a=Sb=6

由正弦定理可得

sin5

故答案為：G，V3

14.已知點(diǎn)/為拋物線j?=2x上一點(diǎn)（點(diǎn)/在第一象限），點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為1,線段/加勺中

垂線交準(zhǔn)線，于點(diǎn)2,交法由于點(diǎn)￡（〃、融/邢J兩側(cè)），四邊形40匹￡為菱形，若點(diǎn)只汾別在邊處、

EA上，DP=ADA^EQ=JJEA，若2X+〃=|■，則而.畫的最小值為

tFA--1FE+|/^4-FE|(/eR)

的最小值為一

4

【解析】對(duì)于第一個(gè)空：

因?yàn)樗倪呅?DEE為菱形，所以40=。廠,40//E尸，又由拋物線的定義知，AD=AF,

所以N4FZ）=60°,N4Rc=60°,

所以ZF的方程為y=百

21

聯(lián)立得，12/—20X+3=0，得再

、/=2x

由分析知，/[^，百]，所以。]—（用三q嗚q

DA=（2,0）,5F=（1,-V3）,FE==（2,0）,￡4=（-1,V3）,

FT=DP-DF=ADA-DF^（2,"1,百）,河=礪+礪=礪+〃筋=（2-〃，也句,

又24+〃=萬,24=1■一〃e[0,2]0?〃41所以〃e；』，

而質(zhì)=（2"1）（2一〃）+3〃=]〉/力（2-0）+3〃="-。+3,，[』，

1_____

當(dāng)〃=/時(shí)，尸尸/。取最小值3.

對(duì)于第二個(gè)空：

豆=（1,百），豆=（2,0）/成一;麗=上一；,疝）而—麗=,—2,網(wǎng),

tFA-^FE+\t~FA-EE^=+（瘋）+/-2『+（6）

表示的是點(diǎn)尸，到點(diǎn)/和N（2,0）的距離之和，

尸，，疝）在直線y=J§X上，設(shè)N（2,0）關(guān)于直線y=岳對(duì)稱的點(diǎn)N'（%,%）,

由卜。一53得廠°=:所（

%回。+2）bo=<3

〔2一2

L當(dāng)且僅當(dāng)N',尸，尸三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

尸尸+\PN\=PF+7W[>尸N[=—

故tFA--FE+\tFA-FE\的最小值為亙.

4112

故答案為：①3,②叵.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

13

15.設(shè)/（x）=alnx+------x+1,曲線了=〃無）在點(diǎn)（1⑴）處取得極值.

2x2

⑴求a；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】（1）2（2）單調(diào)遞減區(qū)間（0二）和（1,+8）,單調(diào)遞增區(qū)間極大值為/⑴=0,極

小值為/(1)=2-21n3.

【解析】(l)；/(x)=alnx+1-'x+1,則/'(x)=3-±―

2x2x2x2

又/⑴=0,

故可得"2=0,

解得a—2；

13(3x-l)(x-1)

(2)由⑴可知，f(x)=21nx+--------x+1,f\x)=-

2x22x2

令f'（x）=0,解得尤1=；，X2=l,

又：函數(shù)定義域?yàn)椋?,+8）,

故可得“X）在區(qū)間（0,；）和（1,+s）單調(diào)遞減，在區(qū)間（gl）單調(diào)遞增.

故“X）的極大值為/（I）=0,/（x）的極小值為/（-）=2—21n3.

16.如圖，四棱錐「一/BC。中，底面/BCD是邊長為2的菱形，ABAD=60°-平面底面

ABCD.

/>.

（1）求證：ACLVD-,

（2）若匕8=2,且四棱錐--4BCD的體積為2,求直線-C與平面-45所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）晅

5

【解析】（1）平面底面48C。，平面血）PI底面48CO=AD，

底面48。。是邊長為2的菱形，AC1BD,/Cu底面48。。，

則有ZC_L平面E8D,又以）u平面血），所以4CJ,

⑵底面48c。是邊長為2的菱形，ABAD=60°.

△540為等邊三角形，BD=2,S4/gQ=-x2x2xsin60°=

平面底面48CO,平面底面48CZ?=AD,

過廠點(diǎn)作8。的垂線，垂足為0,則V。，底面N8C。，

四棱錐ABCD的體積為2,則gx-ra=1x2xV3-KO=2,

2SAABD

解得憶。=G，則30=y!vB2-VO2=4^3=1，

所以。為AD中點(diǎn)，即。為NC和AD交點(diǎn)，

AO=OC^LB2-BO?=V4^i=V3，

以。為原點(diǎn)，。408,0廠所在直線分別為x，V，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),/(百,0,0),5(0,1,0),C(-Ao,o),r(o,o,V3),

A8=(-V3,l,0),為=(0,1,-百)，F(xiàn)c=(-V3,o,-V3),

設(shè)平面匕45的一個(gè)法向量』=(x,y,z),

AB,n——y[3x+y=0l_/廣\

則有〈一,l，令x=l,則夕=#\z=l,即k=

VB-n=y-y/3z=0'7

cos(VC,H^=VCn-V3-V3

|FC||M|76x75

所以直線W與平面匕45所成角的正弦值為巫.

5

17.現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,〃的五盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都

是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒

子，…，依次進(jìn)行到從n-1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入”號(hào)盒子為止.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；

(2)當(dāng)〃=3時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)J的分布列;

(3)記〃號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X",求X"的期望￡(X〃).

【答案】(1)](2)分布列見解析(3)￡(X.)=2

C1c12

【解析】(1)由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為P=

C43

(2)由題可知&可取1,2,3,

「202「27

尸器=1)=%x+x2^2__

C；C；C；C；36

「2「2「i27

尸仁=3)=Vx得+22乂得=一

L4^4C4^4°。

尸偌=2)=1一尸偌=1)一尸偌=3)=2,

lo

所以3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)€的分布列為

123

7117

P

361836

(3)記%_i為第2)號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則%=：,

6

211

比1為第”(〃22)號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則乙=行，b2

318

則第〃(〃>2)號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為1-%_]-2T,

211

且hi=3bL2+~an-2+QI一?！?2-2一2)("23),

化解得如=:如+-,

o2

33-31

z行nk如二=入*二，4-1=記,

JOJ)J1J

33、(31311

而8一4—］，則數(shù)列也一三為等比數(shù)歹U,首項(xiàng)為乙一匚二二，公比為二,

5615/I515156

311n-\

所以a=-+——

515（6

n

又由。"一產(chǎn):比2+；"“-2求得：

5-5I

因此E（X"）=lx%_]+2x“_i+3x（1—a”]-"-1）=3-2%-4_1=2.

2一.2

18.已知尸為曲線C：工+匕=1（〃〉1）上任意一點(diǎn)，直線尸MPN與圓產(chǎn)+必=1相切，且分別與

4n

。交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若歷.a:為定值，求〃的值，并說明理由；

4

（2）若,求APAW面積的取值范圍.

3

4

【答案】（1）〃=4或〃=一

3

【解析】（1）由題意設(shè)尸（石,必）,河（々,％）,

當(dāng)直線9的斜率不為0時(shí)，直線9：x=my+t,

M

因?yàn)橹本€與圓相切,所以4=/=1,即加2+1=/，

ylm2+1

x=my+1

聯(lián)立《22可得：｛m1n+^y2+2mnty+nt2-4n=0,

—+^-=1

4n

2

所以A=（2加加『一4（加之九+4）（〃?-2mntnt一4〃

4”）＞0,乂+%=，%.％=~，

-m2n+74加2〃+74

4z2-4m2H

XX=（加X+。（叼2+%）=加2必%+加（必+%）+〃

x2m2w+4，

-4m2n+（4+n）Z2-4n

所以0PoM=xx+yy=

12x2加2〃+4

（4-3〃）加之+（4-3〃）

因?yàn)榧?+1=/,所以再％2+yxy2=

nm2+4

4—3〃4一3〃4

要使歷?而為定值，則所以〃=4或〃=-,

n43

當(dāng)直線PA7的斜率為0時(shí)，

因?yàn)橹本€與圓相切，所以d=/=l,即尸士1,

不妨取y=1,

y=i

44

聯(lián)立《X2y2,可得—+——4=0,所以中2=——4

---1----1〃n

、4n

4

所以國工2=-3+—，也符合上式.

n

4__,

(2)當(dāng)〃時(shí)，由(1)可知而.而'=0，OP1OM,

同理OPJ.QN,即M,O,N三點(diǎn)共線，

所以山阿=2S?=|PM”=|PM，

當(dāng)直線PM的斜率不為。時(shí)，由(1)可知:

PMm

所以S.PMN=\\=Vl+m2J(7I+%)2-4=J1+加2x2"U出

因?yàn)?+1=*,

+3-2)(m2+3+6

所以s-kx弛?=正

m2+3

令m2+3=左23，

_2優(yōu)左—2)(左+6)_2，12+4左一12_2I124?

所以S-

kk一記+工

所以當(dāng)后=3時(shí)，有最小值為2；

當(dāng)左=6時(shí)，有最小值為迪；

3

當(dāng)直線9的斜率為0時(shí)，由(1)可知:

^w=W=2^j=2.

綜上：APMN面積的取值范圍2,華

19.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光

滑曲線C：y=/(