備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)

【考點(diǎn)定位】2010考綱解讀和近幾年考點(diǎn)分布

概率與統(tǒng)計(jì)問題是每年高考必考內(nèi)容.文科考查等可能事件的概率計(jì)算公式，互斥事件的概率加法公

式，對(duì)立事件的概率減法公式，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)種恰好發(fā)生k次的概

率計(jì)算公式等五個(gè)基本公式的應(yīng)用'試題多為課本例題，習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題.只要我們理解和掌

握五個(gè)概率公式及其應(yīng)用，夯實(shí)基礎(chǔ)，借助排列組合知識(shí)和化歸轉(zhuǎn)化思想方法，就能順利解答高考概率與統(tǒng)計(jì)

試題.理科考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等內(nèi)容。

概率統(tǒng)計(jì)試題在試卷中的題型逐年發(fā)生變化，2009年高考數(shù)學(xué)的19份理科試卷中，出現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)解

答題的有17套，占89.4%,其中有9份試卷中有--道客觀題（選擇題或填空題）和一道解答題，有2份試卷

中只出現(xiàn)客觀題。最多的概率與統(tǒng)計(jì)問題的分值占整個(gè)卷面分值的12%,且本部分題多為中低檔題。從而

可以看出近兒年高考中概率與統(tǒng)計(jì)所占地位的重要性。

【考點(diǎn)pk】名師考點(diǎn)透析

考點(diǎn)一、隨機(jī)事件的概率

【名師點(diǎn)睛】

事件/的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件/發(fā)生的頻率‘總接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這

n

時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件力的概率，記作尸（N）.由定義可知0W尸（A）W1,顯然必然事件的概率是1,不可

能事件的概率是0.

等可能性事件的概率：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件，通常此試驗(yàn)中的某

一事件力由幾個(gè)基本事件組成.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個(gè)，即此試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且

所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是L如果某個(gè)事件/包含的結(jié)果有m個(gè),那么事

n

件A的概率P（A）='.使用公式P（J）=竺計(jì)算時(shí)，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在，其計(jì)算方法靈活多變,

nn

沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識(shí)中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏.

求解等可能性事件/的概率一般遵循如下步驟：（1）先確定一次試驗(yàn)是什么，此時(shí)一次試驗(yàn)的可能性結(jié)

果有多少，即求出4（2）再確定所研究的事件“是什么，事件/包括結(jié)果有多少，即求出機(jī)（3）應(yīng)用等可

能性事件概率公式尸='計(jì)算.

n

【試題演練】

設(shè)有5個(gè)人，每個(gè)人都被等可能地分到8個(gè)房間中任意一間去住，求下列事件的概率：（1）指定的5個(gè)

房間各有1人?。唬?）恰好5個(gè)房間，其中各住1人；（3）某指定的房間中恰有3個(gè)人住.

解（1）記A為“指定的5個(gè)房間各住1人”，則A中有A；種分法，所以指定的5個(gè)房間各住1人的概率

（2）記“恰好有5個(gè)房間其中各住1人”為事件B,則B中有C；A：種分法，所以P（B）=室1=益|.

（3）記“某指定房間恰有3人”為事件C,指定的房間住3人，有C；種分法，剩余2人中的每人可在7個(gè)

房間中任選1間有7?種選法，所以C中包含C；7。種不同的選法，所以P（C）=字=黑.

816384

考點(diǎn)二互斥事件有?個(gè)發(fā)生的概率

【名師點(diǎn)睛】事件4、8的和記作N+B,表示事件力、8至少有一個(gè)發(fā)生.當(dāng)X、8為互斥事件時(shí)，事件

4+8是由“/發(fā)生而8不發(fā)生”以及“8發(fā)生而N不發(fā)生”構(gòu)成的，因此當(dāng)/和8互斥時(shí)，事件/+8的概

率滿足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A8互斥)，且有尸(A+A)=P(A)+P(A)=1.

當(dāng)計(jì)算事件Z的概率尸。)比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件N的概率則要容易些，為此有尸(/)

=1-P(A).

對(duì)于〃個(gè)互斥事件小，42,…，A”,其加法公式為產(chǎn)(小+生+…+4)=p(小)+P(3+…+尸(4).

.概率加法公式僅適用于互斥事件，即當(dāng)/、8互斥時(shí)，P(A+B)=尸(/)+P(8),否則公式不能使用.

如果某事件/發(fā)生包含的情況較多，而它的對(duì)立事件(即/不發(fā)生)所包含的情形較少，利用公式P

")=1一尸(，)計(jì)算Z的概率則比較方便.這不僅體現(xiàn)逆向思維，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的.

求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的

概率的和；二是先去求此事件的對(duì)立事件的概率.

【試題演練】

國(guó)家射擊隊(duì)的某隊(duì)員射擊一次，命中710環(huán)的概率如下表所示：

命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)

概率0.320.280.180.12

求該射擊隊(duì)員射擊一次

(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率.

解記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(kGN,kWIO),則事件Ak彼此互斥.2分

(1)記''射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A,那么當(dāng)A”A,。之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事

件的加法公式得P(A)=P(A9)+P(AIO)=0.32+0.28=0.60.5分

(2)設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B,那么當(dāng)As,As,Am之一發(fā)生時(shí)，事件B發(fā)生.由互斥

事件概率的加法公式得P(B)=P(A?)+P(A9)+P(A,O)=0.18+0.28+0.32=0.78.9分

(3)由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對(duì)立事件：即方表

示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得P(5)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

考點(diǎn)三、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

【名師點(diǎn)睛】事件4與8的積記作A-B,A-B表示這樣一個(gè)事件，即/與B同時(shí)發(fā)生.

當(dāng)/和8是相互獨(dú)立事件時(shí)，事件4滿足乘法公式尸(4=尸(/)?P(8),還要弄清

不公的區(qū)別.A?力表示事件，與否同時(shí)發(fā)生，因此它們的對(duì)立事件/與5同時(shí)不發(fā)生，也等價(jià)于“與5

至少有一個(gè)發(fā)生的對(duì)立事件即了海，因此有工?火W了］，但N?B=A+B.

應(yīng)用公式時(shí)，要注意前提條件，只有對(duì)于相互獨(dú)立事件力與8來說，才能運(yùn)用公式P(//hP")-P

(8)..在學(xué)習(xí)過程中，要善于將較復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和及獨(dú)立事件的積，或其對(duì)立事件.

.首先要搞清事件間的關(guān)系(是否彼此互斥、是否互相獨(dú)立、是否對(duì)立)，當(dāng)且僅當(dāng)事件N和事件8互

相獨(dú)立時(shí)，才有尸(A?B)=P(A)?P(B).4、8中至少有一個(gè)發(fā)生：A+B.(1)若2、B互斥:P(/+8)

=P(A)+P(B),否則不成立.(2)若A、8相互獨(dú)立(不互斥).法一：P(4+B)=P(A-B)+PCA?B)

+P(.A?5)；法二：P(A+B)=1~P(A?B)；法三：P(A+B)=P(Z)+P(B)~P(AB).

某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對(duì)立事件的概率，這樣可減少運(yùn)算量，提高正確率.要注意

“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化

"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生％次的概率P.(％)=Cfp&(l-p)正好是二項(xiàng)式［(1-p)+p］"的

展開式的第％+1項(xiàng).

【試題演練】

設(shè)一射手平均每射擊10次中靶4次，求在5次射擊中：(1)恰擊中1次的概率；(2)第二次擊中的概率;

(3)恰擊中2次的概率；(4)第二、三兩次擊中的概率；(5)至少擊中1次的概率.

解由題設(shè)，此射手射擊1次，中靶的概率為0.4,此射手射擊5次，是一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可用公式

P?(k)=C：?(1-P)n-k.

(1)n=5,k=l,得Ps(1)=C；P(1-P)4=0.2592.

(2)事件“第二次擊中”表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可，它不同于“擊中一次”，也不同于

“第二次擊中，其他各次都不中”，不能用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，

其實(shí)，“第二次擊中”的概率，就是此射手“射擊一次擊中”的概率，為0.4.

(3)n=5,k=2,得Ps(2)=C5P2(1-P)'=0.3456.

(4)“第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五次擊中或擊不中，所以概率為0.4X0.4=0.16.

(5)設(shè)“至少擊中一次”為事件B,則B包括“擊中一次”、“擊中兩次”、“擊中三次”、“擊中四次”、“擊

中五次”，所以概率為P(B)=P5(1)+Ps(2)+P5(3)+P5(4)+P5(5)因?yàn)槭录﨎是用“至少”表

述的，可以考慮它的對(duì)立事件.B的對(duì)立事件是“一次也沒有擊中”，所以P(B)=1-P(B)=1-P5(0)

=1-C?(1-0.4)5=0.92224.

考點(diǎn)四、離散型隨機(jī)變量的分布列

【名師點(diǎn)睛】1.隨機(jī)變量的概念

如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用?個(gè)變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，它常用希臘字母S、〃等表示.

(1)離散型隨機(jī)變量.如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么這樣的隨機(jī)變量

叫做離散型隨機(jī)變量.

(2)若f是隨機(jī)變量，H=a^+b,其中八6是常數(shù)，則〃也是隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)概率分布(分布列).設(shè)離散型隨機(jī)變量f可能取的值為x”為，…，為，…，f取每一個(gè)值x,C=l,

2,…)的概率P(=p,,則稱表

X\X2Xi

PP\P2Pi

為隨機(jī)變量&的概率分布，簡(jiǎn)稱S的分布列.

(2)二項(xiàng)分布.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)

生1次的概率是尸(D=C%qi.

其中40,1,…，”，q=\-p,于是得到隨機(jī)變量S的概率分布如下:

01…kn

c00/i???

PC.pqc）尸c.pg

稱這樣的隨機(jī)變量f服從二項(xiàng)分布，記作B(〃，p),其中〃、p為參數(shù)，并記(匕〃，p).

離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率和.

求離散型隨機(jī)變量的分布列必須解決好兩個(gè)問題，一是求出S的所有取值，二是求出孑取每一個(gè)值時(shí)

的概率.

求一些離散型隨機(jī)變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個(gè)數(shù)，即相應(yīng)的排列組合

數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提.

【試題演練】

-袋中裝有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的6個(gè)大小相同的球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以J表示取出的最大

號(hào)碼.（1）求J的分布列；（2）求J>4的概率.

解（1）g的可能取值為3,4,5,6,從而有：

P4=3）=烏=-!-,P4=4）=CrCtJ_,p（^=5）￡E￡1±,

cl20、c：=20、=ci=10

P（J=6）=警_'.故J的分布歹ij為

3456

133

P

2020To2

（2）P（4>4）=P（4=5）+P*=6）

°°510105

考點(diǎn)五、離散型隨機(jī)變量的期望與方差

【名師點(diǎn)睛】1.期望：若離散型隨機(jī)變量f,當(dāng)f=x,的概率為P（f=x,）=Pg,2,n,

則稱Ef=Ex,p,為J的數(shù)學(xué)期望，反映了f的平均值.

2.方差：稱。$=￡（%—ES）2p,為隨機(jī)變量f的均方差，簡(jiǎn)稱方差.、匠叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了f的離散程度.

3.性質(zhì)：（1）EQf+6）=aEf+b,D（aJ+b）=c^Df（a、方為常數(shù)）.

（2）若g?B（〃，p）,則Dg=npq（g=l—p）.

.對(duì)求離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用問題，首先應(yīng)仔細(xì)地分析題意，當(dāng)概率分布不是一些熟知的

類型時(shí)，應(yīng)全面地剖析各個(gè)隨機(jī)變量所包含的各種事件，并準(zhǔn)確判斷各事件的相互關(guān)系，從而求出各隨機(jī)

變量相應(yīng)的概率.

【試題演練】

某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記

下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，

規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令4表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額.求：（1）J的分布列；（2）J

的期望.

解（1）自的所有可能取值為0,10,20,50,60.P（4=0）=二條；

「（印°）4*符+/C；X.Q磊;P?20）=/以X小力尚

P?5。）/X卡=高1令6。）=*=焉.故J的分布列為

g010205060

7292431891

p

10001000100010001000

（2）E4=0X^=2_+10X^3_+20X—+50X—^―+60X^—=3.3（元）.

）10001000100010001000

考點(diǎn)六、抽樣方法、總體分布的估計(jì)

【名師點(diǎn)睛】1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N,如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取

一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

2.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體

分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.分層抽樣的步驟：（1）分層；（2）

按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；（3）各層抽樣（方法可以不同）；（4）匯合成樣本.

3.總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體.

4.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)

和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.

可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示.解決總體分布估計(jì)問題的?般程序如下：

（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù)）；（2）分別計(jì)算各組的頻數(shù)及頻率（頻

率=整）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計(jì)?

總數(shù)

【試題演練】某一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其中人口比例為3：2：5：2：3,從3萬人中抽取

一個(gè)300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什

么樣的方法？并寫出具體過程.

解（1）將3萬人分為五層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.

（2）按照樣本容量的比例隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本.300XA=60（人）；300X-1=40（人）：

300X^=100（人）；300X1=40（人）;300X^=60（人）,

因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人，40人，100人，40人，60人

（3）將300人組到一起即得到一個(gè)樣本.

2對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：

壽命（h）100200200300300400400500500600

個(gè)數(shù)2030804030

（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖;（3）估計(jì)電子元件壽命在100h400h以內(nèi)的概率;

（4）估計(jì)電子元件壽命在400h以上的概率.

解（1）樣本頻率分布表如下：

壽命（h）頻數(shù)頻率

100200200.10

200300300.15

300400800.40

400500400.20

500600300.15

合計(jì)2001

（2）頻率分布直方圖

(3)由頻率分布表可以看出，壽命在100h400h的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65,所以我們估計(jì)電子元

件壽命在100h-400h的概率為0.65.

(4)由頻率分布表可知，壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35,故我們估計(jì)電子

元件壽命在400h以上的概率為0.35.

【三年高考】07、08、09高考試題及其解析

2009高考試題及解析

一、選擇題

1.(2009山東卷理)某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)

繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于

98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是().

A.90B.75C.60D.45

【解析】：產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)X2=0.300,

已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,設(shè)樣本容量為〃，

則—=0.300，所以〃=120,凈重大于或等于98克并且小于

n

104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)X2=0.75,所以樣本

中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是

120X0.75=90.故選A.

答案:A第8題圖

【命題立意】：本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí),讀懂頻率分布直方圖，會(huì)計(jì)算概率以及樣本中有關(guān)的數(shù)據(jù).

7TY|

2.(2009山東卷理)在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,cos號(hào)的值介于。到/之間的概率為().

12J2

A.-B.—C.-D.一

3萬23

7TYI

【解析】：在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,即xe[—1,1]時(shí)，要使cos號(hào)的值介于0到;之間，需使

—乙44Z.4—七或工《區(qū)土〈工一1《xV一2或24》＜1,區(qū)間長(zhǎng)度為2,由幾何概型知Icos?3的值

2233223332

2

171

介于0到一之間的概率為n=—.故選A.

223

【命題立意】：本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題，由自變量X的取值范圍，得到函數(shù)值cos空的范

2

圍,再由長(zhǎng)度型幾何概型求得.

3.（2009山東卷文）在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,COSX的值介于0到g之間的概率為（）.

12cl2

A.-B.—C.—D.一

3萬23

【解析】：在區(qū)間TT勺TT上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,即XG［-72T,7勺T時(shí)，要使COSX的值介于0到上之間，需使

22222

71

一7一T<x<——71或7一1KxW7一1,區(qū)間長(zhǎng)度為7一1，由幾何概型知COSX的值介于0到1一之間的概率為2&=I一.

2332327i3

故選A.

【命題立意】：本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題，由自變量X的取值范圍，得到函數(shù)值COSX的范圍,

再由長(zhǎng)度型兒何概型求得.

4.（2009安徽卷理）考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)

中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于

(B)134

(A)—(C)—(D)——

757575

?B

［解析］如圖，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這

?F

6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，共有建?C；=15x15=225

,E

種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有

?A

ACIIDB,ADHCB,AEHBF,AFIIBE,CE//FD,CF//ED

124

共12對(duì)，所以所求概率為0=——=——，選D

22575

5.（2009安徽卷文）考察正方體6個(gè)面的中心，從中任意選3個(gè)點(diǎn)連成三角形，再把剩下的3個(gè)點(diǎn)也連成

11

三角形，則所得的兩個(gè)三角形全等的概率等于A.1B.-C.3D.0

【解析】依據(jù)正方體各中心對(duì)稱性可判斷等邊三角形有個(gè).由正方體各中心的對(duì)稱性可得任取三個(gè)點(diǎn)必構(gòu)

成等邊三角形，故概率為1,選A。

6.（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁4個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場(chǎng)比賽各隊(duì)取勝的概率相等，現(xiàn)任意將

這4個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組兩個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為

11-11

A.-B.—C.—D.一

6432

C2c2

【解析】所有可能的比賽分組情況共有4xd2=12種，甲乙相遇的分組情況恰好有6種，故選。.

2!

7.（2009江西卷理）為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張

卡片，集齊3種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購(gòu)買該種食品5袋，能獲獎(jiǎng)的概率為

【解析1P=》一（3/二3）=留故

3581

8.（2009四川卷文）設(shè)矩形的長(zhǎng)為。，寬為b,其比滿足b:。=叵4a0.618,這種矩形給人以美感,

2

稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度

與長(zhǎng)度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是

A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定

【答案】A【解析】甲批次的平均數(shù)為0.617,乙批次的平均數(shù)為0.613

9.（2009寧夏海南卷理）對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)理力爭(zhēng)（苞,乂）（i=l,2,…，10）,得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u,

v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（%,V,）（i=l,2,-,10），得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷。

圖2

ks5u

（A）變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)（B）變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

（C）變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)（D）變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

解析：由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，選C

10.（2009遼寧卷文）ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2,BC=1,。為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到

7/TT77"TT

的點(diǎn)到。的距離大于1的概率為（A）—（B）1---（C）—（D）1---

4488

兀

【解析】長(zhǎng)方形面積為2,以0為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分（半圓）面積為,

71TT

因此取到的點(diǎn)到0的距離小于1的概率為彳+2=—

24

rr

取到的點(diǎn)到0的距離大于1的概率為1-j【答案】B

4

11.（2009陜西卷文）某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工

人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則

該樣本中的老年職工人數(shù)為（A）9（B）18（C）27（D）36

答案B.解析：由比例可得該單位老年職工共有90人，用分層抽樣的比例應(yīng)抽取18人.

12.（2009福建卷文）一個(gè)容量100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下表

組別(0,10](20,20](20,30)(30,40)(40,50](50,60](60,70]

頻數(shù)1213241516137

則樣本數(shù)據(jù)落在（10,40）上的頻率為A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64

解析由題意可知頻數(shù)在（10,40］的有：13+24+15=52,由頻率=頻數(shù)十總數(shù)可得0.52.故選C.

13.（2009年上海卷理）若事件后與E相互獨(dú)立，且P（￡）=P（R）=；，則P（EI尸）的值等于

（A）0（B）—（C）-（D）-

1642

【答案】B【解析】P（EIF）=P（E）?P（E）=；x；=\

14.（2009年上海卷理）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生在規(guī)模群

體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”。根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑

似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是

（A）甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4（B）乙地：總體均值為1,總體方差大于0

（C）丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3（D）丁地：總體均值為2,總體方差為3

【解析】根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7的數(shù)，選項(xiàng)A中，中位數(shù)為4,

可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項(xiàng)C中也有可能；選項(xiàng)B中的總體方差大于0,敘述不明確，如果數(shù)目

太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項(xiàng)D中，根據(jù)方差公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會(huì)為3,

故答案選D.

二、填空題

1.（2009年廣東卷文）某單位200名職工的年齡分布情況如圖2,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽

樣法，將全體職工隨機(jī)按1—200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組（1—5號(hào)，6—10號(hào)…，196—200號(hào)）.

若第5組抽出的號(hào)碼為22,則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是。若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽

取人.

50歲以上

40歲以下

40—50歲

【答案】37,20

【解析】由分組可知,抽號(hào)的間隔為5,又因?yàn)榈?組抽出的號(hào)碼為22,所以第6組抽出的號(hào)碼為27,第7

組抽出的號(hào)碼為32,第8組抽出的號(hào)碼為37.

40

40歲以下年齡段的職工數(shù)為200x0.5=100，則應(yīng)抽取的人數(shù)為——x100=20人.

2.（2009廣東卷理）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如右表.若EX=0,DX=\,貝必=,

b=.

【解析】由題知6+C=旦，-67+C+—=0,12X<7+12XC+22X—=1,解得<7=』，b.

12612124

3.（2009浙江卷文）某個(gè)容量為100的樣本的頻率分布直方圖如下，則在區(qū)間［4,5）上的數(shù)據(jù)的頻裂

"'揉%距

.」一_…一

—?

-----------------

I100,因此頻數(shù)為30

4.（2009安徽卷理）若隨機(jī)變量X?,則

P（XW〃）=.［解析］1

5.（2009安徽卷文）從長(zhǎng)度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成

三角形的概率是。

【解析】依據(jù)四條邊長(zhǎng)可得滿足條件的三角形有三種情況：2、3、4或3、4、5或2、4、5,故尸=冬3=23=0.75.

6.（2009江蘇卷）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若從中一次隨

機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為.

【解析】考查等可能事件的概率知識(shí)。從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的可能的事件總數(shù)為10,它們的

長(zhǎng)度恰好相差0.3m的事件數(shù)為2,分別是：2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率為0.2。

7.（2009江蘇卷）某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次,

投中的次數(shù)如下表：

學(xué)生2^3^4^5號(hào)

甲班67787

乙班67679

則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為?=.

【解析】甲班的方差較小，數(shù)據(jù)的平均值為7,故方差$2=（6二7）一/0-.0-+（8-7）二b0：=2

55

8.（2009遼寧卷理）某企業(yè)有3個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1：2：b用

分層抽樣方法（每個(gè)分廠的產(chǎn)品為一層）從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測(cè)試，由

所得的測(cè)試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h,1020h,1032h,則

抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為K

-980x1+1020x2+1032x1

【解析】x=--------------------=1011A31O

4

9（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測(cè)試,他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是乙8、96、0.5,則三人都

達(dá)標(biāo)的概率是，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是

【答案】0.240.76

【解析】三人均達(dá)標(biāo)為0.8X0.6X0.5=0.24,三人中至少有一人達(dá)標(biāo)為

1-0.24=0.76

10.（2009湖北卷文）下圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖。

根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在［6,10］內(nèi)的頻數(shù)

為,數(shù)據(jù)落在（2,10）內(nèi)的概率約為o

【答案】64

【解析】觀察直方圖易得頻數(shù)為200x0.08x4=64，頻率為0.1x4=0.4

11.（2009湖南卷文）一個(gè)總體分為48兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本。已

知6層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為上，則總體中的個(gè)體數(shù)為120.

12

解：設(shè)總體中的個(gè)體數(shù)為X,則W=J-nx=120.

x12

12.（2009湖南卷理）一個(gè)總體分為A,B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1,用分層抽樣方法從總體中抽取?個(gè)容

量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為,，則總體中的個(gè)數(shù)數(shù)位50。

28

【答案】：40【解析】由條件易知8層中抽取的樣本數(shù)是2,設(shè)8層總體數(shù)是〃，則又由5層中甲、乙都被

C21

抽到的概率是可得〃=8,所以總體中的個(gè)數(shù)是4x8+8=40

C：28

13.（2009天津卷理）某學(xué)院的A,B,C三個(gè)專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，

擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名

學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取一名學(xué)生。

【考點(diǎn)定位】本小題考查分層抽樣，基礎(chǔ)題。

解析：C專業(yè)的學(xué)生有1200-380-420=400,由分層抽樣原理，應(yīng)抽取120x出1=40名。

1200

14.（2009福建卷文）點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧AB

的長(zhǎng)度小于1的概率為oA

解析解析：如圖可設(shè)/8=1,則28=1,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周/\長(zhǎng)

3,則其概率是2。（

15.（2009上海卷文）若某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出3人作為上海世博會(huì)的志愿者，則選出的志

愿者中男女生均不少于1名的概率是（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）。

【解析】因?yàn)橹挥?名女生，所以選出3人中至少有一名男生，當(dāng)選出的學(xué)生全是男生時(shí)有：C；,概率為:：

C3225

二=*,所以，均不少于1名的概率為：1一±=±。

C.777

16.（2009重慶卷文）5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有種（用數(shù)字作答）.

解析:可分兩個(gè)步驟完成，第一步驟先排除甲乙外的其他三人，有A；種，第二步將甲乙二人插入前人形成

的四個(gè)空隙中，有A；種，則甲、乙兩不相鄰的排法有A；A：=72種。

17.（2009重慶卷文）從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125124121123127

則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=（克）（用數(shù)字作答）.

【答案】2解析因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)x=1（125+124+121+123+127）=124,則樣本方差

$2=（（『+02+32+］2+32）=4,所以s=2

18.（2009湖北卷理）樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)

落在［6,10）內(nèi)的頻數(shù)為,數(shù)據(jù)落在［2,10）內(nèi)的概率約為.

【答案】640.4【解析】由于在［6,10）范圍內(nèi)頻數(shù)、組距是0.08,所以頻率是0.08*組距=0.32,而頻數(shù)=

頻率*樣本容量，所以頻數(shù)=（0.08*4）*200=64

同樣在［2,6）范圍內(nèi)的頻數(shù)為16,所以在［2,10）范圍內(nèi)的頻數(shù)和為80,概率為80/200=0.4

三、解答題

1.(2009年廣東卷文)(本小題滿分13分)

隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高；甲班

(2)計(jì)算甲班的樣本方差2181

(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同

99101703689

學(xué)，求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.

883216258

8159

【解析】(1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于160:179之間，

圖7

而乙班身高集中于170:180之間。因此乙班平均身高高于甲班；

_158+162+163+168+168+170+171+179+179+182

(2)x--------------