榮昌中學(xué)高24級(jí)高二上期半期考試數(shù)學(xué)試題試題總分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.0° B.90° C.180° D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與坐標(biāo)軸垂直可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€與軸垂直，所以直線的傾斜角為90°.故選：B2.已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：A﹒3.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美如圖．將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是（）A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】C【解析】【分析】將多面體放置于正方體中，借助正方體分析多面體的結(jié)構(gòu)，由此求解出異面直線AB與CD所成角的大小.【詳解】如圖所示：將多面體放置于正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2則，，設(shè)異面直線AB與CD所成角為所以，故故選：C4.求空間中點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)與的長(zhǎng)度為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)的距離公式可得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，與的長(zhǎng)度為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1，3)，Q(2，－1)，若它們分別繞點(diǎn)P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離d的取值范圍為（）A.(0，5] B.(0，5) C.(0，+∞) D.(0，]【答案】A【解析】【分析】先判斷當(dāng)兩直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線l1，l2間的距離最大，計(jì)算得到最大值，進(jìn)而得到范圍.【詳解】當(dāng)兩直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線l1，l2間的距離最大，最大距離為所以l1，l2之間的距離的取值范圍是.故選：A6.三棱錐中，底面ABC，，，D為AB的中點(diǎn)，，則點(diǎn)D到面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在三角形SAB內(nèi)作AE⊥SB交SB于E，進(jìn)而根據(jù)條件證明AE⊥面SBC，算出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)D為AB的中點(diǎn)得到答案.【詳解】如圖，在三角形中，過A作AE⊥SB交SB于E，因?yàn)槊?，所以，又，，所以面，因?yàn)槊?，所以，而AE⊥SB，且，所以AE⊥面SBC.在三角形SAB中，由勾股定理易得，則由等面積法可得：，因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，所以D到平面SBC的距離為：.故選：C.7.已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用求出點(diǎn)的軌跡方程為，再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑的和的大小關(guān)系可得兩圓相交，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，且，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心，半徑為，其方程為，所以兩圓的圓心距為，兩圓的半徑和為，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故選：C8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，過的平面與平面平行，以平面截該正方體得到的截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐記為棱錐，則棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出平面與正方體的截面，利用棱錐外接球的性質(zhì)求出球半徑，即可得出球表面積.【詳解】分別取的中點(diǎn)，依次連接得到正六邊形,如圖，由平面，平面，可知平面，同理平面，又，平面，所以平面與平面EFG平行，所以該正六邊形就是平面與正方體的截面，設(shè)該棱錐的外接球球心為，半徑為，如圖，連接相交于點(diǎn)，連接，則球心在線段上，連接，因?yàn)?，，所以，所以在中可得，解得，所以外接球的表面積為,故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線的方程為，則（）A.直線在軸上的截距為2B.直線在軸上的截距為3C.直線的傾斜角為銳角D.過原點(diǎn)且與垂直的直線方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線方程，分別令即可判斷AB，由直線斜率可判斷C，求出原點(diǎn)且與垂直的直線方程即可判斷D.【詳解】在中，令，得，所以A不正確；令，得，所以B正確；因?yàn)橹本€l的斜率為，所以直線l的傾斜角為銳角，故C正確；因?yàn)榕cl垂直的直線方程可設(shè)為，又直線過原點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BCD10.已知直線和直線，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直和平行的判定，以及將直線一般式換成斜截式、點(diǎn)斜式判斷過定點(diǎn)問題，上述過程中注意區(qū)分等于1和不等于1的情況.【詳解】對(duì)A和B，如果，則和的斜率相等，時(shí)，，解得或.當(dāng)時(shí)，，，兩直線既不平行也不垂直.當(dāng)時(shí)，，，，A對(duì).當(dāng)時(shí)，，，，B錯(cuò).對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，，所以，C對(duì).對(duì)D，轉(zhuǎn)化為斜截式為，即，所以過定點(diǎn).同理，，時(shí)轉(zhuǎn)化為斜截式為，即，過定點(diǎn)；時(shí)，為，也過定點(diǎn)，D對(duì).故選：ACD.11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為 B.在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)（1，1）的距離為10C.在C上存在點(diǎn)M，使得 D.C上的點(diǎn)到直線的最大距離為9【答案】AD【解析】【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡(jiǎn)可判斷A選項(xiàng)；由兩點(diǎn)的距離公式和圓的圓心得出點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，由此可判斷B選項(xiàng).設(shè)，由已知得，聯(lián)立方程求解可判斷C選項(xiàng)；由點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡(jiǎn)得，即，故A正確；點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，故不存在點(diǎn)D符合題意，故B錯(cuò)誤.設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無解，故C錯(cuò)誤；C的圓心（4，0）到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點(diǎn)到直線的最大距離，故D正確；故選：AD.12.若正方體的棱長(zhǎng)為1，且，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.若，點(diǎn)P的軌跡為一段圓弧【答案】AC【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)P的軌跡，根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)，可得P到平面的距離不變，即可判斷A的正誤；當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)P的軌跡，利用反證法可證，P到平面的距離在變化，即可判斷B的正誤；當(dāng)時(shí)，可得三點(diǎn)共線，利用翻折法，可判斷C的正誤；如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得和的余弦值，列出方程，計(jì)算分析，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋渲?，所以點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A：取AD中點(diǎn)E、中點(diǎn)F，連接EF，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，?dāng)時(shí)，則，所以點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槠矫妫詿o論點(diǎn)P在EF任何位置，P到平面的距離不變，即高不變，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B：取中點(diǎn)G，中點(diǎn)H，連接GH，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)P在GH上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)平面，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，所以GH不平行平面，所以P在GH上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到平面的距離在變化，所以三棱錐的體積不是定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：連接，，，當(dāng)時(shí)，可得三點(diǎn)共線，將沿翻折至與平面共面，如下圖所示連接AB，當(dāng)P為AB與交點(diǎn)時(shí)，最小，即為AB，因?yàn)榫鶠槊鎸?duì)角線，所以，即為等邊三角形，又，，所以，，所以在中，由正弦定理得，所以，故C正確；對(duì)于D：分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，則，設(shè)，所以，所以因平面，平面，所以，又，所以，所以，整理得，所以，即，所以P點(diǎn)軌跡為線段，故D錯(cuò)誤故選：AC【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行判定與性質(zhì)，向量共線、數(shù)量積求夾角等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查學(xué)生分析理解，計(jì)算求值的能力，屬難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實(shí)數(shù)m等于___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價(jià)關(guān)系，，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14.若直線的傾斜角為30°，直線，則直線的傾斜角為______.【答案】120°【解析】【分析】由直線垂直及直線傾斜角的定義確定直線的傾斜角大小.【詳解】由，即直線夾角為°，又直線傾斜角范圍為°，而直線傾斜角為30°，所以直線的傾斜角為120°.故答案為：120°15.已知一個(gè)半球內(nèi)含有一個(gè)圓臺(tái)，半球的底面圓即為圓臺(tái)的下底面，圓臺(tái)的上底面圓周在半球面上，且上底面圓半徑為3，若半球的體積為，則圓臺(tái)的體積為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)半球半徑為，圓臺(tái)上底面圓半徑為，圓臺(tái)的高為，進(jìn)而并根據(jù)軸截面中的幾何關(guān)系得，再計(jì)算體積即可得答案.【詳解】解：設(shè)半球半徑為，圓臺(tái)上底面圓半徑為，圓臺(tái)的高為.所以，作出軸截面，如圖，因?yàn)榘肭虻捏w積為，所以，解得，由題意知，代入解得，所以，圓臺(tái)體積.故答案為：16.已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線系求出定點(diǎn)，再由垂直確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓，根據(jù)圓心距離判斷圓的位置關(guān)系，利用圓的幾何性質(zhì)求出取值范圍即可.【詳解】依題意，直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線，因此，直線與交點(diǎn)P的軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是：.故答案為：四、解答題：本題共有6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若點(diǎn)O到直線l的距離為4，求直線l的方程；（2）若面積為24，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離求出斜率即可得解；（2）設(shè)出直線方程，求出截距，利用面積求出斜率即可得解.【小問1詳解】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，則點(diǎn)O到直線l的距離，解得.故直線l的方程為，即.【小問2詳解】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，令，可得，令，可得，所以，即，解得，故所求直線方程為.18.如圖，已知圓錐的底面半徑，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點(diǎn)Q為半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn)．（1）求此圓錐的表面積；（2）求異面直線PQ與SO所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐軸截面及表面積公式計(jì)算即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線夾角的余弦即可.小問1詳解】∵圓錐的底面半徑，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，可得，∴圓錐的表面積．【小問2詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由題意可得，則，，則，設(shè)異面直線PQ與SO所成角的大小為θ，則，故異面直線PQ與SO所成角的余弦值為.19.已知圓，直線．（1）寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓交于A、兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為120°，求弦的長(zhǎng)．【答案】（1）圓心，半徑，與圓相交；（2）﹒【解析】【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求其圓心C和半徑r，求出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷l(xiāng)與圓的位置關(guān)系；（2）求出圓心到直線的距離d，根據(jù)即可求弦長(zhǎng)．【小問1詳解】由題設(shè)知圓：，∴圓的圓心坐標(biāo)為C，半徑為r＝．又直線可變形為：，則直線恒過定點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線必定與圓相交．【小問2詳解】由題意知，∴直線l的斜率，∴圓心到直線：的距離，∴．20.如圖，已知在矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線折起到（平面）的位置，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）已知，當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)與相交于點(diǎn),連接，根據(jù)中位線證明，得到證明.（2）證明，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）延長(zhǎng)與相交于點(diǎn),連接,∵為邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，∴,,∴為的中位線，∴為線段的中點(diǎn)，∵為線段的中點(diǎn)，∴∵平面，平面,∴平面.（2）∵,為邊的中點(diǎn)，∴,即,取線段的中點(diǎn),連接,,則由平面幾何知識(shí)可得,,又∵四邊形為矩形，,為邊的中點(diǎn)，∴,,∵平面平面，平面平面,,∴平面，∵平面，∴,∴以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，不妨取，則，，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行和線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.21.已知圓，點(diǎn).（1）求過點(diǎn)G并與圓C相切的直線方程；（2）設(shè)