專題4.8四點共圓

區(qū)模型方弦

1.四點共圓

如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為''四點

共圓”.

2.四點共圓的性質(zhì)

(1)共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等.

(2)圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

(3)圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.

3.四點共圓的判定

⑴用“角”判定：

①一組對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

②一個外角等于它的內(nèi)對角的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

③如果兩個三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側(cè)的兩個角相等，則這兩個三

角形的四個頂點在同一個圓上.

⑵“等線段”判定：

四頂點到同一點的距離相等，若OA=OB=OC=OD,則A,B,C,D四點共圓.

⑶用“比例線段”判定：

若線段AB,CD(或其延長線)交于點P,且PA?PC=PB?PD,則A,B,C,D四點

共圓.

模型解接」

模型1:對角互補型：

若NA+NC=180°或NB+ND=180°

I

則A、B、C、D四點共圓

模型2：同側(cè)等角型

(1)若NA=NC,

則A、B、C,D四點共圓

(2)手拉手(雙子型)中的四點共圓

條件：△OCDSZ\OAB

結(jié)論：①△OACs/\OBD

②AC與BD交于點E,必有ZAEB=ZAOB;

③點E在^OAB的外接圓上，即0、A、B、E四點共圓.同理:ODCE也四點共圓.

模型3:直徑是圓中最長的弦

1.定圓中最長的弦是直徑；

2.經(jīng)過圓中定點最短的弦是垂直于過這點直徑的弦;

3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓。

E

園滿臺外依

【典例1】如圖，四邊形488是某高新區(qū)核心地塊用地示意圖，經(jīng)測量得如下

數(shù)據(jù)：48=30方〃，BC=40hn,Z5=120°,ZJ+ZC=180°,請計算這塊

規(guī)劃用地的最大面積.

【變式1-1】如圖，已知2C=5C=4,點D是48下方一點，且NC=NZ>=

90°,求四邊形NC5Z）面積的最大值.

【變式1-2】如圖，△4SC中，ZBAC=60°,40平分NA4C,NBDC=120°,

連接助，8并延長分別交2C,45于點E和點/，若DE=6,此空，則

CD5

加的長為（）

A.10B.12C.15D.16

【變式1-3】如圖，/、/臺。中，NZCS=90°,點刀為邊43的中點，AADC沿

直線。＞翻折至△48C所在平面內(nèi)得△/'DC,AA'與CD交于點￡.若

AC=V5,BC=2代，則點H到48的距離是（）

［變式1-4］如圖，正方形488和正方形DEFG邊長分別為。和A,正方形DEFG

繞點。旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①NG=C￡；（2）AG±CE-,③點G、D、H、E

四點共圓；④。77平分N4DE；?AC^+EG1=C&+AE1,其中正確的結(jié)論是

（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③⑤

【變式1-5】如圖，48=40=6,ZA=60°,點C在NZX45內(nèi)部且NC=

120°,則CB+CD的最大值()

A.473B.8C.10D.6V3

【變式1-6］如圖，在等腰三角形紙片月5c中，AB=AC,將該紙片翻折，使得

點C落在邊45的尸處，折痕為DE,D,E分別在邊3C,AC±,/AFD=N

DEF,若DE=4,BD=9,則。尸=_,4劣。的面積為.

［變式1-7］如圖，以C為公共頂點的RtA45c和Rt/\CED中，ZACB=ACDE

=90°,ZA=ZDCE=3O°,且點。在線段48上，則,若ZC

【變式1-8］如圖，ABLBC,AB=5,點、E、尸分別是線段43、射線上的動

點，以石尸為斜邊向上作等腰ZZ)=90°,連接40,則4D的最

小值為__.

【變式1-9】【問題情境】如圖①，在四邊形488中，/B=/D=90°,求

證：/、B、C、D四點共圓.

小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)NC,取力C的中點。，連結(jié)。3、OD,請你幫助

小吉補全余下的證明過程；

【問題解決】如圖②，在正方形4BCD中，48=2,點E是邊8的中點，

點尸是邊5c上的一個動點，連結(jié)AF,作于點尸.

(1)如圖②，當點尸恰好落在正方形488對角線5。上時，線段4P的長

度為—;

(2)如圖③，過點尸分別作于點〃，PN1BC千點、N,連結(jié)

則的最小值為.

圖①圖②圖③

【變式1-10］如圖，在RtZ\48C中,ZBAC=90°,ZABC=40°,將△UC

繞N點順時針旋轉(zhuǎn)得到△/瓦,使。點落在5c邊上.

(1)求的度數(shù)；

(2)求證：A,D,B,七四點共圓.

E

B

DC

專題4.8四點共圓

_互避型交甚____________________________________________

1.四點共圓

如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點

共圓”.

2.四點共圓的性質(zhì)

⑴共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等.

⑵圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

⑶圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.

3.四點共圓的判定

⑴用“角”判定：

①一組對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

②J個外角等于它的內(nèi)對角的四邊形的四個頂點在同一個圓上；

③如果兩個三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側(cè)的兩個角相等，則這兩個三

角形的四個頂點在同一個圓上.

⑵“等線段”判定：

四頂點到同一點的距離相等，若OA=OB=OC=OD,則A,B,C,D四點共圓.

⑶用“比例線段”判定：

若線段AB,CD（或其延長線）交于點P,且PA?PC=PB?PD,則A,B,C,D四點

共圓.

模型解禳:

模型1:對角互補型:

若NA+NC=180°或NB+ND=180°,

則A、B、C、D四點共圓

模型2：同側(cè)等角型

（1）若NA=NC,

則A、B、C、D四點共圓

（2）手拉手（雙子型）中的四點共圓

條件：AOCD^AOAB

結(jié)論：?AOAC^AOBD

②AC與BD交于點E,必有NAEB=NAOB；

③點E在46X8的外接圓上，即。、A、B、E四點共圓.同理：ODCE也四點共圓.

模型3:直徑是圓中最長的弦

1.定圓中最長的弦是直徑；

2.經(jīng)過圓中定點最短的弦是垂直于過這點直徑的弦;

3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓。

E

園滿臺外依

【典例1】如圖，四邊形488是某高新區(qū)核心地塊用地示意圖，經(jīng)測量得如下

數(shù)據(jù)：48=30方〃，BC=40hn,Z5=120°,ZJ+ZC=180°,請計算這塊

規(guī)劃用地的最大面積.

【解答】解：二?四邊形N5CZ）中，ZDAC+ZDCB=\80°,

.../、B、C、。四點共圓，

如圖，延長C8,過點N作于點E,連接NC,過點。作。尸，/C于

點尸.

VZJ5C=120°,

；.NADC=NABE=60°,

221

：.BE=^AB=\5kin,AE=^30-15=5V3^?,CE=40+15=55方〃，

=

?,-5^c=-j-AE'CByX15A/3X40=3oW^〃2.

則當△4DC的面積最大時，四邊形48CZ）的面積最大.

當40=8時，DF最大,此時四邊形Z8CZ）的面積最大.

在RtA4CE中，^4C=^552+（15V3）2=1oV37^//>AF=Lc=5國kin,

?.Z刀尸=緊胸=30°，

，DF=y[^AF=5A/111A7//,

，=9252

?-5AJWC=-1-AC-DF-X10V37X5VmV3A7?.

300V3+925V3=1225V^防后

，四邊形488的最大面積為12256方〃2.

【變式1-1]如圖，已知ZC=5C=4,點。是48下方一點，且NC=/O=

90°,求四邊形NC5Z）面積的最大值.

【解答】解：過點C作CEL4B,垂足為E,過點刀作。尸，45,垂足為尸,

VZC=ZZ>=90°，

二48是圓的直徑，即2,C,B,D四個點在以4B為直徑的圓上，

"：AC=BC=4,

?,-AB=-\/AC2+BC2=V42+42=4&>

???四邊形/CAD的面積=A4C3的面積+AAD5的面積，

二四邊形的面積=!4小。石+工45?刀尸

22

=248?(DE+DF),

2

當DE與DF的和等于圓的直徑時，四邊形ACBD的面積最大，

即當?！?0尸=4我時，

四邊形/C5。的面積=」X4&X4&=16,

2

，四邊形ACBD面積的最大值為16.

【變式1-2】如圖，AA3C中，NA4c=60°,4D平分NA4C,NBDC=120°,

連接&),CZ)并延長分別交NC,48于點石和點尸，若DE=6,更白，則

CD5

的長為()

A.10B.12C.15D.16

【答案】C

【解答】解：'：ZBAC=60°,ZBDC=120°,

：.A.E、D、尸四點共圓,

平分NA4C,

ADAE=NDAF,

：.DE=DF=6,

VZBDC=nQ°,

；./CDE=60°=ZFAC,

ZACD=ZACD,

:.△CDEsMAF,

：.AF：AC=DE；CD=6：10=3：5,

如圖，延長。尸到尸，使。尸二05,

?：4PBD=60°,

...△AD尸為等邊三角形，

，/尸=60°,

:.△AFCSBFB,

:.PF：PB=AF：AC=3：5,

設(shè)每一份為上

：.PB=PD=5k,PF=3k,

：.DF=2k=6,

:?k=3,

：.BD=5k=15.

故選：c.

【變式1-3］如圖，△N5C中，NNC5=90°,點刀為邊48的中點，AADC沿

直線CZ）翻折至△ASC所在平面內(nèi)得AN'DC,AA'與CD交于點、E.若

AC=V5,BC=2y，則點到48的距離是（）

【答案】B

【解答】解：在△?SC中，NACB=90°,點。為邊48的中點,

，CD=AD=BD=LB,

2

'：AC=V5,BC=2遙，

'AB=VAC2+BC2=V(V5)2+(2V5)2=5，

：.AD=BD=^-,

2

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AC=A'C=V5,40=/'D=$,

2

'?A'

：.AAA'B為直角三角形,

，/、B、A'.。四點共圓，

以48為直徑，。為圓心作圓，過點Z'作/'FLAB,設(shè)CD與44'交于點

VAzB=A'B，

CO=ZBAO,

'：ZJzOC=NBOA,

：.AA'OCs/\BOA,

.AyCQC0Az

AB=0A"OB

設(shè)OC=x,則OB=BC-OC=275-x,

?V5x0A’

，~=OA=27T7，

：.OA=45X,OA'=2-2^_X,

在RtAJOC中，00+4。=。月2,

?2+（病）2=（吊）2,

解得：*=近或XL（舍去），

22

OA'=2-正義近=3,OB=2^

52222

在RtZkOH8中，，5rOB2_OA，2=J（等）2嗚）2=3

設(shè)DF=a,則BF=BD-。尸=5-2，

2

221

在Rt2\HDF中,A'F=A'D-DF=（A）2_32；

在RtA4'6廠中，A'產(chǎn)=力’用-5產(chǎn)2=§2嗚一&）2,

2222

，（|）-a=3-（1-a）-

解得：a=-L,

10___________

?"/=1成）2-（吉）2=]

即點N'到25的距離是里?.

5

故選：B.

【變式1-4]如圖，正方形258和正方形QE廠G邊長分別為。和從正方形DEFG

繞點。旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：?AG=CE-,(2)AG±CE；③點G、D、H、E

四點共圓；④。H平分N4DE;⑤AC+EG2=CgAE?,其中正確的結(jié)論是

()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③⑤

【答案】D

【解答】解：在△4DG和△CDE中，

rAD=CD

<ZADC=ZCDE,

,DG=DE

:.△ADG9XCDE（SAS）,

：.AG=CE；

連接/c,

,/AADG^ACDE,

:.NDAG=/DCE,

VZDAG+ZCAG+ZACD=90°,

AZDCE+ZCAG+ZACD=90a,

即N/RC=180°-(ZDCE+ZCAG+ZACD)=90°,

：.AG±CE；

'：AG±CE,ZGDE=9G°,

...點G、D、H、E四點在以EG為半徑的圓上；

?.力和。不-定相等，

：.DH不一定平分NNOE；

連接NC,AE,EG,CG,

,：AH1+CH2=AC2,HG2+HE2=EG2

—EG2=AH2+CH1+HG2+HE2,

,：AH2+EH1=AE2,CH2+HG2=CG2,

.^AE^CG2=AH2+CH2+HG2+HE2,

即AC2+ECr=CG2+AE2,

①②③⑤結(jié)論正確；

故選：D.

【變式1-5］如圖，48=40=6,ZA=60°,點。在NZM5內(nèi)部且NC=

120°,則CB+CD的最大值（）

D

C.10D.6M

【答案】A

【解答】解：如圖，連接NC,BD,在NC上取點“使。M=Z>C,

?:/DAB=60°，ZDCB=120°,

ZDAB+ZDCB=1SQO,

：.A,B,C,D,四點共圓,

?；4D=AB,NZM8=60°,

...△4D5是等邊三角形，

:./ABD=/ACD=60°,

,:DM=DC,

.?.△"/C是等邊三角形，

ZADB=ZACD=60°,

ZADM=NBDC,

'：AD=BD,

:.△ADM9ABDC(.SAS'),

：.AM=BC,

：.AC=AM+MC=BC+CD,

四邊形ABCD的周長為AEnAB+CD+BC=AmAB+AC,

且40=48=6,

.,.當NC最大時，四邊形488的周長最大，則C3+8最大,

此時C點在右的中點處,

/.ZC4B=30°,

.?./C的最大值=48Xcos30°=4V3,

：.CB+CD最大值為幺。=4帆，

故選:A.

【變式1-6］如圖，在等腰三角形紙片力5C中，AB=AC,將該紙片翻折，使得

點C落在邊48的尸處，折痕為OE,D,E分別在邊5C,AC±,/AFD=/

DEF,若DE=4,BD=9,則DF=6,AlgC的面積為—則元

【解答】解：連接40,過點/作ZG_LffC于點G,如圖,

,/AAFD=/DEF,

：.ZCED=ZAFD,

：.A.F、D、石四點共圓，

:./DAF=/DEF,ZCAD=ZDFE,

:./AFD=NDAF,ZCAD=ZC,

：.DF=AD=CD,

,:AB=AC,

，ZB=ZC,

/CED=/DEF=ZDAF,

ABADsACED,

?.?A-D--BDf

DECD

\"DE=4,BD=9,DF=AD=CD,

???D-F=--9-,

4DF

：.DF=AD=CD=6,

：.BC=BD+CD=9+6=15,

'：AG±BC,AB=AC,

：.BG=CG=jbC~^

：.DG=CG-CD=li_6=2，

22

在RtA^DG中，由勾股定理得AG=7AD2-DG2=^62-(1-)2=百醇，

01……1、，3任_45行

-521甌學(xué)*一彳乂15乂一———?

故答案為：6,查運.

4

【變式1-7］如圖，以C為公共頂點的RtA43c和中，/ACB=/CDE

=90°,ZA=ZDCE=30°,且點少在線段48上，則N4g￡=30°

若/C=10,CD=9,則AE=空運.

一3一

【解答】解：VZACB=ZCDE=90°,ZA=ZDCE=30°,

AZDBC=ZDEC=6Q°,

:.B、。、D、E四點共圓,

：.4DBE=4DCE=30°,

ZABE=30°,

設(shè)8C=x,則Z5=2x,

在RtAJ5C中，

由勾股定理得幺￥=/C+BC2,

'：AC=10,

：.⑵）2=102+/,

解得：x=」。?

3

3

設(shè)DE=a,則CE=2a,

在RtZ\CEO中，

由勾股定理得CE2=DE2+CD2,

'：CD^9,

：.（2a）2=a2+92,

解得：a=3A/3，

:?DE=3V^，CE=IJA/3>

VZABC=60°,ZABE=30°,

ZCBE=ZABC+ZABE=90°,

在RtzXCBE中，

由勾股定理得BE=VE貳萩,（蓊）2-（喈■）2=室.

【變式1-8］如圖，AB±BC,AB=5,點、E、尸分別是線段48、射線3c上的動

點，以所為斜邊向上作等腰RtZ\Z>￡/，ZD=90°,連接Z。，則4D的最

小值為旦（2.

—2—

【答案】皿2.

2

【解答】解：連接5。并延長，如圖,

AZABC=9Q°,ZEDF=90°,

：.NABC+/EDF=180°,

:.B,E,D,E四點共圓，

???△DEF為等腰直角三角形，

:./DEF=NDFE=45°,

:./DBF=NDEF=45°,

:.NDBF=NDBE=45°,

點D的軌跡為N48C的平分線上，

:垂線段最短，

二當ADLBD時，AD取最小值，

：.AD的最小值為?5=顯2,

22

故答案為：皿2.

2

【變式1-9】【問題情境】如圖①，在四邊形48co中，ZB=ZD=90°,求

證：A,B、C、D四點共圓.

小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)ZC,取ZC的中點。，連結(jié)。5、0D,請你幫助

小吉補全余下的證明過程；

【問題解決】如圖②，在正方形45CQ中，48=2,點E是邊CD的中點，

點廠是邊8c上的一個動點，連結(jié)NE,AF,作EPL4F于點P.

(1)如圖②，當點尸恰好落在正方形48CO對角線5。上時，線段4P的長

度為—垣_；

—2—

(2)如圖③，過點尸分別作尸48于點PNLBC千點、N,連結(jié)7W,

則“N的最小值為義亙正.

—22―

圖①圖②圖③

【答案】【問題情境】見解析；

【問題解決】(1)運；

_2

(2)里.

22

【解答】【問題情境】證明：如圖，連結(jié)ZC,取NC的中點。，連結(jié)。8、

0D,

VZADC=ZABC=90°,。為ZC的中點，

0A=OB=OC=OD=1AC,

2

.,.A,B、C、D四點共圓；

【問題解決】解：(1)?.?四邊形48co為正方形，點E是邊的中點，AB

=2,

：.AD=2,DE=1,

NE=VAD2+DE2=V5，

由【問題情境】結(jié)論可知，4、D、E、尸四點共圓，如圖，

B

NPAE=4PDE,

,：BD為正方形48co的對角線，

/.ZPDE=ZPAE=45°,

'：EP±AF,

???△夫/E為等腰直角三角形，

設(shè)AP長為a,則PE長為a,

：.AP2+P^=AE^,

即a2+42=(%)2,

解得：勾=垣，a*二?(不合題意，舍去)，

222

線段幺尸的長度為運；

2

故答案為：運；

2

(2)由【問題情境】結(jié)論可知，4、D、E、尸四點共圓，

如圖，過點。作。于點G,作于點連接。8交O。于點

APMB=ZMBN=ZPNB=90°,

，四邊形"