第2課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用第四章

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.能夠把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問(wèn)題.2.進(jìn)一步熟悉通過(guò)建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE1.解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型.2.一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型.3.注意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn).注意：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答.(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確.(3)在數(shù)列類(lèi)型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系.(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求.知識(shí)點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有1個(gè)這種細(xì)菌和200個(gè)這種病毒，問(wèn)細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要A.6秒鐘 B.7秒鐘

C.8秒鐘 D.9秒鐘√解析根據(jù)題意，每秒鐘細(xì)菌殺死的病毒數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)需要n秒細(xì)菌可將病毒全部殺死，則1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，∴2n≥201，結(jié)合n∈N*，解得n≥8，即至少需8秒細(xì)菌將病毒全部殺死.2.某工廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃今后5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加10%，則從今年起到第5年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為A.1.14a B.11×(1.15－1)aC.1.15a D.10×(1.16－1)a解析從今年起到第5年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15√3.畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，再以這個(gè)正方形的一條對(duì)角線為邊畫(huà)第2個(gè)正方形，以第2個(gè)正方形的一條對(duì)角線為邊畫(huà)第3個(gè)正方形，……，這樣共畫(huà)了10個(gè)正方形，則這10個(gè)正方形的面積和等于________.212－4解析依題意，這10個(gè)正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，3.畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，再以這個(gè)正方形的一條對(duì)角線為邊畫(huà)第2個(gè)正方形，以第2個(gè)正方形的一條對(duì)角線為邊畫(huà)第3個(gè)正方形，……，這樣共畫(huà)了10個(gè)正方形，則這10個(gè)正方形的面積和等于________.212－4解析依題意，這10個(gè)正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，4.某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵，若第一天植樹(shù)2棵，以后每天植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)＝___.解析設(shè)每天植樹(shù)的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an},由題意可知它是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2,6由2n＋1－2≥100，得n≥6.2題型探究PARTTWO一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用例1

如圖所示，作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去，前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為_(kāi)__________.解析設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為an，設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為Sn，設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為Sn，反思感悟此類(lèi)幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決，要注意步驟的規(guī)范性.跟蹤訓(xùn)練1

侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m，有人說(shuō)，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度也是無(wú)限的增大，那么，試問(wèn)，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度真的是無(wú)限長(zhǎng)的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度為Sn，則√解析由題意，從外到內(nèi)正方形的邊長(zhǎng)依次為二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用(1)設(shè)n年內(nèi)(2018年為第一年)總投入為Sn萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為T(mén)n萬(wàn)元，寫(xiě)出Sn，Tn的表達(dá)式；(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990)所以n年內(nèi)的總投入為所以，n年內(nèi)的總收入為(2)至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.解設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此Tn－Sn>0，答至少到2022年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.反思感悟解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.(2)建模——將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)(數(shù)列)問(wèn)題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征.(3)求解——求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解.(4)還原——將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中.跟蹤訓(xùn)練2

某工廠為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，今年年初新購(gòu)置了一條高性能的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線在使用過(guò)程中的維護(hù)費(fèi)用會(huì)逐年增加，第一年的維護(hù)費(fèi)用是4萬(wàn)元，從第二年到第七年，每年的維護(hù)費(fèi)用均比上年增加2萬(wàn)元，從第八年開(kāi)始，每年的維護(hù)費(fèi)用比上年增加25%.(1)設(shè)第n年該生產(chǎn)線的維護(hù)費(fèi)用為an，求an的表達(dá)式；解當(dāng)n≤7時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，(2)若該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用大于12萬(wàn)元時(shí)，需要更新生產(chǎn)線，求該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用，并判斷第幾年年初需要更新該生產(chǎn)線？解設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得，當(dāng)1≤n≤7時(shí)，Sn＝4n＋n(n－1)＝n2＋3n，當(dāng)n≥8時(shí)，由S7＝70，該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護(hù)費(fèi)用則第10年年初需要更新該生產(chǎn)線.例3

某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%，預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元.(1)用d表示a1，a2，并寫(xiě)出an＋1與an的關(guān)系式；三、遞推公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用解由題意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，(2)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).由題意，得am＝4000，反思感悟用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練3

某地本年度旅游業(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該地出臺(tái)了一系列措施，進(jìn)一步發(fā)展旅游業(yè)，預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)的收入每年會(huì)比上一年(1)求前n年旅游業(yè)的總收入(用代數(shù)式表示)；解設(shè)第n年的旅游業(yè)收入估計(jì)為an萬(wàn)元，則a1＝400，(2)試估計(jì)大約從第幾年開(kāi)始，旅游業(yè)的總收入超過(guò)8000萬(wàn)元.∴大約第9年后，旅游業(yè)總收入超過(guò)8000萬(wàn)元.3隨堂演練PARTTHREE1.河南洛陽(yáng)龍門(mén)石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)，現(xiàn)為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計(jì)算，從第二層開(kāi)始，每層浮雕像個(gè)數(shù)依次是下層個(gè)數(shù)的2倍，該洞窟浮雕像總共有1016個(gè)，則第5層浮雕像的個(gè)數(shù)為A.64 B.128 C.224 D.512解析設(shè)最下層的浮雕像的數(shù)量為a1，12345√解得a1＝8，則an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，所以a5＝27＝128.2.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜領(lǐng)先他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍然領(lǐng)先他1米……所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10－2米時(shí)，烏龜爬行的總距離為√1234512345解析由題意知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列{an}，3.中國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第一天走了A.24里 B.48里

C.96里 D.192里12345√12345解得a1＝192，所以第一天走了192里.123454.國(guó)家男子足球隊(duì)某運(yùn)動(dòng)員一腳把球踢到32米高處，從此處開(kāi)始計(jì)算，假設(shè)足球每次著地后又彈回到原來(lái)高度的一半再落下，則第4次著地時(shí)，該球所經(jīng)過(guò)的總路程為_(kāi)____米；則第5次著地時(shí)，該球所經(jīng)過(guò)的總路程為_(kāi)____米.889212345解析足球第1次落地經(jīng)過(guò)的路程為32；123455.將n個(gè)大小不同的正方體形狀的積木從上到下，從小到大堆成塔狀，平放在桌面上.上面一個(gè)正方體積木下底面的四個(gè)頂點(diǎn)正好是它下面一個(gè)正方體積木的上底面各邊的中點(diǎn)，按此規(guī)律不斷堆放.如果最下面的正方體積木的棱長(zhǎng)為1，且這些正方體積木露在外面的面積之和為Sn，則Sn＝________.解析最底層正方體的棱長(zhǎng)為1，則該正方體的除底面外的表面積為5×12＝5；1234512345則它們的表面積為1.知識(shí)清單：(1)構(gòu)造等比數(shù)列.(2)建立數(shù)學(xué)模型.2.方法歸納：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：在實(shí)際問(wèn)題中首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)弄錯(cuò).課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.某森林原有木材量為am3，每年以25%的速度增長(zhǎng)，5年后，這片森林共有木材量基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析森林中原有木材量為a，一年后為a(1＋25%)，兩年后為a(1＋25%)2，…，五年后為a(1＋25%)5.√2.某地為了保持水土資源實(shí)行退耕還林，如果2018年退耕a萬(wàn)畝，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕A.10a(1.18－1)萬(wàn)畝 B.a(1.18－1)萬(wàn)畝C.10a(1.17－1)萬(wàn)畝 D.a(1.17－1)萬(wàn)畝√解析記2018年為第一年，第n年退耕an萬(wàn)畝，則{an}為等比數(shù)列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和，12345678910111213141516所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)萬(wàn)畝.3.我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x，則有A.(1＋x)19＝4 B.(1＋x)20＝3C.(1＋x)20＝2 D.(1＋x)20＝4解析設(shè)1997年總產(chǎn)值為1，由于我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，說(shuō)明2017年的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值是1997年工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的4倍，則(1＋x)20＝4.√123456789101112131415164.某人的月工資由基礎(chǔ)工資和績(jī)效工資組成，2010年每月的基礎(chǔ)工資為2100元、績(jī)效工資為2000元.從2011年起每月基礎(chǔ)工資比上一年增加210元、績(jī)效工資為上一年的110%.照此推算，此人2021年的年薪為(結(jié)果精確到0.1)A.9.3萬(wàn)元 B.10.4萬(wàn)元

C.12.14萬(wàn)元 D.14萬(wàn)元12345678910111213141516√解析由題意可得，基礎(chǔ)工資是以2100元為首項(xiàng)，以210元為公差的等差數(shù)列，績(jī)效工資以2000元為首項(xiàng)，以1.1為公比的等比數(shù)列，則此人2021年每月的基礎(chǔ)工資為2100＋210(12－1)＝4410(元)，每月的績(jī)效工資為2000×1.111≈5706.23(元)，則此人2021年的年薪為12(4410＋5706.23)≈12.14(萬(wàn)元).123456789101112131415165.剛上班不久的小明于10月5日在某電商平臺(tái)上通過(guò)零首付購(gòu)買(mǎi)了一部售價(jià)6000元的手機(jī)，約定從下月5日開(kāi)始，每月5日按等額本息(每期以相同的額度償還本金和利息)還款a元，1年還清；其中月利率為0.5%，則小明每月還款數(shù)a(精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：1.00511≈1.056；1.00512≈1.062；1.00513≈1.067)A.488元 B.500元

C.514元 D.602元√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意知小明第1次還款a元后，還欠本金及利息為[6000(1＋0.5%)－a]元，第2次還款a元后，還欠本金及利息為[6000(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a]元，第3次還款a元后，還欠本金及利息為[6000(1＋0.5%)3－a(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a]元，以此類(lèi)推，則第12次還款a元后，還欠本金及利息為[6000(1＋0.5%)12－a(1＋0.5%)11－…－a(1＋0.5%)－a]元，此時(shí)已全部還清，則6000(1＋0.5%)12－a(1＋0.5%)11－…－a(1＋0.5%)－a＝0，123456789101112131415166.某廠去年的產(chǎn)值記為1.若計(jì)劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長(zhǎng)10%，則從今年起到第五年這五年內(nèi)，這個(gè)廠的總產(chǎn)值約為_(kāi)___.(保留一位小數(shù)，取1.15≈1.6)123456789101112131415166.612345678910111213141516解析由題意可知，第一年要比上年增長(zhǎng)10%，那么第一年產(chǎn)值就是1＋10%＝1.1，第二年又比第一年增加10%，所以第二年產(chǎn)值是1.12，…，以此類(lèi)推，第五年產(chǎn)值是1.15，123456789101112131415167.農(nóng)民收入由工資收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2015年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為13150元(其中工資收入為7800元，其他收入為5350元).預(yù)計(jì)該地區(qū)自2016年起的6年內(nèi)，農(nóng)民的工資收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其他收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為_(kāi)______元(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)17386解析農(nóng)民人均收入來(lái)源于兩部分，一是工資收入為7800×(1＋6%)6＝7800×1.066≈11076(元),二是其他收入為5350＋6×160＝6310(元)，因此，2021年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為11076＋6310＝17386(元).123456789101112131415168.小明打算從2018年起，每年的1月1日到銀行存入a元的一年期定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期.2019年1月1日小明去銀行繼續(xù)存款a元后，他的賬戶中一共有________元；到2022年的1月1日不再存錢(qián)且將所有的存款和利息全部取出，則可取回__________________元.(寫(xiě)化簡(jiǎn)后結(jié)果)ap＋2a解析依題意，2019年1月1日存款a元后，帳戶中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)元；銀行利息為單利計(jì)息，故2022年1月1日可取出錢(qián)的總數(shù)為a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，12345678910111213141516123456789101112131415169.王某2017年12月31日向銀行貸款100000元，銀行貸款年利率為5%，若此貸款分十年還清(2027年12月31日還清)，每年年底等額還款(每次還款金額相同)，設(shè)第n年末還款后此人在銀行的欠款額為an元.(1)設(shè)每年的還款額為m元，請(qǐng)用m表示出a2；解由題意得，a2＝100000(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110250－2.05m.(2)求每年的還款額(精確到1元).解因?yàn)?00000(1＋5%)10＝1.059m＋1.058m＋…＋m，123456789101112131415161234567891011121314151610.某地今年年初有居民住房面積為am2，其中需要拆除的舊房面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%的住房增長(zhǎng)率建設(shè)新住房，同時(shí)每年拆除xm2的舊住房，又知該地區(qū)人口年增長(zhǎng)率為4.9‰.(1)如果10年后該地區(qū)的人均住房面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房面積x是多少？注：下列數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)參考：1.19≈2.361.00499≈1.041.110≈2.61.004910≈1.051.111≈2.851.004911≈1.06解設(shè)今年人口為b人，則10年后人口為b(1＋4.9‰)10≈1.05b.1年后的住房面積為a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的住房面積為(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，3年后的住房面積為(1.12a－1.1x－x)×(1＋10%)－x＝1.13a－x(1＋1.1＋1.12)，…，10年后的住房面積a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)1234567891011121314151612345678910111213141516(2)依照(1)的拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的舊房？11.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知A，B，C三人分配獎(jiǎng)金的衰分比為20%，若A分得資金1000元，則B，C所分得資金分別為800元和640元.某科研所四位技術(shù)人員甲、乙、丙、丁攻關(guān)成功，共獲得單位獎(jiǎng)勵(lì)68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配資金，且甲與丙共獲得資金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的資金分別為A.20%,14580元 B.10%,14580元C.20%,10800元 D.10%,10800元綜合運(yùn)用12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)“衰分比”為q，甲獲得的獎(jiǎng)金為a1，則a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68780.a1＋a1(1－q)2＝36200，解得q＝0.1，a1＝20000，故a1(1－q)3＝14580.1234567891011121314151612.2016年崇明區(qū)政府投資8千萬(wàn)元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬(wàn)元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬(wàn)元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)利潤(rùn)(注：含第n年，累計(jì)利潤(rùn)＝累計(jì)凈收入－累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元)，且當(dāng)f(n)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開(kāi)始并持續(xù)贏利A.2020 B.2021

C.2022 D.2023√解析由題意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)投入為8＋2(n－1)＝2n＋6(千萬(wàn)元)，第1年至此后第n(n∈N*)年的累計(jì)凈收入為12345678910111213141516∵f(n＋1)－f(n)12345678910111213141516∴當(dāng)n≤3時(shí)，f(n＋1)－f(n)＜0，故當(dāng)n<4時(shí)，f(n)單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，f(n＋1)－f(n)＞0，故當(dāng)n≥4時(shí)，f(n)單調(diào)遞增.∴該項(xiàng)目將從第8年開(kāi)始并持續(xù)贏利.該項(xiàng)目將從2023年開(kāi)始并持續(xù)贏利.13.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高42萬(wàn)元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高168萬(wàn)元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1700萬(wàn)元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要A.3233萬(wàn)元 B.4706萬(wàn)元C.4709萬(wàn)元 D.4808萬(wàn)元12345678910111213141516√解析設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為x萬(wàn)元，設(shè)備費(fèi)為an萬(wàn)元(n＝1,2,3，…，10)，依題意x＋1536≤1700，即x≤164.123456789101112131415161234567891011121314151614.程先生買(mǎi)了一套總價(jià)為80萬(wàn)元的住房，首付30萬(wàn)元，其余50萬(wàn)元向銀行申請(qǐng)貸款，貸款月利率0.5%，從貸款后的第一個(gè)月后開(kāi)始還款，每月還款數(shù)額相等，30年還清.問(wèn)程先生每月應(yīng)還款________元(精確到0.01元).(參考數(shù)據(jù)1.005360≈6.0226)(注：如果上個(gè)月欠銀行貸款a元，則一個(gè)月后，程先生應(yīng)還給銀行固定數(shù)額x元，此時(shí)貸款余額為a(1＋0.5)%－x元)2997.75解析設(shè)程先生在第n個(gè)月時(shí)還欠銀行貸款an萬(wàn)元，每月固定還款x萬(wàn)元，則an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50，an＋k＝1.005(an－1＋k)，an＝1.005an－1＋0.005k.所以k＝－200x，{an－200x}是公比為1.005的等比數(shù)列，即an－200x＝(a0－200x)·1.005n.由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360.利用計(jì)算器可以求得x＝0.299775，即每月還款2997.75元.12345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.對(duì)年利率為r的連續(xù)復(fù)利，要在x年后達(dá)到本利和A，則現(xiàn)在投資值為B＝Ae－rx，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).如果項(xiàng)目P的投資年利率為r＝6%的連續(xù)復(fù)利.(1)現(xiàn)在投資5萬(wàn)元，則滿10年的本利和約為_(kāi)_______；(精確到0.1萬(wàn)元)9.1萬(wàn)元解析由題意：5＝Ae－6%n，∴A＝5·e6%n.當(dāng)n＝10時(shí)，本利和為A＝5·e6%n＝5·e0.6≈9.1(萬(wàn)元).12345678910111213141516(2)一個(gè)家庭為剛出生的孩子設(shè)立創(chuàng)業(yè)基金，若每年初一次性給項(xiàng)目P投資2萬(wàn)元，那么，至少滿____年基金共有本利和超過(guò)一百萬(wàn)元.(精確到1年)23解析由題意得B＝2.設(shè)n年后共有本利和超過(guò)一百萬(wàn)元，則n年后：第一年年初的投資所得為A1＝2·e6%n.第二年年初的投資所得為A2＝2·e6%(n－1).以此類(lèi)推：第n年年初的投資所得為An＝2·e6%.則滿n年后，基金共有本利和為1234567891011121314151612345678910111213141516故至少滿23年基金共有本利和超過(guò)一百萬(wàn)元.1234567891011121314151616.賀先生想向銀行貸款買(mǎi)輛新能源車(chē)，銀行可以貸給賀先生N元，一年后需要一次性還1.02N元.(1)賀先生發(fā)現(xiàn)一個(gè)投資理財(cái)方案：每個(gè)月月初投資m元，共投資一年，每月的月收益率達(dá)到1%，于是賀先生決定貸款12m元，按投資方案投資，求m的值，使得賀先生用最終投資所得的錢(qián)還清貸款后，還有120000的余額去旅游(精確到0.01元)；(參考數(shù)據(jù)1.0112≈1.1268250301,1.0113≈1.1380932804,1.0114≈1.1494742132)12345678910111213141516解由題意得：m[(1＋1%)12＋(1＋1%)11＋…＋(1＋1%)]－12m×1.02＝120000，可知(1＋1%)，(1＋1%)2，…，(1＋1%)12成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得解得m≈210774.79.12345678910111213141516(2)賀先生又發(fā)現(xiàn)一個(gè)投資方案：第k個(gè)月月初投資km元(k＝1,2，…，12)，共投資一年，每月的月收益率達(dá)到1%，則賀先生應(yīng)貸款多少，使得用最終投資所得的錢(qián)還清后，還有120000的余額去旅游(精確到0.01元).123456789101112