第六章隨機(jī)信號(hào)分析與處理基礎(chǔ)隨機(jī)信號(hào)的“無(wú)規(guī)律性”給我們的分析和處理帶來(lái)難度。但是,從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)隨機(jī)信號(hào)發(fā)現(xiàn),它仍含有一定的規(guī)律性,只不過(guò)這種規(guī)律性（或有用信息）完全被淹沒(méi)了,表面上很難發(fā)現(xiàn),只有在大量樣本經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析后才能呈現(xiàn)出來(lái)。因此,對(duì)隨機(jī)信號(hào)的認(rèn)識(shí)、分析和處理必須建立在概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上,而區(qū)別于確定性信號(hào)的分析、處理方法。本章在簡(jiǎn)要回顧隨機(jī)過(guò)程的基本概念和統(tǒng)計(jì)特性的基礎(chǔ)上,對(duì)隨機(jī)信號(hào)的傳統(tǒng)分析方法及近代分析、處理方法作初步介紹,為大家的進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)。第一節(jié)

隨機(jī)信號(hào)的描述一個(gè)確定性信號(hào)的描述是方便的,隨機(jī)信號(hào)的描述由于它的不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)和不能肯定重復(fù),因而不能像確定性信號(hào)那樣進(jìn)行,而有它獨(dú)特的描述方式。為了表達(dá)隨機(jī)信號(hào)的描述,我們來(lái)觀測(cè)幾臺(tái)性能完全相同的電子儀器由于熱噪聲引起的輸出端的噪聲電壓,記錄如下圖。圖6－1一p個(gè)/s隨han機(jī)gfuw信an

號(hào).c

的m/樣本集合首先,由于它的不肯定重復(fù)性,應(yīng)該用全部可能觀測(cè)到的波形記錄來(lái)表示隨機(jī)信號(hào),稱之為“樣本空間”或“集合”,用來(lái)表示。而樣本空間的每一個(gè)波形記錄是一個(gè)確定的波形,可以用一個(gè)確定的函數(shù)來(lái)表示,稱之為“樣本函數(shù)”或“實(shí)現(xiàn)”,用 表示。可見,隨機(jī)信號(hào)是由許多確定信號(hào)的集合 來(lái)表征。其次,當(dāng)t取某一確定值的狀態(tài)為時(shí),隨機(jī)信號(hào)在,它是一個(gè)數(shù)值的集合,如圖6－1所示。集合中的各個(gè)數(shù)值雖然是確定的，但應(yīng)取其中的哪一個(gè)是以一定的概率決定的。因此，隨機(jī)信號(hào) 在 的狀態(tài)是一個(gè)隨機(jī)變量。從這個(gè)意義出發(fā)，也可以把隨機(jī)信號(hào)理解為是隨機(jī)變量的時(shí)間過(guò)程，即隨機(jī)過(guò)程。由于隨機(jī)信號(hào)是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量，因此，描述它的最基本的工具是它的概率結(jié)構(gòu)，即概率（對(duì)離散型隨機(jī)變量）和概率密度（對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量），只是要把時(shí)間因素考慮在內(nèi)。例如對(duì)于圖6－1所示的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào) ，用來(lái)描述它的概率結(jié)構(gòu)有:一維概率分布函數(shù)（6－1）表示隨機(jī)信號(hào)在時(shí)刻的取值不大于的概率。(2)一維概率密度函數(shù)（6－2）表示隨機(jī)信號(hào)在時(shí)刻的取值落入極小區(qū)間的平均概率,顯然它針對(duì)取值連續(xù)的情況,并有（6－3）(3) n維聯(lián)合概率分布函數(shù)（6－4）表示n個(gè)不同時(shí)刻隨機(jī)信號(hào)的取值的概率分布,反映了隨機(jī)信號(hào)在各個(gè)時(shí)刻的內(nèi)在聯(lián)系。顯然,它較全面地反映了隨機(jī)信號(hào)的概率特征。(4) n維聯(lián)合概率密度函數(shù)（6－5）表示了隨機(jī)信號(hào)在各個(gè)時(shí)刻取值連續(xù)情況下的概率特征,同樣反映了隨機(jī)信號(hào)在各個(gè)時(shí)刻的內(nèi)在聯(lián)系。二、

隨機(jī)信號(hào)在時(shí)域的數(shù)字特征概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)完整地描述了隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性,是隨機(jī)信號(hào)最基本的描述方式,但是它的求取難度很大,并且使用不方便,因此在工程實(shí)際中,往往不直接引用它,而取用能反映隨機(jī)信號(hào)某一側(cè)面的一些特征值,它們是均值、方差、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)等,它們稱為隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征。（一）連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征

1.均值（數(shù)學(xué)期望）而隨機(jī)信號(hào)的均值為均值定義為隨機(jī)信號(hào) 的所有樣本函數(shù)在同一時(shí)刻取值的統(tǒng)計(jì)平均值。隨機(jī)信號(hào)在時(shí)刻的狀態(tài)是一個(gè)隨機(jī)變量,若它的取值是離散的,可能取值的數(shù)目為N,且取值是的概率為 ,則 的均值為（6－12）（6－13）若為連續(xù)取值的隨機(jī)過(guò)程,由于它可以取無(wú)限多值,上式的概率應(yīng)改為概率密度,得（6－14）是時(shí)間t的函數(shù)。均值 是隨機(jī)變量 各個(gè)樣本的擺動(dòng)中心。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),由于其一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān),故有（6－15）是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù),相當(dāng)于信號(hào)的直流分量。2.方差方差用來(lái)表明隨機(jī)信號(hào)各可能值對(duì)其平均值的偏離程度,是隨機(jī)信號(hào)取值分散性的度量。它定義為隨機(jī)信號(hào)可能值與平均值之差的均方值,即（6－18）是時(shí)間的函數(shù)。其平方根 稱為均方差。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),有（6－19）是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。3.自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)象一維概率密度函數(shù)一樣,均值和方差描述的是隨機(jī)信號(hào)在各個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性,為了反映隨機(jī)信號(hào)在不同時(shí)刻的內(nèi)在聯(lián)系,定義其自相關(guān)函數(shù)為（6－20）自相關(guān)函數(shù)利用、時(shí)刻的二維概率密度函數(shù)進(jìn)行描述,表示了兩個(gè)不同時(shí)刻隨機(jī)信號(hào)取值之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系或依賴程度。當(dāng),則有 ,故得（6－21）隨機(jī)信號(hào)均方值是它的自相關(guān)函數(shù)在時(shí)的特例。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),由于其二維概率密度函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān),故有（6－22）是時(shí)間間隔τ的函數(shù)。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)具有一些重要的性質(zhì),讀者可以自己驗(yàn)證.4.互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)當(dāng)研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)信號(hào)和的相互關(guān)系時(shí),類似自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)可以定義互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)。其中互相關(guān)函數(shù)定義為對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),由于它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)同樣只與時(shí)間間隔而兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互協(xié)方差函數(shù)定義為（6－33）有關(guān),故有（6－34）（6－35）由定義可以得到可見, 與信號(hào)之間的依賴關(guān)系。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)有[例6－1]一個(gè)隨機(jī)信號(hào)均為常數(shù),為區(qū)間量,求該隨機(jī)信號(hào)差、自相關(guān)函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。（6－36）一樣,表征了兩個(gè)隨機(jī)(6－37),其中均勻分布的隨機(jī)變的均值、均方差、方解:隨機(jī)變量 在 區(qū)間均勻分布，它與時(shí)間無(wú)關(guān)，故其一維、二維概率密度函數(shù)都為根據(jù) 式可求得根據(jù)得式可求其中。由（6－24）式可求得由（6－25）式可求得從上例可見,隨機(jī)信號(hào)的均值和自相關(guān)函數(shù)是最重要的數(shù)字特征,由它們不難求得方差、自協(xié)方差函數(shù)和均方值等。（二）各態(tài)遍歷性隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征以上討論的隨機(jī)信號(hào)數(shù)字特征是建立在總集基礎(chǔ)上的集平均表征量,在求取時(shí)往往用到反映隨機(jī)信號(hào)總體統(tǒng)計(jì)特性的概率密度函數(shù),即使求其近似值時(shí)也需要大量的樣本函數(shù),這正是實(shí)際分析中的困難所在。取隨機(jī)信號(hào)樣本集中的一個(gè)樣本 ，當(dāng)延續(xù)時(shí)間T足夠大時(shí)，可以定義它的一系列數(shù)字特征，這里我們僅定義其中兩個(gè)最重要的特征量:均值和自相關(guān)函數(shù)。（1）隨機(jī)信號(hào)的時(shí)間均值（6－38）（2）隨機(jī)信號(hào)的時(shí)間相關(guān)函數(shù)（6－39）它們都是沿時(shí)間軸的統(tǒng)計(jì)平均,所以稱為時(shí)間平均表征量。通常,不同樣本的時(shí)間平均表征量是不相同的,當(dāng)然也不等于集平均表征量。但是,在一定條件下,平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均能夠從概率意義上趨近于集平均,這種情況可以粗略地理解為隨機(jī)信號(hào)的每一個(gè)樣本都同樣地經(jīng)歷了隨機(jī)信號(hào)其它樣本的各種可能的狀態(tài),因而從一個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)特性（時(shí)間平均）就能得到全部樣本的統(tǒng)計(jì)特性（集平均）,我們把具有這種特性的隨機(jī)信號(hào)稱為各態(tài)遍歷性隨機(jī)信號(hào)。具體地說(shuō)如果以概率1成立,稱如果的均值具有各態(tài)遍歷性。以概率1成立,稱態(tài)遍歷性。（三）離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征（6－40）（6－41）的自相關(guān)函數(shù)具有各對(duì)于時(shí)間隨機(jī)信號(hào) ,若的取值是離散的,則稱為離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)。這時(shí)由于 是一串隨機(jī)變量 所構(gòu)成的序列,所以又稱為隨機(jī)序列 或例如,對(duì)于連續(xù)取值的隨機(jī)過(guò)程,總集均值應(yīng)表示為而總集自相關(guān)函數(shù)應(yīng)表示為(6－42)(6－43)三、

隨機(jī)信號(hào)的頻域描述（一）連續(xù)時(shí)間情況設(shè) 是隨機(jī)信號(hào) 的一個(gè)樣本,是功率型信號(hào),不滿足傅立葉變換所要求的總能量有限（平方可積）的條件,對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)成來(lái)說(shuō),將其給定的樣本 截短,形,即（6－47）顯然 滿足傅立葉變換條件,其傅立葉變換存在,為（6－48）并可寫出能量的帕斯瓦爾等式（見2－100）（6－49）等式兩邊同除以2T,注意到（6－47）式,并令 ,得（6－50）上式左邊 為的平均功率P ,由于是功率信號(hào),所以P 必存在,將等式右邊的被積函數(shù)記為 ,即（6－51）則(6-50)式就可寫為（6－52）可見, 的平均功率P 由 在頻率區(qū)間的積分確定,與能譜密度對(duì)應(yīng),稱 為的功率譜密度函數(shù),簡(jiǎn)稱功率譜,由式（6－52）就是隨機(jī)信號(hào) 的樣本 的平均功率的譜表達(dá)式。隨機(jī)信號(hào) 的所有樣本都有其功率譜,構(gòu)的集合,的平均功率,它也應(yīng)其中 是考慮平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)滿足集平均,即成功率譜集合 , ,它是頻域的隨機(jī)信號(hào),取該隨機(jī)信號(hào)的集平均就是隨機(jī)信號(hào) 的功率譜,記為 ,即（6－53）（6－54）即平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的平均功率就是它的均方值,根據(jù)（6－17）式,它是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。將式（6－50）推廣到集平均,可以得到平均功率的譜表達(dá)式,它是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)表明平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜 是單位的平均功率關(guān)于統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最帶寬的功率,它表示了頻率的分布,是頻域描述主要的數(shù)字特征。(6－55)式（6－53）中的 可表示為令,上式為（6－56）將（6－48）、（6－56）代入（6－53）式,可得a對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) ,由（6－22）式,有,與時(shí)間無(wú)關(guān)。則有,代入上式,得平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)數(shù)的功率譜是它的自相關(guān)函的傅立葉變換,顯然 的自相關(guān)函數(shù)就應(yīng)是其功率譜即（6－57）的傅立葉反變換,（6－58）式（6－57）和（6－58）所表示的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜之間構(gòu)成傅立葉變換對(duì)的關(guān)系稱為維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理,它揭示了從時(shí)域描述平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律與從頻域描述平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律之間的內(nèi)在聯(lián)系,是分析隨機(jī)信號(hào)的重要工具。當(dāng)然,（6－57）式和（6－58）式成立的條件是 絕對(duì)可積。[例6－2] 求隨機(jī)相位余弦信號(hào)的功率譜及平均功率。解:隨機(jī)相位余弦信號(hào)為中,其為常數(shù),為區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量,例6－1已求得其自相關(guān)函數(shù) ,并已知其均值為常數(shù)0,自相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān),可見是寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),因此可根據(jù)維納-辛欽公式（6－57）求出功率譜為是強(qiáng)度為的兩個(gè)δ函數(shù),平均功率為（二）離散時(shí)間情況上述維納-辛欽定理不僅適用于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào),而且也適用于離散時(shí)間隨機(jī)序列,也就是說(shuō),平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率密度譜與序列的自相關(guān)函數(shù) 是一對(duì)離散時(shí)間傅立葉變換對(duì)。設(shè) 為由均勻間隔的離散時(shí)間信號(hào)構(gòu)成的平穩(wěn)隨機(jī)序列,其自相關(guān)函數(shù)為當(dāng)