板塊命題點(diǎn)專練(四)基本初等函數(shù)（Ⅰ）及函數(shù)與方程命題點(diǎn)一基本初等函數(shù)(Ⅰ)命題指數(shù)：☆☆☆☆☆難度：高、中題型：選擇題、填空題、解答題1.(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0,4a＋b＝0C．a(chǎn)>0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0,2a＋b＝0解析：選A由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先減后增，于是a>0.2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z解析：選D設(shè)2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(3,logk3)＝eq\f(2logk3－3logk2,logk2·logk3)＝eq\f(logk32－logk23,logk2·logk3)＝eq\f(logk\f(9,8),logk2·logk3)>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝eq\f(3,logk3)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(3logk5－5logk3,logk3·logk5)＝eq\f(logk53－logk35,logk3·logk5)＝eq\f(logk\f(125,243),logk3·logk5)<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(2logk5－5logk2,logk2·logk5)＝eq\f(logk52－logk25,logk2·logk5)＝eq\f(logk\f(25,32),logk2·logk5)<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y.3．(2015·山東高考)若函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函數(shù)，則使f(x)>3成立的x的取值范圍為()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：選C因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq\f(2x＋1,2x－a).化簡(jiǎn)可得a＝1，則eq\f(2x＋1,2x－1)>3，即eq\f(2x＋1,2x－1)－3>0，即eq\f(2x＋1－32x－1,2x－1)>0，故不等式可化為eq\f(2x－2,2x－1)<0，即1<2x<2，解得0<x<1，故選C.4．(2015·天津高考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．c<b<a解析：選C由f(x)＝2|x－m|－1是偶函數(shù)可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.5．(2012·浙江高考)設(shè)a＞0，b＞0.()A．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，則a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，則a＜b解析：選A當(dāng)0<a≤b時(shí)，顯然2a≤2b,2a≤2b<3b，∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．∴它的逆否命題也不成立；若2a＋2a＝2b＋3b，則a>b成立，故A正確，B錯(cuò)誤．當(dāng)0<a≤b時(shí)，由2a≤2b,2a<3b，知2a－2a與2b－3b的大小關(guān)系不確定，∴C不正確，同理D不正確．6．(2016·浙江高考)已知函數(shù)f(x)滿足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．若f(a)≤|b|，則a≤bB．若f(a)≤2b，則a≤bC．若f(a)≥|b|，則a≥bD．若f(a)≥2b，則a≥b解析：選B∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，則|a|≤|b|，A項(xiàng)錯(cuò)誤．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，無(wú)法推出a≥b，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，則2b≥2a，故b≥a，B項(xiàng)正確．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，無(wú)法推出a≥b，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B.7．(2017·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，得f(－x)＝－x3＋2x＋eq\f(1,ex)－ex＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)．又f′(x)＝3x2－2＋ex＋eq\f(1,ex)≥3x2－2＋2eq\r(ex·\f(1,ex))＝3x2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，所以f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)閒(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤eq\f(1,2)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))8．(2015·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．(1)當(dāng)b＝eq\f(a2,4)＋1時(shí)，求函數(shù)f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表達(dá)式；(2)已知函數(shù)f(x)在[－1,1]上存在零點(diǎn)，0≤b－2a≤1，求b的取值范圍．解：(1)當(dāng)b＝eq\f(a2,4)＋1時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋1，故對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(a,2).當(dāng)a≤－2時(shí)，g(a)＝f(1)＝eq\f(a2,4)＋a＋2.當(dāng)－2＜a≤2時(shí)，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝1.當(dāng)a＞2時(shí)，g(a)＝f(－1)＝eq\f(a2,4)－a＋2.綜上，g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)＋a＋2，a≤－2，,1，－2＜a≤2，,\f(a2,4)－a＋2，a＞2.))(2)設(shè)s，t為方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(s＋t＝－a，,st＝b，))由于0≤b－2a≤1，因此eq\f(－2t,t＋2)≤s≤eq\f(1－2t,t＋2)(－1≤t≤1)．當(dāng)0≤t≤1時(shí)，eq\f(－2t2,t＋2)≤st≤eq\f(t－2t2,t＋2).由于－eq\f(2,3)≤eq\f(－2t2,t＋2)≤0和－eq\f(1,3)≤eq\f(t－2t2,t＋2)≤9－4eq\r(5)，所以－eq\f(2,3)≤b≤9－4eq\r(5).當(dāng)－1≤t<0時(shí)，eq\f(t－2t2,t＋2)≤st≤eq\f(－2t2,t＋2)，由于－2≤eq\f(－2t2,t＋2)＜0和－3≤eq\f(t－2t2,t＋2)＜0，所以－3≤b＜0.故b的取值范圍是[－3,9－4eq\r(5)]．9．(2016·浙江高考)已知a≥3，函數(shù)F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p，p≤q，,q，p＞q.))(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范圍．(2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a)．解：(1)由于a≥3，故當(dāng)x≤1時(shí)，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范圍為[2,2a]．(2)①設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，則f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，所以由F(x)的定義知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即m(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，3≤a≤2＋\r(2)，,－a2＋4a－2，a＞2＋\r(2).))②當(dāng)0≤x≤2時(shí)，F(xiàn)(x)＝f(x)，此時(shí)M(a)＝max{f(0)，f(2)}＝2.當(dāng)2≤x≤6時(shí)，F(xiàn)(x)＝g(x)，此時(shí)M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}，當(dāng)a≥4時(shí)，34－8a≤2；當(dāng)3≤a＜4時(shí)，34－8a＞2，∴M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(34－8a，3≤a＜4，,2，a≥4.))命題點(diǎn)二函數(shù)與方程命題指數(shù)：☆☆☆難度：中、低題型：選擇題、填空題1.(2014·湖北高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x.則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為()A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}解析：選D當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)是奇函數(shù)得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－eq\r(7)(正根舍去)．選D.2．(2014·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)解析：選C因?yàn)閒(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝－eq\f(1,2)<0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,4)，故選C.3．(2016·山東高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x＞m，))其中m＞0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________．解析：作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x＞m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.答案：(3，＋∞)4．(2015·湖北高考)函數(shù)f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，由f(x)＝0，得sin2x＝x2.設(shè)y1＝sin2x，y2＝x2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二者的圖象，如圖所示．由圖象知，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．答案：2命題點(diǎn)三函數(shù)模型及其應(yīng)用命題指數(shù)：☆☆☆難度：高、中題型：選擇題、填空題1.(2017·北京高考)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與eq\f(M,N)最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析：選D因?yàn)閘g3361＝361×lg3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，則eq\f(M,N)≈eq\f(10173,1080)＝1093.2．(2015·北京高考)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是()A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油解析：選D根據(jù)