專題20銳角三角函數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)精講

rsr~~=-1

?卬||復(fù)習(xí)目標(biāo)h

1.通過(guò)復(fù)習(xí)進(jìn)一步理解銳角三角形函數(shù)的概念，能熟練應(yīng)用sinA,cosA,tanA表示直角三角形

中兩邊的比，熟記特殊角30°,45°,60°的三角函數(shù)值；

2.理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理，銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)解某些簡(jiǎn)

單的實(shí)際問(wèn)題，從而進(jìn)一步把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)；

3.會(huì)用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,乙A所對(duì)的邊BC記為a,叫做乙A的對(duì)邊，也叫做乙B的

鄰邊，ZB所對(duì)的邊AC記為b,叫做乙B的對(duì)邊，也是乙A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c,叫做斜邊.

【樂(lè)?八an-，乙4的對(duì)邊a

銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做4A的正弦,記作sinA,即sinA-人」=

斜邊c

b

、口比Aan/NN的鄰邊

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做4A的余弦,記作cosA,即cosA=——------二—

斜邊c

［代An.“乙4的對(duì)邊a

銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做乙A的正切,記作tanA,即BtanZ=..,

NN的鄰邊b

閂加._的對(duì)邊bcos於坐普一tan於事里b_

斜邊c的鄰邊a

考點(diǎn)2：特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

銳角asinacosatana

2s昱

30°

223

近

45°巫1

~2~2

60°在幣

22

考點(diǎn)3：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt^ABC中，ZC=90°,乙A、ZB,4c所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有:

①三邊之間的關(guān)系：a?+b2=c2（勾股定理）.

②銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

aba

sin/=-cosJ4=—tan^4=—

c,c,b,

._b_ai

sin5=-cos5=—tan5=—

C,c,a.

e11,

=-abt=-ch

④322,h為斜邊上的高.

注意：

⑴直角三角形中有一個(gè)元素為定值（直角為90°）,是已知值.

⑵這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒(méi)有包括其他關(guān)系（如不等關(guān)系）.

⑶對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

考點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用

（1）坡度坡角

在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念:

⑴坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母&表示.

坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離?的比叫做坡度，用字母》表示，則如圖，坡度

通常寫成丁=?。?的形式.

（2）仰角俯角問(wèn)題

仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如

圖.

視線

眼第?一一水平線

視線

（3）方位角問(wèn)題

方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,PB,

PC的方位角分別為是40°,135°,245

CD

（2）方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向

線OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60。.特別如：

東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45。,西北方向指的是

北偏西45.

迎典例群領(lǐng)

【題型1：銳角三角函數(shù)的概念】

【典例1】（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力,3分別在x軸負(fù)半軸和〉軸正半軸上，點(diǎn)。在

03±,OC-.BC=1：2,連接/C,過(guò)點(diǎn)。作。尸〃48交ZC的延長(zhǎng)線于P.若尸（1,1）,則tan乙。/

【答案】C

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸x軸于點(diǎn)。,

■：OP//AB,

：.XOCP—XBCA、

：.CP-.AC=OC：BC=\-.2,

???AAOC=AAQP=90°,

■.CO//PQ,

：.OQ-AO=CP-AC=1-.2,

■P(1,1),

：.PQ=OQ=l,

.?.40=2,

/.tan乙OAP==---=

AQ2+13

故選：C.

亡ED時(shí)椅測(cè)

【變式1-1】（2021?云南）在△/BC中，AABC=90°,若NC=100,sig=3,則的長(zhǎng)是（）

5

A.50°B,5°3c.60D.80

35

【答案】案

【解答】解：在直角三角N3C中,

AC=100,siib4=—,

5

...BC=60,

?■?^S=VAC2-BC2=80'

故選：D.

【變式1-2】（2023?陜西）如圖，在6x7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1若點(diǎn)N,B,C都在格點(diǎn)

）

3V13c

13-1

【答案】/

【解答】解：連接40,則4408=90°,

,.?/￡>=62+22=2近,AB=\F+52=

ABV2613

故選：A.

【變式1-3】（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片48CD中，AB=5,BC=3,將△BCD沿3D折疊到△BED位

置，DE交AB于點(diǎn)、F,則cosAADF的值為（）

【解答】解：,??四邊形N8CD是矩形，

AA=90°,AB//CD,AD=BC=3,AB=CD=5,

???乙BDC=2DBF,

由折疊的性質(zhì)可得乙乙BDF,

：.2BDF=乙DBF,

：.BF=DF,

設(shè)BF=x,貝l]DP=x,AF=5-x,

在Rt/XADF中，32+(5-x)2=x2,

.L17

5

,i315

COS乙4DF=百-qy,

故選：c

rJMMB

【題型2：特殊角的三角函數(shù)】

【典例2】（2022?天津）tan45。的值等于（）

A.2B.1C.亞

2。?亨

【答案】8

【解答】解：tan45。的值等于1,

故選：B.

■

工即時(shí)檢測(cè)

[變式2-1](2022?廣東)sin30°=_1

T

【答案】工

2

【解答】解：sin30。=1

2

故答案為：1.

2

【變式2-2】（2022?荊門）計(jì)算:_A+COS60°(-2022)0=-1

V8

【答案】-I.

【解答】解：,,。

+cos60-(-2022)0

-H-1

=0-1

=-1,

故答案為：-1.

[變式2-3](2022?達(dá)州)計(jì)算：(-1)2022+|-2|-(A)0-2tan45°.

2

【答案】0.

【解答】解：原式=1+2-1-2x1

=1+2-1-2

=0.

V典例即領(lǐng)

【題型3：解直角三角形】

【典例3]（2023?常州）如圖，在RtA^5C中，乙/=90。，點(diǎn)。在邊AB上，連接CD.若BD=CD,坦

BD

=貝I]tanfi=上^-.

3—2―

【答案】巨

2

【解答】解：設(shè)/。=晨

,；BD=CD,歿=上，

BD3

:.BD=CD=3t,

-'-^C=VCD2-AD2AB=AD+BD=At,

tanB=里=匚=退_,

AB4t2

故答案為：巨

2

*

C的時(shí)楮91

【變式3-1]（2023?牡丹江）如圖，將45°的乙/OB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)。與尺下沿

的端點(diǎn)重合，04與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2c加，若按相同的方式將22.5°

的4/OC放置在該刻度尺上，則。。與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（272+2）cm.

【答案】（272+2）.

【解答】解：AAOB=45°,AAOC=22.5°,

ABOC=AAOC,

■.-BC//OA,

ABCO=AAOC,

2BCO=ABOC,

：.BC=OB,

?：XODB是等腰直角三角形，

OB=yp2,BD=2yp2,cm,

.'.CD=BC+BD=（2-/2+2）cm.

OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（2&+2）cm.

故答案為：（2&+2）.

【變式3-2】（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)

4、B、。三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin4ABe=_1_.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，連接NC,

由勾股定理得：AB2=22+42=20,5C2=12+32=10,AC2=12+32=10,

貝ijBC2+AC2=AB2,

AACB=90°,

sin乙=至=近，

AB2遍2

故答案為：叵

2

A

【變式3-3】（2022?樂(lè)山）如圖，在RtA43C中，ZC=90°,5C=、而，點(diǎn)。是/C上一點(diǎn)，連結(jié)若

tanAA=-1,tanAABD=A,則CD的長(zhǎng)為（）

23

【答案】C

；.AE=2DE,BE=3DE,

；.2DE+3DE=5DE=AB,

在中，tanZ^=-l,BC=^,

2

.BC1

'AC'AC-"!'

解得NC=2V5,

???/3=京2+凱2=5,

：.DE=1,

：.AE=2,

'-AD=VAE2+DE2=Vl2+22=遙，

；.CD=AC-AD=^,

故選：C.

e曲例麗

【題型4：解直角三角形的應(yīng)用】

【典例4】（2022?紹興）圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它

包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）,

當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度

最短的那一天定為夏至.圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表NC垂直圭3C,已知

該市冬至正午太陽(yáng)高度角（即4/8C）為37°,夏至正午太陽(yáng)高度角（即乙NOC）為84°,圭面上冬至

線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為4米.

次夏至

冬至壯\

冬至正午陽(yáng)光

圖1圖2

（1）求Z.34D的度數(shù).

（2）求表/C的長(zhǎng)（最后結(jié)果精確到0」米）.

(參考數(shù)據(jù)：sin37°cos37°~生tan37°=3,tan84°3)

5542

【答案】（1）47°；

(2)3.3米.

【解答】解：(1)AADC=84°,2ABC=37°

ABAD=AADC-zLABC=4V,

答：484D的度數(shù)是47°.

(2)在RS/2C中，tan37°=黑，

BCtan370

在Rt^/OC中，DC.點(diǎn);l

;BD=4,

ACAC

BC-DC-=BD=41

tan37°tan84°

42

昔AC/AC=4,

.■.AC^3.3（米），

答：表NC的長(zhǎng)是3.3米.

E即時(shí)悔測(cè)

【變式4-1］（2023?鹽城）如圖1,位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2,

線段表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)8,C,。在同一條直線上，且乙/C2=60°,AADB=30°,CD=

17.5m,則線段N3的長(zhǎng)約為15m.（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：匾~1.7）

【答案】15.

【解答］解：/_ACB=60°,AADB=30°,乙ACB=LADB+乙CAD,

AADB=Z.C4r>=30°,

：.AC=CD=17.5m,

?-?/LABC=90°,AACB=60°,

：.AB=AC^m^ACB=^3-AC^l5m,

2

故答案為：15.

［變式4-2］（2023?貴州）貴州旅游資源豐富.某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修

建觀光索道.設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳/為起點(diǎn)，沿途修建CD兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，

最終到達(dá)山頂。處，中途設(shè)計(jì)了一段與/尸平行的觀光平臺(tái)3c為50九索道與N/的夾角為15。，

CD與水平線夾角為45°,/、3兩處的水平距離/￡為576加，DF1AF,垂足為點(diǎn)F.（圖中所有點(diǎn)都在

同一平面內(nèi)，點(diǎn)/、E、尸在同一水平線上）

圖①

（1）求索道48的長(zhǎng)（結(jié)果精確到im）;

（2）求水平距離AF的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1加）.

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°*0.25,cosl5°?0.96,tanl50=0.26,&=L41)

【答案】（1）600加;

(2)1049m.

【解答】解：(1)在中，AAEB=90°,4N=15°,AE=576m,

--AB=-^—=_5個(gè)。-6oo(機(jī)),

cosAcosl5

即45的長(zhǎng)約為600m；

(2)延長(zhǎng)5c交。/于G,

AEF

圖②

'：BC//AE,

AACBE=90°,

?.DFLAF,

AAAFD=90°,

四邊形BEFG為矩形，

:.EF=BG,ACGD=ABGF=90°,

'.'CD=AB=600m,4。CG=45。，

:.CG=CD?cos乙DCG=600xcos45°=600x巨=30072(加)，

2

：.AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC+CG=576+50+3QCh/2=1049(m),

即4F的長(zhǎng)為1049m.

【變式4-3］（2023?成都）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外

安裝遮陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩.

如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷N3長(zhǎng)為5米，與水平面的夾角為16°,且靠墻端離地高為4米,

當(dāng)太陽(yáng)光線40與地面CE的夾角為45°時(shí),求陰影CD的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù):sin16°

-0.28,cos16°—0.96,tanl6°

【答案】陰影CD的長(zhǎng)約為2.2米

【解答】解：過(guò)4作NTLBC于7,AKLCE于K,如圖:

BT=AB*sinABAT=5xsinl6°21.4（米），AT=AB9cos/-BAT=5xcosl6°24.8（米）,

AATC=ZC=ACKA=9Q°,

四邊形/7CK是矩形,

.?.CK=4T=4.8米,AK=CT=BC-BT=4-1,4=2.6（米）,

在RtAAKD中,

AADK=45°,

：.DK=AK=2.6米,

；.CD=CK-DK=4.8-2.6=2.2（米）,

.??陰影CD的長(zhǎng)約為2.2米.

屈||好嬴^1]

e戛礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一.選擇題（共10小題）

1.在△ABC中，ZC=90°,AB=5,3c=4,那么4/的正弦值是（）

3

ABc.

-I-15

【答案】。

【解答】解：ZC=90°,AB=5,BC=4,

故選：D.

2.2sin45°的值為()

A.V2B.1C.

2D?華

【答案】/

【解答】解：2sin45°2x^2.

2

故選：4

3.如圖，以。為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線04交于點(diǎn)2,再以2為圓心，3。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩

弧交于點(diǎn)c,畫(huà)射線OC,則sinAAOC的值為（）

c

2B?亨-4

【答案】〃

【解答】解:連接BC,

由題意可得:OB=OC=BC,

則△O2C是等邊三角形,

故sinAAOC=sin60°=義￡

2

故選：D.

0B]A

4.為測(cè)樓房的高，在距樓房30米的4處，測(cè)得樓頂5的仰角為a,則樓房5c的高為（)

3°米C.30sina米D?卅

tana

【答案】4

【解答】解：在RtZXZBC中，有乙BAC=a,AC=30.

.*.^C=30tana.

故選：A.

如圖，4D是△/BC的高，若AD=2C〃=6,sin/DAC=1,則邊的長(zhǎng)為（）

5.

5

4&c.375D.672

【答案】。

【解答】解：,?,sin4￡UC=恒,

5

.'.tanADAC=―,

2

.DC=2

AD2"

,:BD=6,CD=3,

.,.AD=6,

由勾股定理可知：AB2=BD2+AD2,

??./3=6加,

故選：D.

6.如圖，已知48是O。的直徑，CD是OO的弦，ABLCD,垂足為E.若AB=10,CD=,則乙。CE

的余弦值為（)

E7D

3

4

【答案】3

【解答】解：,N8=10,

■■.OC=1AB=5,

2

■：ABLCD,且48為。。的直徑，C￡>=8,

AOEC=90°,CE=DE=1.CD=4,

cos乙OCE=^5.=A

OC5

故選：B.

7.如圖，在△48C中，乙C=90。垂直平分分別交。于點(diǎn)。，￡,連接CD,若tan/CDE衛(wèi)，

3。=8,則△48C的面積為（）

C.10?D.16

【答案】。

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作所，CD于點(diǎn)/，連接/E,

在RQC跖中，tan/CDE誥4，

:.設(shè)EF=3k,JillJDF=4k,

由勾股定理得：EF=7EF2+DF2=5k'

???DE垂直平分48,

；.乙BDE=90°,BE=AE,

在RtABDE中,EnNB=黑嗡，

在Rt^CE尸中，sin/BCD粵嗡，

CDCD

?.?點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，AACB=90°,

CD=BD=AD,

乙8=乙BCD,

sin乙8二sin乙BCD,

即：巫①

BECE

.型二

"CE

?.-B-E--X-^-E-=--5-+-3,

CE3

即：BCJ.,

CE3

又,：BC=8,

.?.CE=3,

'.BE=BC-CE=5,

；.AE=BE=5,

在RtZUCE中，CE=3,AE=5,

由勾股定理得：AC=VAE2-CE2=^

SAABC=|BA-AC=yX4X8=16.

故選：D.

8.某路燈示意圖如圖所示，它是軸對(duì)稱圖形.若4ZC3=130。，/C=BC=1.2%,CD與地面垂直且CD=

3小，則燈頂/到地面的高度為（）

A

A.13+1.2cos25°B.3+1.2sin25°

C.L2D.』L2

cos250sin250

【答案】8

【解答】解：連接/團(tuán)延長(zhǎng)。C交于點(diǎn)E,

由題意可知：AACE=^AACB=65°,

2

在RtZ\4CZ)中，

cos/LACE=cos65°=奧-,

AC

CE=1.2cos65°(m),

???點(diǎn)4到地面的高度為：CE+CD=(1.2cos65°+3)冽，

,.,cos65°=sin25°,

/.CE+CD=(1.2sin250+3)以，

9.某地區(qū)準(zhǔn)備修建一座高AB=6m的過(guò)街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角乙ACB的余弦值為生

5

則坡面/C的長(zhǎng)度為（）

A

BC

A.8B.9C.10D.12

【答案】C

【解答】解：由在RtA42C中，cos乙/。8=里_=9，

AC5

設(shè)3c=4x,AC=5x,

貝I]AB=3x,

貝!]sinaNCB=空_=士；

AC5

又'."AB=6m,

.,.AC=10m.

故選：C.

10.如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識(shí)牌CD,小明在斜坡上8處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌頂部C的仰角為45。，沿斜

坡走下來(lái)在地面A處測(cè)得標(biāo)識(shí)牌底部D的仰角為60°,已知斜坡AB的坡角為30°,=/￡=10米則

標(biāo)識(shí)牌CD的高度是（）米.

A.15-573B.20-10愿C.10-5\^3D.5聲-5

【答案】/

［解答］解：過(guò)點(diǎn)5作BM1EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作BNLCE于點(diǎn)N,如圖所示.

在RtZ\/8四中，/5=10米，乙BAM=30°,

AM=AB'cosABAM=55/^、米，BM=AB-smABAM=5米.

在中，/￡=I0米，乙DAE=60°,

：.DE=AE-tanADAE=10%米.

在RtZ\8CN中，BN=AE+AM=（10+5正）米，乙CBN=45°,

.-.CN=BN-tanACBN=（10+5我）米，

：.CD=CN+EN-DE=10+5a+5-10A/3=（15-5正）米.

故選：A.

二.填空題（共5小題）

11.cos30°=近.

—2—

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：cos30。=1.

2

故答案為：近.

2

12.如圖，△/8C中，4c=90°,BC=12,^5=13,貝l]siiL4=_l^_

13

【解答】解：sirL4=K=￡.

AB13

故答案為：12.

13

13.在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,△N8C的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.貝iJtan4N的值為

1

2

【解答】解：設(shè)邊上靠近點(diǎn)2的格點(diǎn)為。，連接C。，如圖:

網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1,

CD=V12+12=V2,AD=V22+22=2V2'

-BD,C￡＞為小正方形的對(duì)角線，

ABDC=90°,

...乙ADC=90°,

在中，CD=V^,AD=2V2,

八CD一圾1

-tanZA=^w^

故答案為：1.

2

14.圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂/C,支架BC

與立柱分別交于/,2兩點(diǎn)，燈臂/C與支架3c交于點(diǎn)C,已知乙M4c=60°,AACB=15°,A

C=40c加，則支架3C的長(zhǎng)為49cm.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：&-1.414,?-1,732,娓?

［答案】49.

【解答】解：如圖2,過(guò)C作于。,

則482=90。，

?--ACAD=60°,AC=40(cm),

CD=AC-sinACAD=40xsin60°=40x追=20我(cm),

2

AACB=15°,

ZCBD=ZCAD-AACB=60°-15°=45°,

??-BC=?CD=?X2OV3=20遙-20x2.449?49（cm）,

故答案為49.

圖2

15.某倉(cāng)儲(chǔ)中心有一斜坡N8,其坡比i=l：2,頂部N處的高/C為4米，B、C在同一水平面上.則斜坡

【答案】8.

【解答】解：?坡度為i=l：2,NC=4米,

.,.3C=4x2=8（米），

故答案為：8.

三.解答題（共5小題）

16.計(jì)算：3tan300+tan45°-2sin60°.

【答案】1.

【解答】解:3tan30°+tan45°-2sin60°

=3x近+1.2x2ZL

32

=V3+1-V3

=1.

17.為保證車輛行駛安全，現(xiàn)在公路旁設(shè)立一檢測(cè)點(diǎn)/觀測(cè)行駛的汽車是否超速.如圖，檢測(cè)點(diǎn)/到公路

的距離是24米，在公路上取兩點(diǎn)8、C,使得4/C3=30。，448c=120。.

(1)求8C的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))；

（2）已知該路段限速為45千米/小時(shí)，若測(cè)得某汽車從2至IC用時(shí)2秒,這輛汽車是否超速？說(shuō)明理由.（參

考數(shù)據(jù)：V3-1-7,V2-1.4）

【答案】（1）1673；

（2）超速.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)/作2c的垂線，垂足即為點(diǎn)D

由題意得，AD=24m,

在RQ/DC中，tan60°=——，

AD24

解得CD=24愿.

在RQ48。中，tan60°=—

BDBD

解得BD=86，

所以BC=CD-BD=2473-8V3=1673（米）;

（2）汽車從8到C用時(shí)2秒，所以速度為16巧+2=8炳=13.6（米/秒），

因?yàn)?3.6米/秒=48.96千米/小時(shí)＞45千米/小時(shí)，

（或因?yàn)?5千米/小時(shí)=12.5米/秒＜13.6米/秒）,

所以此汽車超速.

18.小琪要測(cè)量某建筑物的高度.如圖，小琪在點(diǎn)/處測(cè)得該建筑物的最高點(diǎn)C的仰角為31°,再往該建

筑物方向前進(jìn)30m至點(diǎn)B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角為45°.根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù),計(jì)算該建筑物的高度CD（結(jié)

果取整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin31°?0.52,cos31°?0.86,tan31°=0.60.

［答案］該建筑物的高度CD是45米.

【解答】解：設(shè)AD=xm,

?；乙CBD=45°,ACDB=9Q°,

BD=CD=xm,

在RtZ\/C〃中，ACAD=31°,

.,.tan31°=型=—5—,

ADx+30

解得：x-45m,

答：該建筑物的高度CD是45”

19.如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為12米的/處時(shí)，儀器顯示正前方一高樓頂部2的仰角是37°,底部C

的俯角是60°.氣球要豎直上升到與樓頂同一水平高度，應(yīng)至少再上升多少米？(結(jié)果精確到01米)

(參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°#0.80,tan37°?0.75,73^1.73)

［答案】氣球應(yīng)至少再上升5.2米.

【解答】解：過(guò)4作垂足為點(diǎn)HA^AEIEC,垂足為點(diǎn)E,

四邊形/ECD是矩形，

CD=AE,

由題意可知：CD=AE=12,ACAD=60°,乙BAD=37°,

在RtAADC中，

e-CD

-tan60°

在Rta/DB中,

BD=ADxtan37°=6.94x0.75=5.205~5.2(米).

答：氣球應(yīng)至少再上升5.2米.

田

田

?…

田

201.貴州省遵義市鳳凰樓，位于鳳凰山主峰，該樓為一幢七層六角型仿古景觀建筑，游客登上樓頂后，可

以將遵義城區(qū)風(fēng)景一覽無(wú)余，是當(dāng)?shù)刈R(shí)別性很高的地標(biāo)建筑.在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)鳳凰樓

的樓高進(jìn)行了如下測(cè)量.如圖，將測(cè)角儀放在樓前平壩C處測(cè)得該樓頂端3的仰角為60。，沿平壩向后

退50m(CD=50m)到D處有一棵樹(shù)，將測(cè)角儀放在距地面2m(DE=2m)的樹(shù)枝上的E處，測(cè)得B的

仰角為30°.請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算鳳凰樓的高度/A(結(jié)果精確到1加，參考數(shù)據(jù)：73^1.73)

【解答】解：設(shè)BF=xm,

在中，tan30°=巫，

EF

BF

:.EF="^^—=(m),

3

■：EF//AD,ED//AF,ABAD=90°,

四邊形EE4。是矩形，

.AD=EF=yf2x(m),ED=AF=2m,

...AB=(x+2)m,

在Rta/BC中，AC=——=-^-=愿（x+2）（m）,

tan60°v33

二百x=50+爽（x+2）.

3

解得x=25?+l,

-'-AB=x+2=255/3+I+2=255/3+3~46（m）,

答：鳳凰樓的高度約為46米.

—.選擇題（共10小題）

1.如圖，一把梯子N8斜靠在墻上，端點(diǎn)N離地面的高度NC長(zhǎng)為1根時(shí)，4Ase=45°.當(dāng)梯子底端點(diǎn)3

水平向左移動(dòng)到點(diǎn)片，端點(diǎn)N沿墻豎直向上移動(dòng)到點(diǎn)4,設(shè)4/5C=a,則N4的長(zhǎng)可以表示為（）

A.企sinaB.V2sina-1C.企cosd-lD.V2tanQ-l

【答案】3

【解答】解：由題意得：AACB=90°,AB=A'B',

在RtZiNCB中，AC=Im,乙ABC=45°,

■-AB=—=-^=V2（m）,

sin45爽

~2~

：.AB=A'B'=Mm,

在Rt^/'CB'中，乙A'B'C=a,

.".A'C=A'B'?sina=Vasina(m),

.'.AA'=A'C-AC=(Vasina-l)m,

故選：B.

2.如圖，RtZ\48C中，4c=90。，BC=9,AC=12,經(jīng)過(guò)點(diǎn)3且半徑為5的。。與交于。，與C8的

延長(zhǎng)線交于E,則線段的長(zhǎng)為()

A.6.4B.7C.7.2D.8

【答案】。

【解答】解：如圖所示，連接DO并延長(zhǎng)交。。于G連接跖，

-DO是直徑，

ADEF=90°,

在Rta/BC中，ZC=90°,BC=9,AC=12,

?■?^S=VAC2+BC2=15>

sinZ.ABC=-^-=A,

AB5

四邊形BDFE是圓內(nèi)接四邊形，

AF+ADBE=180°,

又???AABC+ADBE=180°,

乙ABC=AF,

/.sinZ-ABC=sinF,

在RtADEF中,sinF=^1=A,

DF5

:.DE=^DF=10x9=8,

55

故選：D.

A

3.如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)蕩然無(wú)存，但底部未受損.已知該金字塔的下底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為

140%的正方形，且每一個(gè)側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來(lái)高度為()

【答案】8

【解答】解：如圖:

??,該金字塔的下底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為140m的正方形,

.?.5C=-lx140=70(%)，

2

■：ACLBC,

：.AACB=90°,

在Rta/BC中，AABC=60°,

,?.^C=BC?tan60°=70炳(m),

則金字塔原來(lái)高度為70%加，

故選：B.

4.在綜合實(shí)踐課上，某班同學(xué)測(cè)量校園內(nèi)一棵樹(shù)的高度.如圖，測(cè)量?jī)x在4處測(cè)得樹(shù)頂。的仰角為45。，

在C處測(cè)得樹(shù)頂。的仰角為37。（點(diǎn)/、2、C在同一條水平主線上），已知測(cè)量?jī)x的高度/E=3=1.

65米，NC=28米，則樹(shù)AD的高度是（）【參考數(shù)據(jù)：sin37°=?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.

75]

A.12米B.12.65米C.13米D.13.65米

【答案】。

【解答】解：連接斯交3。于點(diǎn)M則瓦

設(shè)DM=x^z,

???在中，ADEM=45°,

：.EM=DM=x^z,

：.MF=（28-x）米，

在RtZ\DEA/中，jDFM=37°,

二tanNDFM^^’

Mr

即：tan37°75'

28-x

解得x=12,

即DM=12米.

：.BD=DM+BM=12+1.65=13.65（米）.

.,.樹(shù)AD的高度約為13.65米.

故選：D.

5.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)/、B、C、。都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，48、CD相交于點(diǎn)

0,貝I]cos乙NOD=()

A.巨B.近C.恒

223

【答案】。

【解答】解：如圖，連接8￡、/E.

貝lj：EB=42,AB=^/1Q.

■.CD,BE、AE都是正方形的對(duì)角線，

ACDE=乙BEF=AAEO=ABEO=45°.

CD//BE,乙AEB=AAEO+ABEO=90°.

AAOD=乙ABE,LABE是直角三角形.

cos乙ABE=巫==近

AByjio5

故選：D.

6.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用公式為：弧田面

積=工（弦x矢+矢2）,弧田（如圖）是由圓弧和其所對(duì)的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)N瓦

2

“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心。到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦”為8,“矢”為3,則cos4O

"t"I"t"I

【答案】3

【解答】解：如圖，作。于X.

由題意：AB=8,OA-OH=3,

■：OHLAB,

.-.AH=BH=4,

-：AH2+OH2=OA2,

.-.42=(OA+OH)(OA-OH),

:.OA+OH=^-,

3

OA=OH=1.,

66

cos乙OAB=@1=-^7-=

OA25_25

6

故選：B.

7.如圖，已知△/BC中，AC=90°,tag=工，D是/C上一點(diǎn)，乙CBD=乙A,貝hinaCDB的值為（

3

)

c3VmD.3

10

【答案】C

【解答］解：■:乙CBD=LA,CD=CD,