PAGE9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.位置關(guān)系方法幾何法代數(shù)法相交dr

Δ0

相切dr

Δ0

相離dr

Δ0

2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>位置關(guān)系方法幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的狀況外離

外切

一組實(shí)數(shù)解相交

兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)

內(nèi)含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

1.當(dāng)兩圓相交時(shí),兩圓方程(x2,y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.2.過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.3.過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.4.過(guò)圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在的直線方程為x0x+y0y=r2.5.直線與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)直線與圓相交時(shí),弦心距d,半徑r,弦長(zhǎng)的一半12l滿意關(guān)系式r2=d2+1(2)當(dāng)直線與圓相交時(shí),弦長(zhǎng)公式|AB|=1+k2|xA-xB|=6.同心圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù).7.過(guò)直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).8.過(guò)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F>0)和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F>0)交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(該圓系不含圓C2,解題時(shí)考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.()(2)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.()(3)“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的必要不充分條件.()(4)過(guò)圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2.()(5)聯(lián)立兩相交圓的方程,并消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.()2.(2024山東泰安三模,4)已知拋物線C:x2=4y的準(zhǔn)線恰好與圓M:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)相切,則r=()A.3 B.4C.5 D.63.直線l:x+ay=2被圓x2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為23,則直線l的斜率為()A.3 B.-3C.33 D.±4.(2024全國(guó)2,理5,文8)若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為()A.55 B.C.355 D5.(2024天津,12)已知直線x-3y+8=0和圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=6,則r的值為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用【例1】(1)(2024全國(guó)1,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作☉M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí),直線AB的方程為()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0(2)(2024全國(guó)3,理10)若直線l與曲線y=x和圓x2+y2=15都相切,則l的方程為(A.y=2x+1 B.y=2x+1C.y=12x+1D.y=12x+(3)(2024浙江,15)已知直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y2=1均相切,則k=;b=.

思索在直線與圓的位置關(guān)系中,求參數(shù)的取值范圍的常用方法有哪些?解題心得1.推斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí),若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá),則用幾何法;若方程中含有參數(shù)或圓心到直線的距離的表達(dá)較煩瑣,則用代數(shù)法.2.已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí),可依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想利用直線與圓的位置關(guān)系的推斷條件建立不等式(組)解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(-2,0),當(dāng)直線l與圓x2+y2=2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),其斜率k的取值范圍為()A.(-22,22) B.-2C.(-2,2D.-(2)(2024山東菏澤一模,15)已知直線Ax+By+C=0(其中A2+B2=C2,C≠0)與圓x2+y2=6交于點(diǎn)M,N,O是坐標(biāo)原點(diǎn),則|MN|=,OM·MN=考點(diǎn)圓的切線與弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】已知點(diǎn)M(3,1),直線ax-y+4=0及圓(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程;(2)若直線ax-y+4=0與圓相切,求a的值;(3)若直線ax-y+4=0與圓相交于A,B兩點(diǎn),且弦AB的長(zhǎng)為23,求a的值.思索如何運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)求解圓的切線與弦長(zhǎng)問(wèn)題?解題心得1.求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線問(wèn)題,應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,然后求切線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn)),則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條,此時(shí)應(yīng)留意斜率不存在的切線.2.求直線被圓所截得的弦長(zhǎng),通常考慮由弦心距、弦長(zhǎng)的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形,利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2024全國(guó)1,文6)已知圓x2+y2-6x=0,過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若弦AB的長(zhǎng)的最小值為2,則k的值為.

考點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用【例3】(1)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是22,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離(2)(2024山東日照一模,4)已知圓C:x2+y2=1,直線l:ax-y+4=0.若直線l上存在點(diǎn)M,以M為圓心且半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn),則a的取值范圍是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞) B.[-3,3]C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.[-3,(3)若圓C:x2+y2=5-m與圓E:(x-3)2+(y-4)2=16有三條公切線,則m的值為()A.2 B.3 C.4 D.6思索在兩圓的位置關(guān)系中,圓心距與兩圓半徑的關(guān)系如何?解題心得1.推斷兩圓的位置關(guān)系,通常用幾何法,從圓心距d與兩圓半徑的和、差的關(guān)系入手.假如用代數(shù)法,那么從方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)推斷,但有時(shí)不能得到精確結(jié)論.2.兩圓位置關(guān)系中的含參問(wèn)題有時(shí)須要將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,要留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)設(shè)P,Q分別為圓O1:x2+(y-6)2=2和圓O2:x2+y2-4x=0上的動(dòng)點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的距離的最大值是()A.210+2+2 B.10+2+2C.210+1+2 D.10+1+2(2)(2024江蘇鎮(zhèn)江三模,10)已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,則ab的最大值為.

(3)已知圓C與圓D:x2+y2+10x+10y=0相切于原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)A(0,-6),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

考點(diǎn)直線與圓的綜合問(wèn)題【例4】已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo).(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線l:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.思索如何求解直線與圓的綜合問(wèn)題?解題心得1.利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問(wèn)題代數(shù)化),把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,通過(guò)代數(shù)的計(jì)算,使問(wèn)題得到解決.2.直線與圓和平面幾何聯(lián)系非常緊密,可充分考慮平面幾何學(xué)問(wèn)的運(yùn)用,如在直線與圓相交的有關(guān)線段長(zhǎng)度計(jì)算中,要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長(zhǎng)放到一起綜合考慮.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2024浙江杭州其次中學(xué)高三期中)已知圓心在x軸上的圓C與直線l:x+22y-10=0相切于點(diǎn)E(m,22),圓P:x2+(a+2)x+y2-ay+a+1=0.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知a>1,圓P與x軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)).過(guò)點(diǎn)M任作一條傾斜角不為0的直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn).問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)a,使得∠ANM=∠BNM?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.1.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,考慮到圓的幾何性質(zhì),一般用幾何法解決.2.直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)問(wèn)題,要聯(lián)立直線與圓的方程,或聯(lián)立圓與圓的方程來(lái)解決.3.圓的切線問(wèn)題:(1)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程的求法是先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率,再依據(jù)垂直關(guān)系求得切線斜率,最終通過(guò)直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程;(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程的求法,一般是先設(shè)出所求切線方程的點(diǎn)斜式,再利用圓心到切線的距離等于半徑列出等式求出所含的參數(shù)即可.若只求出一條切線方程,則斜率不存在的直線也是切線.4.圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題首選幾何法,即利用圓的半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半滿意勾股定理;弦長(zhǎng)問(wèn)題若涉及直線與圓的交點(diǎn)、直線的斜率,則選用代數(shù)法.1.過(guò)圓外肯定點(diǎn)作圓的切線,有兩條,若在某種條件下只求出一個(gè)結(jié)果,則斜率不存在的直線也是切線.2.本節(jié)問(wèn)題的解決多留意數(shù)形結(jié)合,圓與其他學(xué)問(wèn)的交匯問(wèn)題多留意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.3.若圓與圓相交,則可以利用兩個(gè)圓的方程作差的方法求得公共弦所在直線的方程.9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.<>==><2.d>r1+r2無(wú)解d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2一組實(shí)數(shù)解無(wú)解考點(diǎn)自診1.(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√2.C拋物線C:x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1,則r=|4+1|=5.3.D由題意可得圓心(0,0)到直線l:x+ay=2的距離d=21+a2,則d2+3=22,可得d=1,即d=21+a2=1,所以a=±3,可得直線l的方程為x+3y-2=0,或x-3y-2=0,故斜率為4.B由題意可知,圓心在第一象限.設(shè)圓心為(a,a)(a>0),則(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.當(dāng)a=1時(shí),圓心為(1,1),此時(shí)圓心到直線2x-y-3=0的距離為d1=|2當(dāng)a=5時(shí),圓心為(5,5),此時(shí)圓心到直線2x-y-3=0的距離為d2=|2綜上,圓心到直線2x-y-3=0的距離為255.故選5.5如圖.∵|AB|=6,∴|AD|=3.圓x2+y2=r2的圓心為(0,0).圓心到直線的距離|CD|=|8|∴|AC|=5,即r=5.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)D(2)D(3)33-233(1)由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2因?yàn)镾四邊形PAMB=12|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2|所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此時(shí)PM與直線l垂直,PM所在直線的方程為y=12x+12,直線PM與直線l的交點(diǎn)為P(-1,0).|PM|=(1+1)2+(1-0)2又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)為圓心,|AP|=1為半徑作圓,則AB為☉M與☉P的公共弦,☉P的方程為(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.兩圓方程相減,得4x+2y+2=0,即直線AB的方程為2x+y+1=0.(2)由y=x得y'=12x,設(shè)直線l與曲線y=x的切點(diǎn)為(x0,x0),則直線l的方程為y-x0即12x0x-y+由直線l與圓x2+y2=15相切,得圓心(0,0)到直線l的距離等于圓的半徑r=55,即|12x0|14x0+1=55,(3)由對(duì)稱性可知直線l必過(guò)點(diǎn)(2,0),即2k+b=0,①并且|b|1+由①②解得k=33,b=-2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)B(2)25-10(1)直線l為kx-y+2k=0,又直線l與圓x2+y2=2x有兩個(gè)交點(diǎn),故|k+2k|k2+1<1,所以-(2)由已知A2+B2=C2,C≠0,得圓心到直線Ax+By+C=0的距離d=|C|A2+B2=1,則設(shè)OM與MN的夾角為θ,則cos(π-θ)=所以cosθ=-306,所以O(shè)M·MN=6×例2解(1)由題意知圓心的坐標(biāo)為(1,2),半徑r=2.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=3.由圓心(1,2)到直線x=3的距離d=3-1=2=r知,此時(shí)直線與圓相切.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由題意知|k-2+1-3k所以直線方程為y-1=34(x-即3x-4y-5=0.故過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0.(2)由題意得|a-解得a=0或a=43(3)因?yàn)閳A心(1,2)到直線ax-y+4=0的距離為|a所以|a+2解得a=-34對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)B(2)462(1)圓的方程可化為(x-3)2+y2=9因?yàn)?1-3)2所以點(diǎn)(1,2)在圓內(nèi).如圖所示,設(shè)圓心O1(3,0),A(1,2),當(dāng)弦BC與O1A垂直時(shí)弦最短,因?yàn)閨O1A|=22,|O1B|=3,所以|AB|=|O1所以|BC|=2|AB|=2.(2)圓C:x2+y2-2y=0的圓心為C(0,1),半徑r=1,如圖所示,依據(jù)圓的性質(zhì)知AB⊥PC,∵|AB|=2|PB|sin∠BPC=2|PB|×|CB||PC|=2×|PB||=4|PC|2-1|PC|2=41-1|PC|2,當(dāng)|PC|取得最小值時(shí),|AB|取得最小值2,即有2=41-1|PC|2,解得|PC|=2,此時(shí)圓心C到直線的距離就是例3(1)B(2)C(3)C(1)由題意得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-a)2=a2(a>0),圓心(0,a)到直線x+y=0的距離d=2a2,所以2a2-a22=故圓M與圓N的圓心距|MN|=2.因?yàn)?-1<2<2+1,所以兩圓相交.(2)由題意知,圓C:x2+y2=1的圓心(0,0)到直線l:ax-y+4=0的距離d≤2,d=4a2+1≤2,解得a≤-3或a≥3,所以a的取值范圍是(-∞,-3]∪[3,+∞).(3)由題意可知兩圓外切,圓C的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為5-m,圓E的圓心坐標(biāo)為(3,4),半徑為4,則32+42=5-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)A(2)2(3)(x+3)2+(y+3)2=18(1)圓O1的圓心為O1(0,6),半徑r1=2,將圓O2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4,故圓心O2(2,0),半徑r2=2.則|O1O2|=22+62=4+36=210>r1+r2=2+2,所以兩圓相離,則|PQ|max=210+2(2)由題意,得|C1C2|=(a+b)2+(-2+1)2=2+1,所以(a+b)2=8,即a2+b2+2ab=8,4ab≤8,當(dāng)且僅當(dāng)(3)由已知得圓心D的坐標(biāo)為(-5,-5),因?yàn)閳AC與圓D相切于原點(diǎn)O,則圓心C在直線OD:y=x上.又圓C過(guò)點(diǎn)A,則圓心C在線段OA的中垂線y=-3上,則圓心C的坐標(biāo)為(-3,-3),半徑r=|OC|=32,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+3)2=18.例4解(1)因?yàn)閳AC1的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y設(shè)直線l的方程為y=tx.將上述方程代入圓C1的方程,化簡(jiǎn)得(1+t2)x2-6x+5=0.由題意可得x1+x2=61+t2