第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定丁輝一、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能（1）使學(xué)生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；（2）使學(xué)生掌握判定直線和平面垂直的方法；（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、概括結(jié)論。2、過程與方法（1）通過教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；（2）探究判定直線與平面垂直的方法。3、情態(tài)與價(jià)值培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過程中獲取新知。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。三、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題1、教師首先提出問題：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常看到一些直線與平面垂直的現(xiàn)象，例如：“旗桿與地面，大橋的橋柱和水面等的位置關(guān)系”，你能舉出一些類似的例子嗎？然后讓學(xué)生回憶、思考、討論、教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)給予評(píng)價(jià)。2、接著教師指出：一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？并通過分析旗桿與它在地面上的射影的位置關(guān)系引出課題內(nèi)容。（二）研探新知1、為使學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過程中獲取新知，可再借助長方體模型讓學(xué)生感知直線與平面的垂直關(guān)系。然后教師引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來思考問題：從直線與直線垂直、直線與平面平行等的定義過程得到啟發(fā)，能否用一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的直線來定義這條直線與這個(gè)平面垂直呢？并組織學(xué)生交流討論，概括其定義。如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖2.31，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。并對(duì)畫示表示進(jìn)行說明。Lpα圖2-3-12、老師提出問題，讓學(xué)生思考：（1）問題：雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實(shí)際上難以實(shí)施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？（2）師生活動(dòng)：請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖2.32試驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸），問如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？ABDC圖2.32（3）歸納結(jié)論：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有經(jīng)驗(yàn)（兩條相交直線確定一個(gè)平面），進(jìn)行合情推理，獲得判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。老師特別強(qiáng)調(diào)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。（三）實(shí)際應(yīng)用,鞏固深化（1）ABCOEP例1已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：ABCOEP思維導(dǎo)引：=1\*GB3①要想證明線面垂直應(yīng)該有兩條線線垂直，現(xiàn)在有沒有一條？=2\*GB3②看來只要證明就行了，怎么證明線線垂直？是不是又需要線面垂直？③平面嗎？是不是又需要兩條線線垂直？有沒有？看來找線線垂直是關(guān)鍵。規(guī)范解答：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC變式訓(xùn)練：如圖，在三棱錐中，已知平面，是直角三角形，是斜邊，求證：規(guī)范解答：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槭侵苯侨切?，是斜邊，所以，又因?yàn)槠矫媲?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?）例2在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1思維導(dǎo)引：=1\*GB3①探討直線A1B是不是平面A1B1CD的斜線？它是斜線的話，誰是垂線？=2\*GB3②找到垂線就能找到線面角，因此找垂線是關(guān)鍵，若已經(jīng)找到垂線的話，它可能有什么性質(zhì)？是不是會(huì)垂直于和？=3\*GB3③和平面是什么關(guān)系？是不是平面內(nèi)的直線都和垂直？這樣我們只需在平面內(nèi)找一條直線和垂直即可，會(huì)是誰？=4\*GB3④找到垂線之后，哪個(gè)角就是線面角？如何求？是什么三角形？規(guī)范解答：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1設(shè)正方體的棱長為a，因?yàn)锳1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1所以A1B1⊥BC1.又因?yàn)锽C1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30°.因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.變式訓(xùn)練：如圖，在直角三角形中，，，，且，，求與平面所成角的正弦值.（注意一作二證三計(jì)算）規(guī)范解答：因?yàn)?，，，所以，所以又因?yàn)?，平面，且，所以平面，所以即為與平面所成的角，又因?yàn)椋?，所以（四）歸納小結(jié)，課后思考小結(jié)：采用師生對(duì)話形式，完成下列問題：①請歸納一下獲得直線與平面垂直的判定定理的基本過程。②直線與平面垂