第06講有理數(shù)的加法與減法（8種題型）1．理解有理數(shù)加減法的意義；2．初步掌握有理數(shù)加法與減法法則；3．能準確地進行有理數(shù)的加法與減法運算，并能運用其解決簡單的實際問題．一．有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）（2）相關運算律交換律：a+b＝b+a；結合律（a+b）+c＝a+（b+c）．二．有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；②將有理數(shù)轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數(shù)的性質符號（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應依法則進行計算．三．有理數(shù)的加減混合運算（1）有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉化成加法，并寫成省略括號的和的形式．②轉化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化．四、有理數(shù)加減法混合運算技巧（1）把算式中的減法轉化為加法；（2）去括號時注意符號，能省掉的“”號要省掉；（3）多觀察，巧妙利用運算律簡便計算．題型一：有理數(shù)的加法法則例1.計算：(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋4eq\f(5,6))＋(－3eq\f(1,2))；(3)(－5.25)＋5eq\f(1,4)；(4)(－89)＋0.【變式1】計算：(1)(+20)+(+12)；(2)；(3)(+2)+(11)；(4)(3.4)+(+4.3)；(5)(2.9)+(+2.9)；(6)(5)+0．【變式2】設表示不超過的最大整數(shù)，計算：______．【變式3】計算：(1)(2)．【變式4】探究規(guī)律，完成相關題目：對非零數(shù)定義一種新的運算，叫※（宏）運算．下列是一些按照※（宏）運算的運算法則進行運算的算式；；；；．(1)我們在研究有理數(shù)的加法運算時，既要考慮符號，又要考慮絕對值．請你類比有理數(shù)加法的運算法則，歸納※（宏）運算的運算法則；同號兩數(shù)進行※（宏）運算時，異號兩數(shù)進行※（宏）運算時．(2)計算：．（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致）(3)我們知道加法有交換律和結合律，請你判斷交換律和結合律在※（宏）運算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個例子即可）題型二：有理數(shù)加法在實際生活中的應用例2.股民默克上星期五以收盤價67元買進某公司股票1000股，下表為本周內每日該股票的漲跌情況：星期一二三四五每股漲跌/元44.5－1－2.5－6(1)星期三收盤時，每股多少元？(2)本周內每股最高價多少元？最低價多少元？【變式】2022年11月20日18：00（北京時間），卡塔爾世界杯開幕式在豪爾市的海灣球場舉行．小明為方便各國球迷準時觀看比賽，列出了國外幾個城市與北京的時差（帶正號的數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)）．城市紐約東京豪爾市時差/時假設現(xiàn)在北京時間是2020年11月22日上午9：00．(1)現(xiàn)在紐約的時間是幾點？東京時間是幾點？(2)如果小明在北京坐11月19日上午10：00的航班飛行約9小時到達豪爾市，那么達到豪爾市的時間是幾點？題型三：與有理數(shù)性質有關的計算問題例3.已知|a|＝5，b的相反數(shù)為4，則a＋b＝________．【變式】若，且，那么的值是（）A．5或1 B．1或 C．5或 D．或題型四：加法運算律及其應用例4.計算：(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))．【變式1】絕對值小于14的所有整數(shù)的和為_________．【變式2】某公路養(yǎng)護小組乘車沿南北方向巡視維修，某天早晨他們從A地出發(fā)，晚上最后到達B地，約定向北為正方向，當天的行駛記錄如下．(單位：km)＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.(1)B地在A地何方，相距多少千米？(2)若汽車行駛1km耗油aL，求該天耗油多少L?【變式3】）閱讀下面文字：對于()＋()＋17＋()，可以按如下方法計算：原式＝[(5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(3)+()]＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]＝0＋()＝－1.上面這種方法叫拆項法．仿照上面的方法，請你計算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.題型五：有理數(shù)減法法則的直接運用例5、計算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．【變式】(1)2－(－3)；(2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)；(3)．題型六：加減混合運算統(tǒng)一成加法運算例6.將下列式子寫成省略括號和加號的形式，并用兩種讀法將它讀出來．(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)題型七：有理數(shù)的加減混合運算例7.計算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))．【變式1】計算，能用簡便方法的用簡便方法計算.（1）26－18+5－16；（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）(3)(4)（5）（6）【變式2】計算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17；（3）（4）（5）；（6）題型八：利用有理數(shù)加減運算解決實際問題例9.下表是某水位站記錄的潮汛期某河流一周內的水位變化情況(“＋”號表示水位比前一天上升，“－”號表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好達到警戒水位．單位：米).星期一二三四五六日水位變化0.20.81－0.350.130.28－0.36－0.01(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它們位于警戒水位之上還是之下，與警戒水位的距離分別是多少？(2)與上周末相比，本周末河流的水位是上升還是下降了？【變式1】小蟲從點O出發(fā)在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負，爬行的各段路程依次為：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（單位：cm）小蟲最后是否回到出發(fā)地O？為什么？小蟲離開O點最遠時是多少？在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？【變式2】某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進為正，后退為負，某天自A地出發(fā)到收工時所走路線（單位：千米）為：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.（1）問收工時距A地多遠？（2）若每千米路程耗油0.2升，問從A地出發(fā)到收工時共耗油多少升？一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?如皋市期中）如圖是某市去年十二月份某一天的天氣預報，該天的溫差是（）A．9℃ B．7℃ C．5℃ D．2℃2．（2022秋?東?？h月考）若＝a+b﹣c﹣d，則的值是（）A．2 B．﹣4 C．10 D．﹣103．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）計算﹣1﹣3的結果是（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．24．（2022秋?東臺市校級月考）規(guī)定：把四個有理數(shù)1，2，3，﹣5分成兩組，每組兩個，假設1，3分為一組，2，﹣5分為另一組，則A＝|1+3|+|2﹣5|．在數(shù)軸上原點右側從左到右取兩個有理數(shù)m、n，再取這兩個數(shù)的相反數(shù)，對于這樣的四個數(shù)，其所有A的和為（）A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n5．（2022秋?如皋市校級月考）將6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的減法改寫成省略加號的和的形式是（）A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2二．填空題（共6小題）6．（2023?泗洪縣一模）計算2+（﹣3）＝．7．（2022秋?鹽城期中）某地一天早晨的氣溫是﹣2℃，中午溫度上升了9℃，則中午的氣溫是℃．8．（2022秋?海安市期末）已知x，a，b為互不相等的三個有理數(shù)，且a＞b，若式子|x﹣a|+|x﹣b|的最小值為2，則2022+a﹣b的值為．9．（2022秋?南通期末）若兩個有理數(shù)m，n滿足m+n＝66，則稱m，n互為順利數(shù)．已知7x的順利數(shù)是﹣18，則x的值是．10．（2022秋?江陰市期末）比﹣3大而比2小的所有整數(shù)的和為．11．（2017秋?儀征市校級月考）23﹣|﹣6|﹣（+23）＝．三．解答題（共10小題）12．（2022秋?鹽都區(qū)期中）計算：（1）（﹣7）+（﹣5）；（2）﹣2.8+3.2；（3）．13．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）在橫線上填寫每一步的運算依據(jù)：22+（﹣4）+（﹣2）+4；解：原式＝22+4+（﹣4）+（﹣2）．＝（22+4）+[（﹣4）+（﹣2）]．＝26+（﹣6）．＝2014．（2022秋?江陰市校級月考）已知：|a|＝4，|b|＝7，若a＞b，求a﹣b的值．15．（2022秋?宿豫區(qū)期中）計算：﹣24+14﹣15﹣（﹣23）．16．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖是三個三角形，每個三角形的頂點處都有一個“〇”，在每個“〇”中填入一個數(shù)，滿足這三個三角形的3個頂點處的“〇”中的數(shù)的和都等于2．（1）將﹣8、﹣7、﹣6、﹣4、1、3、5、9、13這9個數(shù)填入恰當?shù)奈恢?，使得這三個三角形的3個頂點處的“〇”中的數(shù)的和都等于2；（2）如果將（1）中的這9個數(shù)改為﹣13、﹣9、﹣5、﹣3、﹣1、4、6、7、8，還能滿足要求嗎？如果滿足，請?zhí)钤凇癌枴敝?；如果不滿足，請說明理由．17．（2022秋?興化市校級月考）已知|a|＝3，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．18．（2022秋?海安市校級月考）（1）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a﹣b+c的值．（2）已知有理數(shù)a，b，c滿足|a﹣1|+|b﹣3|+|3c﹣1|＝0，求a+b﹣c的值．19．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）應我國邀請，俄羅斯特技飛行隊在黃山湖風景區(qū)進行特技表演．其中一架飛機起飛后的高度變化如下表：高度變化上升5.5km下降3.2km上升1km下降1.5km下降0.8km記作+5.5km﹣3.2km+1km﹣1.5km﹣0.8km（1）此時這架飛機比起飛點高了多少千米？（2）若飛機平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么這架飛機在這5個特技動作表演過程中，一共消耗多少升燃油？（3）若某架飛機從地面起飛后先上升5km，然后再做兩個表演動作，這兩個動作產(chǎn)生的高度變化分別是0.6km和1.8km，請你求出這兩個表演動作結束后，飛機離地面的高度．20．（2022秋?江陰市校級月考）數(shù)學實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|；利用數(shù)形結合思想回答下列問題：①數(shù)軸上表示1和﹣5的兩點之間的距離是．②數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為．數(shù)軸上表示x和7的兩點之間的距離表示為．③若x表示一個有理數(shù)，則|x﹣2|+|x+4|的最小值＝．④若x表示一個有理數(shù)，且|x+1|+|x﹣4|＝5，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是．⑤若x表示一個有理數(shù)，且|x﹣3|+|x+1|＝8，則滿足條件的x的所有值是．21．（2022秋?江都區(qū)校級月考）觀察下列兩個等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1．給出定義如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的對有理數(shù)a，b為“共生有理數(shù)對”，記為（a，b）．如：數(shù)對（2，），（5，）都有“共生有理數(shù)對”．（1）數(shù)對（﹣2，1），（3，）中是“共生有理數(shù)對”的是；（2）若（4，b）是“共生有理數(shù)對”，則b＝．（3）小丁說：“若（a，b）是‘共生有理數(shù)對’，則（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理數(shù)對’．”小丁說的正確嗎？如果正確，請驗證他的說法；如果不正確，請舉出反例．一、單選題1．（2022秋·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）計算所得的正確結果是（

）A． B． C．1 D．32．（2022秋·江蘇南通·七年級?？茧A段練習）計算的結果是（

）A．2 B． C．8 D．3．（2022秋·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）把寫成省略加號和括號的形式后的式子（

）A． B．C． D．4．（2022秋·江蘇徐州·七年級統(tǒng)考階段練習）下列說法正確的有（

）個①在數(shù)軸上0和之間沒有負數(shù)

②有理數(shù)分為正有理數(shù)和負有理數(shù)①絕對值是它本身的數(shù)只有0

④兩數(shù)之和一定大于每個加數(shù)A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．（2022秋·江蘇常州·七年級?？茧A段練習）下列說法中正確的是（

）A．兩數(shù)相加，其和大于任何一個加數(shù)B．異號兩數(shù)相加，其和小于任何一個加數(shù)C．絕對值相等的異號兩數(shù)相加，其和一定為零D．兩數(shù)相加，取較小一個加數(shù)的符號作為結果的符號6．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）2022世界杯足球比賽在卡塔爾舉行，本次世界杯揭幕戰(zhàn)于當?shù)貢r間11月20日19時進行，由東道主卡塔爾對陣厄瓜多爾．已知中國北京是在東八區(qū)時區(qū)，卡塔爾是東三區(qū)時區(qū)，卡搭爾當?shù)貢r間比北京時間晚5小時，則揭幕戰(zhàn)是北京時間（

）A．11月20日14時 B．11月20日19時 C．11月21日19時 D．11月21日0時7．（2022秋·江蘇常州·七年級校考階段練習）若兩數(shù)的和為負數(shù)，則這兩個數(shù)一定（

）A．兩數(shù)同正 B．兩數(shù)同負 C．兩數(shù)一正一負 D．兩數(shù)中一個為負數(shù)二、填空題8．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）設，，且，用“”號把、、、連接起來為_______．9．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）如果正午（中午12∶00）記作0小時，午后2點鐘記作+2小時，那么上午8點鐘可表示為_______小時．10．（2021秋·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）比小5的數(shù)是__________．11．（2022秋·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）濱海某冬日的最高氣溫是，最低氣溫是，則該日的日溫差是___________．12．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）某超市出售的一種品牌大米袋上，標有質量為的字樣，則從該超市里任意拿出這種品牌的大米兩袋，它們的質量最多相差______．13．（2022秋·江蘇南通·七年級校考階段練習）在數(shù)軸上與表示的點的距離等于5的點所表示的數(shù)是_____.14．（2022秋·江蘇徐州·七年級統(tǒng)考階段練習）一跳蚤在一條數(shù)軸上從原點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，……，依此規(guī)律跳下去，當它跳第次落下時，落到數(shù)軸上的點表示的數(shù)為__________．15．（2021秋·江蘇淮安·七年級?？茧A段練習）某次數(shù)學考試成績以80分為標準，高于80分記為“”，低于80分記為“”，例如：78分記為“”，81分記為“”，將某小組五名同學的成績簡記為，，，，0，則這五名同學的平均成績應為__．三、解答題16．（2022秋·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學校聯(lián)考階段練習）計算(1)(2)(3)