浙東北聯(lián)盟（ZDB）2022－2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：元濟(jì)高級中學(xué)命題老師：魏侹路審卷老師：李慧華總分150分考試時(shí)間120分鐘一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知平行四邊形中，是的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)向量基本定理分解向量即可.【詳解】.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】先將整理為的形式，再由純虛數(shù)的概念求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以.故選：B.3.在中，角所對的邊分別是，若，則是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，即可判斷三角形形狀.【詳解】在中，由正弦定理及，得，而，因此，所以是等腰三角形.故選：A4.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，進(jìn)而利用向量夾角公式可求與的夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以與的夾角為.故選：D.5.已知軸截面是正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的表面積與球的表面積之比為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，由已知可得，可求得圓錐的表面積與球的表面積之比.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面是正三角形，所以圓錐的高為，母線長為，由題意可得，所以，所以圓錐的表面積為，球的表面積為，所以.故選：A.6.任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式．其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的平面向量所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記為．那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)輻角的主值的定義計(jì)算即可.【詳解】對應(yīng)的平面向量，設(shè)輻角為，，所以..故選：B.7.設(shè)，，，是同一個(gè)半徑為的球的球面上四點(diǎn)，是斜邊為的直角三角形，則三棱錐體積的最大值為（）A. B.64 C. D.128【答案】C【解析】【分析】依題意可得的外接圓的半徑，即可求出球心到平面的距離，求出面積的最大值，及點(diǎn)到平面的距離的最大值，最后根據(jù)錐體體積公式計(jì)算可得.【詳解】是斜邊為的直角三角形，的外接圓的半徑，又球的半徑，球心到平面的距離，又面積的最大值為，點(diǎn)到平面的距離的最大值為，三棱錐體積最大值為．故選：C．8.某人的正北方有一座高塔，此時(shí)測得塔頂?shù)难鼋菫椋S后此人沿北偏東的方向前進(jìn)20米，再測得塔頂?shù)难鼋菫椋敲矗巳嗽谛羞M(jìn)過程中距離塔頂?shù)淖罱嚯x為（）（人的身高忽略不計(jì)）A. B. C.20 D.【答案】D【解析】【分析】作出示意圖，設(shè)塔的高為，由題意得，利用余弦定理可求得，進(jìn)而可求到的距離.【詳解】設(shè)塔的高為，由題意得，則，在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以到的距離為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部為 B.C.在復(fù)平面內(nèi)與對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義，復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式、復(fù)數(shù)在復(fù)平面的坐標(biāo)、共軛復(fù)數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部為1，所以本選項(xiàng)說法不正確；B：因?yàn)?，所以，所以本選項(xiàng)說法正確；C：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)與對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以本選項(xiàng)說法正確；D：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)說法正確，故選：BCD10.在中，角所對的邊分別是，已知，且該三角形僅有唯一解，則可能的取值有（）A.1 B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理三角形有唯一解，得到或，求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.【詳解】由于，有唯一解，則或，即，所以可能的取值為1，，AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD11.已知點(diǎn)為邊長為2的正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，則可能的取值是（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】ABC【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則當(dāng)在上時(shí)，，則；當(dāng)在上時(shí)，，則；同理可求在上時(shí)，的范圍，綜上可得.故選：ABC.12.如圖，已知三棱錐滿足在底面的投影為的內(nèi)心，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則下列關(guān)系一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】過分別向引垂線，設(shè)垂足分別為，過作，過作，則三點(diǎn)共線，通過線線角、線面角以及面面角的定義得出，，，通過余弦定理比較它們的大小即可得解.【詳解】過分別向引垂線，設(shè)垂足分別為，由題意在底面的投影為的內(nèi)心，所以，其中是的內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?，所以四邊形為正方形，且邊長為，過作，過作，則三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)槠矫?，且點(diǎn)在平面內(nèi)的投影是，則，又因?yàn)槠矫?，所以，而平面，從而平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，平面，平面，平面平面，所以，設(shè)，，，注意到，，則，，，由余弦定理有，，從而，且，，而，所以，，，故BCD正確，A錯(cuò)誤.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用線線角、線面角以及面面角的定義找到對應(yīng)的平面角，結(jié)合解三角形知識(shí)即可順利得解.三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.一個(gè)菱形的邊長為4，一內(nèi)角為，若用斜二測畫法畫出其直觀圖，則該直觀圖的面積為______．【答案】【解析】【分析】計(jì)算出菱形的面積，根據(jù)直觀圖面積與原圖形面積之比為可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榱庑蔚拿娣e為，其直觀圖的面積為.故答案為：.14.設(shè)復(fù)數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，兩式相減得，所以.故答案為：.15.在凸四邊形中，已知，則的長為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出草圖，利用正弦定理、余弦定理解三角形即可.【詳解】如圖：凸四邊形在中，，，所以為等邊三角形，所以；在中，，，，由正弦定理：；所以.在中，，，，由余弦定理：，所以.故答案為：16.已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可得四點(diǎn)共圓，即可共線得，結(jié)合圖形即可求解最值.【詳解】令，，，為單位向量．，則，由于與的夾角為，所以，，故不妨取，，四點(diǎn)共圓情況，,外接圓的直徑為，在優(yōu)弧上，，表示起點(diǎn)為，終點(diǎn)在直線上的向量，由于，到的距離為，設(shè)到的最大距離為由于為的最小值，則當(dāng)時(shí)最小，故的最大值為，此時(shí)過圓心且故答案為：．四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分）17.已知向量．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得，求解即可；（2）由已知可得，求解即可.【小問1詳解】，故由，可得，解得．【小問2詳解】由，得，解得．18.如圖，為正方體的棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線可得，即可由線面平行的判定求證，（2）由線線平行可得即為直線與所成角，即可由余弦定理求解.【小問1詳解】連接與交于點(diǎn)，連接．顯然為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．【小?詳解】由（1）可知即為直線與所成角，在中,,由余弦定理得．19.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成解答．在中，角所對的邊分別是，且______．（1）求角的大??；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）應(yīng)用正弦定理邊角互化或余弦定理計(jì)算求值；（2）先根據(jù)面積公式得出，再結(jié)合余弦定理結(jié)合基本不等式得出最小值.【小問1詳解】選①；選②；選③．【小問2詳解】由可得．根據(jù)余弦定理有，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為2．20.如圖，在四棱錐中，，．（1）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；（2）若二面角的平面角為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）只需分別證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)題設(shè)條件得，進(jìn)一步平面，三角形是等邊三角形，其中是中點(diǎn)，分別算出的長度即可求出三角形的面積，求出，如何利用等面積法即可求解.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接．因?yàn)?，所以，即，，因?yàn)?，所以四邊形是矩形，所以，又因?yàn)椋矫?，，故平面．【小?詳解】因?yàn)?，平面，平面，平面平面，故即為二面角的平面角，所以．過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫妫驗(yàn)?，，所以三角形是等邊三角形，從而，故．因?yàn)?，又，則等腰三角形的面積為：，記到平面的距離為，由可求得．21.豐義村位于海鹽縣通元鎮(zhèn)，在村民的共同努力下近年來先后獲得“浙江省新時(shí)代美麗鄉(xiāng)村精品村”和“全國鄉(xiāng)村治理示范村”稱號，完成了從傳統(tǒng)自然村落到網(wǎng)紅景區(qū)村的華麗變身．目前村里有一塊三角形區(qū)域待開發(fā)使用，其中（單位：百米）．現(xiàn)規(guī)劃于該區(qū)域中建造一座觀景亭，始終滿足．（1）求區(qū)域的最大面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）若打算從觀景亭出發(fā)鋪設(shè)三條垂直到達(dá)區(qū)域邊界的景觀道，其中到達(dá)邊界的景觀道造價(jià)為1百元/米，到達(dá)邊界的景觀道造價(jià)為百元/米．目前村委會(huì)籌集到2萬元項(xiàng)目資金，問：這部分資金能否保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工？【答案】（1）（百米）（2）（3）這部分資金可以保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工【解析】【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)可得即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值，（2）由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)三角恒等變換得，即可由三角函數(shù)的最值求解.【小問1詳解】記，則（百米）．當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，故最大值為【小問2詳解】此時(shí)，在中，．小問3詳解】易得，記造價(jià)為萬元，則，（時(shí)取到最大值）故這部分資金可以保障無論觀景亭選址何處，工程均能順利完工．22.如圖，在三棱臺(tái)中，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，求三棱臺(tái)的體積．（注：，其中是高，分別是上下底面面積．）【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定理可得，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，由線面垂直的判定即可求證，（2）根據(jù)可知平面平面，作，連接，則即為直線與平面所成角．即可利用三角形的邊角關(guān)系求解長度得解.（3）當(dāng)平面時(shí)，到平面距離最大，進(jìn)而根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求解長度，即可由體積公式求解.【