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>單元分層<

作業(yè)設(shè)計

夯實融通放飛

一滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊第19章《四邊形》

BEMGBrXIXCIIEMiEXPERIMENTALSCIOOL

得本3/他打4場

編者：貢濤、王春春、劉丹

劉晴、楊苗苗、李家超

時間：二。二二年五月二十日

夯實融通放飛

《四邊形》單元分層作業(yè)設(shè)計一、單元信

息

學(xué)科年級學(xué)期教材版本單元名稱

基本信息

數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期滬科版四邊形

單元組

0自然單元□重組單元

織方式

序號課時名稱對應(yīng)教材內(nèi)容

1多邊形內(nèi)角和19.1(P70-74)

平行四邊形19.2(P75-85)

課時信息2

3矩形、菱形19.3(P86-92)

4正方形19.3(P92-98)

5單元小結(jié)復(fù)習(xí)小結(jié)評價（P102-105）

二、單元分析

史寧中教授曾撰文指出：“對于數(shù)學(xué)內(nèi)容，很難通過一節(jié)課或一個知識點就

把數(shù)學(xué)的本質(zhì)表示清楚……只有把這些內(nèi)容融為一體進行教學(xué)設(shè)計，才能在關(guān)注

知識技能的同時，認(rèn)真思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)”，因此為了更好的從系統(tǒng)整體上揭示數(shù)

學(xué)本質(zhì)，更有利于促進學(xué)生掌握研究一個圖形的基本路徑和思想方法，提高學(xué)生

的理解力和遷移力，我們設(shè)計小組嘗試對“四邊形”全章內(nèi)容進行單元教學(xué)作業(yè)

設(shè)計.

（一）課標(biāo)要求

1.了解多邊形和正多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線

等概念，探索并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.

2.理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它們之間的關(guān)

系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.

3.探索并證明平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定定理，掌握正

方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)，理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系.

4.了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.

5.探索并證明三角形中位線定理.

6.了解平面圖形的鑲嵌的含義，知道哪些平面圖形可以鑲嵌，鑲嵌的理由及

簡單的鑲嵌設(shè)計.

2022年4月，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）

發(fā)布，新課標(biāo)指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀

察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界（簡

稱“三會”）.學(xué)生能：

（1）獲得適應(yīng)未來生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、

基本思想、基本活動經(jīng)驗.

（2）體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，

在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的

知識與方法分析問題和解決問題.

（3）對數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自

我反思和勇于探索的科學(xué)精神.

經(jīng)歷探索圖形特征的過程，建立基本的幾何概念；通過尺規(guī)作圖等直觀操作

的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系；掌握基本的幾何證明方法；知道平移、旋

轉(zhuǎn)和軸對稱的基本特征，理解相關(guān)概念；形成推理能力，發(fā)展空間觀念和幾何直

觀

探索在不同的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)

科的知識從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法，能運用幾何直觀、邏

輯推理等方法解決問題，形成模型觀念和數(shù)據(jù)觀念.在與他人合作交流解決問題

的過程中，能夠嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確地表達自己的觀點，并能較好地理解他人的思考方法

與結(jié)論.能夠問顧解決問題的思考過程，反思解決問題的方法和結(jié)論,形成批判性

思維和創(chuàng)新意識.

關(guān)注社會生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，主動參與數(shù)學(xué)活動；在解決數(shù)學(xué)問題的

過程中，能夠克服困難，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，

體會數(shù)學(xué)的價值，欣賞并嘗試創(chuàng)造數(shù)學(xué)美：養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流、反

思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

（二）學(xué)業(yè)要求

初中階段圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與

坐標(biāo)”三個主題.學(xué)生在已經(jīng)學(xué)過點、線、面、角、三角形等知識的基礎(chǔ)上將進一

步學(xué)習(xí)多邊形，從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面研究這些圖形的基本性

質(zhì)和相互關(guān)系.在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗證

數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯，形成幾何直觀和推理能力；從運動

變化的觀點來研究圖形，理解圖形在軸對稱、旋轉(zhuǎn)和平移時的變化規(guī)律和變化中

的不變量.

圖形的性質(zhì)的教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生理解歐幾里得平面幾何的基木思想，感悟

幾何體系的基本框架：通過定義確定論證的對象，通過基本事實確定論證的起點，

通過證明確定論證的邏輯，通過命題確定論證的結(jié)果.要組織學(xué)生經(jīng)歷圖形分析與

比較的過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會關(guān)注事物的共性、分辨事物的差異、形成合適的類，會用

準(zhǔn)確的語言描述研究對象的概念，提升抽象能力，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界;

要通過生活中的或者數(shù)學(xué)中的現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟基本事實的意義，經(jīng)歷幾

何命題發(fā)現(xiàn)和證明的過程，感悟歸納推理過程和演繹推理過程的傳遞性，增強推

理能力，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷針對圖形性質(zhì)、關(guān)系、

變化確立幾何命題的過程，體會數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述，感悟數(shù)學(xué)表達的準(zhǔn)

確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，會借助圖形分析問題、形成解決問題的思路，發(fā)展模型觀念，會

用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.

（二）教材分析

1.知識網(wǎng)絡(luò)

直角三角形斜邊上中線定理

,梯形

矩形定義------性質(zhì)-------判定

特殊化r

多邊形四邊形

特殊化I

I平行四邊形正方形定義------性質(zhì)-------判定

I

I菱形定義------性質(zhì)-------判定

定義^—即—判定-------應(yīng)用

邊隹對角線角對角線

判判

定定間位

23距線

4離定

理

2.內(nèi)容分析

本設(shè)計小組所在地區(qū)采用是滬科版初中數(shù)學(xué)教材，“四邊形”為滬科版八年

級下冊第19章內(nèi)容.本單元的主要內(nèi)容有兩部分：多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形

和特殊平行四邊形.

教材首先從多邊形的概念著手，研究多邊形的內(nèi)角和與外角和，并介紹了正

多邊形的概念和四邊形的不穩(wěn)定性.

平行四邊形部分：學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過平行四邊形，教材直接給出平行四邊

形的概念，并通過學(xué)生自己的觀察與思考得出平行四邊形的性質(zhì)；然后從平移和

作圖研究平行四邊形的判定定理；最后，分別從平行四邊形在角、邊、對角線等

方面的特殊性引入矩形、菱形的概念、性質(zhì)和判定，繼而從矩形、菱形的綜合特

殊性得出正力形的概念和性質(zhì).

綜合與實踐：教材通過地磚平鋪的圖案，介紹平面鑲嵌的概念，然后引導(dǎo)學(xué)

生觀察利用正多邊形平面鑲嵌的圖案，總結(jié)歸納能夠進行平面鑲嵌的多邊形的性

質(zhì)，最后引導(dǎo)學(xué)生利用一種或兩種正多邊形進行設(shè)計創(chuàng)作.

本章的重點是平行四邊形的性質(zhì)和判定.四邊形的有關(guān)概念以及多邊形的內(nèi)

角和與外角和為平行四邊形的學(xué)習(xí)做必要的鋪墊.矩形、菱形、正方形都是特殊

的平行四邊形，它們的概念、性質(zhì)以及判定都是建立在平行四邊形的基礎(chǔ)之上的.

本章的關(guān)鍵是要求學(xué)生掌握平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定，并能熟練地應(yīng)用這

些知識解決問題.

3.學(xué)情分析從數(shù)學(xué)的整體性出發(fā)，初中平面幾何的內(nèi)容安排是在對幾何基本概念

形成直

觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上，按照圖形的復(fù)雜程度先后安排教學(xué)內(nèi)容.滬科版初中數(shù)學(xué)教材

亦是如此，在學(xué)習(xí)本單元之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線（相交線、平行線、角平分

線、線段的垂直平分線等）、三角形（一般三角形、等腰三角形、直角三角形等）

等知識，之后將要學(xué)習(xí)圓等知識，“四邊形”與這些幾何圖形在研究對象、研究

內(nèi)容、研究方法方面都具有相似性和一致性.在本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，常常需

要把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，因而需要反發(fā)地運用到平行線和三

角形的有關(guān)知識，這也體現(xiàn)一種轉(zhuǎn)化思想.

三角形的學(xué)習(xí)整體上是按從一般到特殊，從定性到定量的架構(gòu)，學(xué)生在積累

了豐富的學(xué)習(xí)三角形的經(jīng)驗后，再進行四邊形學(xué)習(xí)，不僅在知識上有良好的鋪墊，

思想方法、邏輯推理等方面也奠定了基礎(chǔ)，更有利于學(xué)生形成研究一個幾何圖形的

完整經(jīng)驗.四邊形是一種相對簡單基本的多邊形，出于對四邊形的進一步認(rèn)識，教

材先安排多邊形的有關(guān)概念（包括多邊形的定義，頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線

等要素）和基本性質(zhì)（內(nèi)角和公式、外角和公式等），在探索多邊形有關(guān)概念的過

程中得到四邊形的概念和基本性質(zhì).然后，類比三角形的研究路徑，以概念的內(nèi)在

邏輯關(guān)系為依據(jù)，通過歸納、概拈與“屬+種差”的方式確立定義，通過“要素或

要素關(guān)系的特殊化”，順序安排平行四邊形、矩形、菱形、正方形，并以“背景

一一概念一一性質(zhì)一一判定一一應(yīng)用”的基本路徑展開具體內(nèi)容.

在平面幾何中，我們一般先對平面圖形進行定性研究，然后再作定量分析，

而在定量分析中，平行性具有舉足輕重的地位，它的作用是大大簡化了定量幾何的

基礎(chǔ)理論和基本公式.而在平行性的研究中，平行四邊形是一個主要工具，就像等

腰三角形在研究對稱性所扮演的角色一樣，因此，四邊形的課程內(nèi)容應(yīng)聚焦在特殊

四邊形一一平行四邊形的教學(xué)設(shè)計上，使學(xué)生熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定,

從而為定量幾何的學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ)，同時平行四邊形也是中心對稱圖形，矩形、菱

形、正方形等特殊平行四邊形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，所以它們也是幾

何變換的重要工具.另外，平行四邊形法則是現(xiàn)實事物所遵循的規(guī)律，平行四邊形

的性質(zhì)在現(xiàn)實中也有大量應(yīng)用.因此，無論從數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、核心與關(guān)鍵看，還

是從平面幾何課程的精益求精考慮，在“四邊形”課程設(shè)計中，平行四邊形都是

教學(xué)的重中之重，通過適當(dāng)?shù)那榫吃O(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生從-?般到特殊，逐步提出值得

研究的新對象、新問題，最終形成“多邊形一一四邊形一一平行四邊形一一矩形

——菱形一一正方形”的完整知識體系.

本章教學(xué)難點是各種特殊四邊形之間的聯(lián)系和區(qū)別.平行四邊形與各種特殊

平行四邊形之間的關(guān)系蘊含了分類思想，又是相近概念的集中與交錯，不容易被

學(xué)生所掌握，“張冠李戴”的現(xiàn)象時有發(fā)生，教學(xué)中要多用“集合”思想，結(jié)合

關(guān)系圖或分類表，讓學(xué)生分清這些概念的從屬關(guān)系，突破概念教學(xué)的難點.

三、單元學(xué)習(xí)與作業(yè)目標(biāo)

基于上述《四邊形》教學(xué)內(nèi)容分析、學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定，本設(shè)計小組確立了基于

數(shù)學(xué)本質(zhì)的、與學(xué)習(xí)目標(biāo)關(guān)聯(lián)性的單元作業(yè)目標(biāo):

序號單元作業(yè)目標(biāo)對應(yīng)核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平

了解多邊形和正多邊形的有關(guān)幾何直觀、空間觀

1了解

概念，了解四邊形的不穩(wěn)定性念、模型觀念

掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公幾何直觀、運算能

2掌握

式力、推理能力

理解平行四邊形、矩形、菱

幾何直觀、推理能

3形、正方形的概念，以及它們理解

力

之間的關(guān)系.

探索并證明平行四邊形、矩

掌

形、菱形、正方形的性質(zhì)和判幾何直觀、推理能

4握

定定理，掌握正方形具有矩形力、創(chuàng)新意識

和菱形的一切性質(zhì).

了解兩條平行線之間距離的意

幾何直觀、空間觀

5義，能度量兩條平行線之間的了解

念

距離.

幾何直觀、推理能

6探索并證明三角形中位線定理.掌握

力

了解平面圖形的鑲嵌的含義.空間觀念、幾何百

7知道哪些平面圖形可以鑲嵌，觀、應(yīng)用意識、模了解

鑲嵌的理由及簡單的鑲嵌設(shè)計.型觀念

四、單元作業(yè)設(shè)計思路

依據(jù)以上對“平行四邊形”數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析，本設(shè)計小組將“四邊形”這一

單元作業(yè)設(shè)計為：多邊形內(nèi)角和和外角和（二課時）、平行四邊形的性質(zhì)與判定

（二課時）、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定（三課時，分別是矩形、菱形的性質(zhì)

與判定和正方形的性質(zhì)與判定）、小結(jié)復(fù)習(xí)與拓展（一課時）、單元質(zhì)量檢測作業(yè)，

其中單元質(zhì)量檢測中選擇壓軸題第10題、填空壓軸題第14題和簡答壓釉題第

18題均設(shè)計成AB兩種難度的題型，既面向全體學(xué)生，又兼顧到學(xué)有余力的學(xué)生

的能力提高，切實做到分層設(shè)計，因材施教.

這種設(shè)計思路基于“平行四邊形”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，把幾何中的一些“大概念”

作為單元教學(xué)的主題，然后將教學(xué)內(nèi)容有機整合，從而把整個學(xué)習(xí)單元變?yōu)橐粋€以

具體圖形為載體，學(xué)生感悟幾何圖形研究之道、體會幾何圖形性質(zhì)與判定數(shù)學(xué)本質(zhì)

的系統(tǒng)探索過程，這必將對學(xué)生真正掌握“平行四邊形”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成用幾何

的眼光看待圖形世界，用幾何的思維分析圖形世界，用幾何的語言表達圖形世界

的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義.如此設(shè)計，學(xué)生學(xué)到的不僅僅是概念、性質(zhì)定理、判定

定理等形式化知識，從中得到的關(guān)于研究一個幾何對象的基本路徑、思想方法，

對如何抽象一個幾何對象、幾何圖形的性質(zhì)判定所研究的問題是什么、如何發(fā)現(xiàn)、

如何證明等等的領(lǐng)悟，可以很容易地遷移到矩形、菱形、正方形的探究中，也能在

研究其他圖形中發(fā)揮作用.因此本設(shè)計小組進行本單元作業(yè)設(shè)計時，會根據(jù)學(xué)生已

有的知識儲備、學(xué)習(xí)水平與學(xué)習(xí)能力，做好每一課時的問題診斷，針對每一課時

教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)目標(biāo)，結(jié)合每一課時的問題診斷分層展開課時作業(yè)設(shè)計，尤其在設(shè)

計平行四邊形和特殊平行四邊形課時作業(yè)時，有意設(shè)計“綜合實踐活動”、“課題

研究”或“數(shù)學(xué)探究活動”等開放式題型和一題一圖多變題型，讓學(xué)生自主探究，

以達到分層學(xué)習(xí)的目的，使得不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，每課時均根據(jù)

題目難易程度設(shè)計為三部分，分別為夯實基礎(chǔ)（基礎(chǔ)性作業(yè)面向全體，體現(xiàn)課標(biāo),

填空8題，簡答2題，要求學(xué)生必做）、融會貫通（發(fā)展性作業(yè)，通過一題一圖多

變體現(xiàn)探究性，要求學(xué)生有選擇地完成）和放飛自我（活動類作業(yè)，體現(xiàn)個性化，實

踐性、創(chuàng)新性，要求鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生選擇性完成）.根據(jù)“雙減”政策，我們設(shè)

計每一課時的作業(yè)完成時間預(yù)計在30分鐘，單元作

業(yè)檢測預(yù)計在60分鐘，作業(yè)評價采用笑臉，平臉和哭臉三種表情方式，讓學(xué)生

完成作業(yè)后如實填寫，以幫助教師對學(xué)生作業(yè)難度的把控和結(jié)果進行反思和再設(shè)

計，體現(xiàn)“設(shè)計-----實施一f反思------再設(shè)計”，不斷完善和反思，既關(guān)注

到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理，又便于教師客觀掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.本單元作業(yè)設(shè)計

在第二節(jié)第二課時《平行四邊形判定》和第三節(jié)第三課時《正方形》中，借助預(yù)

設(shè)學(xué)生自我評價，設(shè)計了教師的作業(yè)設(shè)計反思及針對學(xué)生反饋進行針對性作業(yè)再

設(shè)計，其他課時均設(shè)計了學(xué)生自我評價留白，供教師針對學(xué)生作業(yè)反饋再設(shè)計思

考，具體設(shè)計體系如下：

常規(guī)練習(xí)整合運

「夯實基礎(chǔ).用思維拓展探究

I性作業(yè)

個性化作業(yè)實踐

作業(yè)設(shè)計體系V融會貫通

性作業(yè)

放飛自我

r創(chuàng)新性作業(yè)

五、課時作業(yè)

第一節(jié)多邊形內(nèi)角和

第一課時多邊形內(nèi)角和

內(nèi)容分析:

本課時的主要內(nèi)容是多邊形的相關(guān)概念（包括邊、頂點、內(nèi)角、外角、對角

線等）及其表示方法，正多邊形的概念，多邊形的內(nèi)用和定理以及四邊形的不穩(wěn)

定性在實際生活中的應(yīng)用.

本課時的重點是多邊形內(nèi)角和定理，難點是這個定理的探索過程，以及其中蘊涵的

轉(zhuǎn)化思想方法.

作業(yè)目標(biāo)：

1.了解多邊形及正多邊形的有關(guān)概念，掌握多邊形內(nèi)角和公式.

2.掌握多邊形的內(nèi)角和公式并用其解決實際問題.

3.了解正多邊形的定義，并能進行簡單的運算.

4.通過對多邊形內(nèi)角和的運用，體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.

作業(yè)完成時間：30分鐘

紙筆類作業(yè)設(shè)計

完成時間難易程度

一、夯實基礎(chǔ)（請如實填寫完成寸間及對難易發(fā)!度的評

_______分鐘????

價）??

（一）填空題

1.第五套人民幣中的5角硬幣色澤為銀白色，正，反面的內(nèi)周邊緣均為正十一邊

形.則其內(nèi)角和為1620。.

2.若一個多邊形的內(nèi)角和是720°,則它的邊數(shù)是6.

3.已知：正〃邊形的一個內(nèi)角為135。，則〃的值是區(qū)

4.若一個四邊形的四個內(nèi)角的度數(shù)比為1：3：4：1,則最大內(nèi)角的度數(shù)為

160°.

5.在五邊形A3CDE中，若N4=ND=90。，N8：NC：NE=3：8：7,則NE

的度數(shù)為140°.

6.如圖，其中x的值為130。.

7.（〃+2）邊形比〃邊形內(nèi)角和增加的度數(shù)為360。.

8.從〃邊形（〃>3）的一個頂點出發(fā)，可以畫（〃-3）條對角線,這些對角線

把〃邊形分成2）個三角形,分得三角形內(nèi)角的總和與多邊形的內(nèi)角和里

笠.

（二）解答題

9.如圖所示，在四邊形A8CD中，NA=8（）。，ZC=75°,NAOE為四邊形

ABC。的一個外角，且N4OE=125。，試求出N8的度數(shù).

解：VZ4DE=125°,

，NAOC=55。，

VZA=80°,ZC=75°,

J/8=360°—Z/4-ZC-ZADC

=360°-80o-75o-55o=150°.

10.在四邊形48C。中，ZA=140°,ZD=80°.

（1）如圖①，若NB=NC,試求出NC的度數(shù)；

（2）如圖②，若NA8C的平分線BE交。。于點E,且8E〃AO,試求出

NC的度數(shù).解：(1)VZA+ZB4-ZC4-ZD=360°,NB=/C,

360—NA—/Q360-140—80

??

?ZC=ZB=2=2=70

(2),:BE"AD,

???/8EC=NO=80。，

/ABE-180c-ZA-180n-l40c-40c

〈BE平分N/WC,

：,/EBC=NA8E=4()。,

AZC=180°-ZEI3C-ZBEC=180°—40°-80°=60°.

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)芬注

ABC

A等答案正確，過程正準(zhǔn)

等答案正確，過程有瑕疵

答題的準(zhǔn)確性B

C等答案不正確,有過程不完整或無答

案（過程）

A等過程規(guī)范，答案正確

答題的規(guī)范性B等過程欠規(guī)范，答案正確

C等過程不規(guī)范或答案錯誤

A等解法思路有新意，答案正確

解法的創(chuàng)新性B等解法思路有創(chuàng)新，答案不正確

C等常規(guī)解法或答案不正確

AAA或AAB或ABA為A等;ABB或

綜合評價等級BBB或BBA或AAC為B等洪余情況

為C等

二、融會貫通

11.上面作業(yè)填空題笫8題已經(jīng)給我們提供一種證明多邊形內(nèi)角和定理的方

法，下面提供了另外?種將多邊形分割成若干個三角形進而證明多邊形內(nèi)角和定

理的方法:

（1）試根據(jù)所給的方法，將圖④中的七邊形分割成個三角形；

（2）按這種方法，〃邊形可以分割成個三角形；

（3）請根據(jù)上述方法，以三角形的內(nèi)角和定理為依據(jù)，推導(dǎo)〃邊形的內(nèi)角

和公式：〃邊形的內(nèi)角和=;

解：（1）圖①是四邊形,分割成3個三角形;

圖②是五邊形,分割成4個三角形;

圖③是六邊形,分割成5個三角形;

圖④是七邊形，分割成6個三角形;

以此類推，〃邊形可以分割成（〃一1）個三角形.故答案為：6.

（2）由（1）可得：〃邊形可以分割成（〃一1）個三角形.故答案為：（〃

—1）.

（3）由（2）得：〃邊形可以分割成（71-1）個三角形.

???（〃―1）個三角形的內(nèi)角的和為180。（〃-1）.

???〃邊形的內(nèi)角和為180。（〃-1）-180°=（〃-2）X1800.

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等答案正確，過程正準(zhǔn)

B等答案正確，過程有瑕疵

答題的準(zhǔn)確性

C等答案不正確,有過程不完整或無答

案（過程）

A等過程規(guī)范，答案正確

答題的規(guī)范性B等過程欠規(guī)范，答案正確

C等過程不規(guī)范或答案錯誤

A等解法思路有新意，答案正確

解法的創(chuàng)新性B等解法思路有創(chuàng)新，答案不正確

C等常規(guī)解法或答案不正確

AAA或AAB或ABA為A等;ABB或

綜合評價等級

BBB或BBA或AAC為B等洪余情況

為C等

三、放飛自我（活動類作業(yè)設(shè)計）

《多邊形內(nèi)角和定理探究》

一、認(rèn)真閱讀和思考課本71頁的探究活動以及本次作業(yè)的第8題與第11題，

明確本次探究的目要和要求：

本次探究的目的：_

______________________________________________________________________本次探

究的要求：__________________________________________________

______________________________________________________________________二、數(shù)

學(xué)探究的實施方案：1.材料準(zhǔn)備：學(xué)生獨立收集整理關(guān)于多邊形內(nèi)角和定理的證明

方法.

2.組建小組，設(shè)計方案：小組內(nèi)交流、研討切割方案，并思考切割方法的主要依

據(jù).

3.合作探究：在具體的操作過程中，遇到了哪些困難？如何解決？

4.發(fā)散思維：除了用切割的方法我們還可以用什么方法？補的方法行不行呢？三、

總結(jié)反思，交流展示把每個小組的割補方案進行展示交流，每小組根據(jù)自己小組結(jié)

合其它組的方案，

寫出自己組的證明思路以及證明完整過程.

作業(yè)評價表

等級備注

評價指標(biāo)

ABC

A等方案合理性強，參與面廣

方案的合理性B等方案欠合理，參與面窄

C等目的不具體，隨意性強

A等過程規(guī)范，小組合作，分工明確

活動的規(guī)范性B等過程欠規(guī)范，小組合作流于形式

C等過程不規(guī)范，無小組合作

A等成果呈現(xiàn)形式多樣，準(zhǔn)確

成果呈現(xiàn)多樣性B等成果呈現(xiàn)形式單一或不準(zhǔn)確

C等成果呈現(xiàn)不正確或無成果

AAA或AAB或ABA為A等;ABB或

綜合評價等級BBB或BBA或AAC為B等洪余情

況為C等

學(xué)生自我評價

作業(yè)分析與設(shè)計理念

1.設(shè)計理念.《多邊形內(nèi)角和》是本單元的章首課，它是三角形內(nèi)角和的延續(xù)

也為后面四邊形的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).本節(jié)作業(yè)設(shè)計在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022

版）》對于多邊形要求的基礎(chǔ)上，立足教材以學(xué)生為木，重視學(xué)生的差異性因材

施教，重視作業(yè)的操作性與應(yīng)用性.本節(jié)作業(yè)設(shè)計了填空題與解答題以及開放性

作業(yè)，兼顧不同層次的學(xué)生，優(yōu)化作業(yè)配置，學(xué)生通過填空題可以很好的復(fù)習(xí)鞏

固多邊形內(nèi)角和定理，學(xué)生通過解答題結(jié)合以往的知識解決問題讓學(xué)生體會到知

識的連貫性與整體性.最大限度的調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.形式特點.本節(jié)課時作業(yè)設(shè)計注重為學(xué)生新知識的學(xué)習(xí)鞏固搭建合理的平

臺，主要體現(xiàn)在能夠運用己學(xué)的知識解決問題，通過對問題的解決，使學(xué)生對于

多邊形內(nèi)角和的相關(guān)知識有更好的理解與掌握.尊重學(xué)生個體性差異，設(shè)計層次

性作業(yè).本節(jié)作業(yè)內(nèi)容共設(shè)計了三類題目：一是夯實基礎(chǔ)類題型，主要考查學(xué)生

對多邊形內(nèi)角和定理的掌握，重點是讓學(xué)生很好的復(fù)習(xí)與鞏固本節(jié)所學(xué)知識，培

養(yǎng)學(xué)生的靈活運用所學(xué)知識的能力.第1,2,3題主要考查學(xué)生對多邊形內(nèi)角和

定理的掌握，難度較低，讓學(xué)生可以從簡單題目入手增強學(xué)習(xí)信心.第4,5,6,

7題主要考查學(xué)生對多邊形內(nèi)角和的理解以及利用內(nèi)角和定理解決簡單問題，R

的是從不同角度讓學(xué)生理解多邊形內(nèi)角和定理.其中第1題從學(xué)生熟悉的生活與

社會情境為背景讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活實際的密切聯(lián)系從而提高學(xué)習(xí)興趣；二

是總結(jié)提高類題型，該類題目難度適度拔高，主要考察到學(xué)生對多邊形內(nèi)角和的

綜合應(yīng)用，不僅是對知識點的鞏固，同時也為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通過與以往學(xué)

過的知識的結(jié)合解決問題，合理的表述論證過程；三是思維發(fā)散類題型，該類題

目難度較高，主要針對基礎(chǔ)扎實學(xué)有余力的學(xué)生，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維.為了讓活動

類作業(yè)設(shè)計可以充分調(diào)動學(xué)生積極性，從夯實基礎(chǔ)的第8題設(shè)計了相關(guān)題目再到笫11

題讓學(xué)生由淺入深自然而然的產(chǎn)生思路，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程感悟科學(xué)研

究的過程與方法.讓學(xué)生對本課時的難點有更深的理解同時可以發(fā)散思維，讓學(xué)生探究

出不同的證明思路，，讓學(xué)生對本課時的難點有更深的理解同時可以發(fā)散思維，感悟數(shù)

學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，形成初步的推理能力和重事實、講道理的科學(xué)精神.

第一節(jié)多邊形內(nèi)角和

第二課時多邊形外角和

內(nèi)容分析：

本課時主要內(nèi)容是多邊形的外角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理

的聯(lián)系.

本課時的重點是多邊形外角和定理，難點是多邊形外角和定理的探索過程，以及

與多邊形內(nèi)角和的聯(lián)系.

作業(yè)目標(biāo)：

1.了解多邊形外角和的有關(guān)概念，掌握多邊形外角和定理.

2.掌握多邊形的外角和定理并用其解決實際問題.

3.通過對多邊形外角和的運用，體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.

4.通過對多邊形外角和定理的探究，體會多邊形內(nèi)角和與外角和的內(nèi)在聯(lián)系.

作業(yè)完成時間：30分鐘

紙筆類作業(yè)設(shè)計

一、夯實基礎(chǔ)（請如實填寫完成時間及對難易程度的評

價）完成時間難易程度

_______分鐘??????

（-）填空題

1.如圖為《北京2022年冬殘奧

會會徽》紀(jì)念郵票，其規(guī)格為邊長14.92毫米的正八邊形，則正八邊形的外角和

為360。.

第2題圖

2.圖1是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋

并開始消融，形狀無一定規(guī)則，代表一種自然和諧美.圖2是從圖1的冰裂紋窗

格圖案中提取的一個由五條線段組成的圖形，則NI+N2+/3+N4+N5+N6+N

7=360度.

3.小明發(fā)現(xiàn)交通指示牌中“停車讓行標(biāo)志”可以看成是正八邊形，如圖所示,

則Nl=452.

4.若一個多邊形的每一個外角都是36°,則它的邊數(shù)是10.

5.若一個多邊形所有內(nèi)角和與所有外角的和是1260%這是乙邊形

6.一個正多邊形，它的一個內(nèi)角等于一個外角的2倍，那么這個正多邊形的

邊數(shù)是6_.

7.若一個〃邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)之比為2：7,則〃=9.

8.如圖，五邊形A8C7）E中，AB//CD,Zl,Z2,N3分別是N8AE,NAED,

NEQC的外角，若Nl+N3=82。，則/2=982.9.如圖所示是一個正六邊形和

若干直角三角形組成的花環(huán)，/ABC=30L.（二）解答題

10.一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900。，求這個多邊形的邊數(shù).解；

設(shè)邊數(shù)為〃，根據(jù)題意，得

（〃一2）XI80°=360°+900°,

J（〃-2）XI800=1260°,

?"-2=7,

???〃=9.答：這個多邊形的邊數(shù)

是9.

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等答案正確，過程正準(zhǔn)

等答案正確，過程有瑕疵

答題的準(zhǔn)確性B

C等答案不正確,有過程不完整或無答

案（過程）

A等過程規(guī)范，答案正確

答題的規(guī)范性B等過程欠規(guī)范，答案正確

C等過程不規(guī)范或答案錯誤

A等解法思路有新意，答案正確

解法的創(chuàng)新性B等解法思路有創(chuàng)新,答案不F確

C等常規(guī)解法或答案不正確

AAA或AAB或ABA為A等;ABB或

綜合評價等級BBB或BBA或AAC為B等洪余情況

為C等

二、融會貫通

11.如圖，Zl,Z2,Z3,N4是四邊形A8CO的四個外角.用兩種方法證

明Zl+Z2+Z3+Z4=360\

解：

證法1：VZI+ZfiAD=i80°,N2+NABC=I8O0,

Z3+ZfiCD=180°,Z4+ZCD4=180°,

Z1+NBA。-Z2+N48C+Z3+ZBCD+Z4+ZCDA

=180°X4=720°.

???ZBAD+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°,

.,.Zl+Z2+Z3+Z4=360°.

證法2：連接8￡>,

?；N1=NABD+/ADB,/3=/CBD+/CDB,

AZ1+Z2+Z3+Z4=ZABD+NAO8+N2+/CBD+ZCDB+Z4

=180°X2=360°.

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等答案正確，過程正準(zhǔn)

等答案正確，過程有瑕疵

答題的準(zhǔn)確性B

C等答案不正確,有過程不完整或無答

案（過程）

A等過程規(guī)范，答案正確

答題的規(guī)范性B等過程欠規(guī)范，答案正確

C等過程不規(guī)范或答案錯誤

等解法思路有新意，答案正確

解法的創(chuàng)新性A

B等解法思路有創(chuàng)新，答案不正確

C等常規(guī)解法或答案不正確

AAA或AAB或ABA為A等;ABB或

綜合評價等級BBB或BBA或AAC為B等洪余情況

為C等

三、放飛自我（活動類作業(yè)設(shè)計）

《多邊形內(nèi)角和定理與外角和定理相互證明的探究》

一、認(rèn)真閱讀與思考課本關(guān)于內(nèi)角和定理與外角和定理的探究過程，明確本次探

究的目要和要求：

本次探究的目的：___________________________________

______________________________________________________________________本次探

究的要求：__________________________________________________

______________________________________________________________________二、數(shù)

學(xué)探究的實施方案：1.探究準(zhǔn)備：理解上次作業(yè)的探究活動并明確多邊形內(nèi)角和與

外角和是可以相

互轉(zhuǎn)化的.

2.組建小組，設(shè)計方案：小組內(nèi)交流、研討多邊形內(nèi)角和與外角和可以相互轉(zhuǎn)化

的本質(zhì)和依據(jù).3.合作探究：在具體的探究過程中，遇到了哪些困難？如何解決？

三、總結(jié)反思，交流展示把每個小組的探究方案進彳丁展小交流，每小組根據(jù)自己小

組結(jié)合其它組的方案，

寫出自己組的證明思路以及證明完整過程.

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等答案正確，過程正準(zhǔn)

B等答案正確，過程有瑕疵

答題的準(zhǔn)確性

C等答案不正確,有過程不完整或無答

案（過程）

A等過程規(guī)范，答案正確

答題的規(guī)范性B等過程欠規(guī)范，答案正確

C等過程不規(guī)范或答案錯誤

A等解法思路有新意，答案正確

解法的創(chuàng)新性B等解法思路有創(chuàng)新，答案不正確

C等常規(guī)解法或答案不正確

AAA或AAB或ABA為A等;ABB或

綜合評價等級BBB或BBA或AAC為B等洪余情況

為C等

學(xué)生自我評價

作業(yè)分析與設(shè)計理念

I.設(shè)計理念.多邊形外角和是本節(jié)的重要內(nèi)容，它是在學(xué)完多邊形內(nèi)角和的

基礎(chǔ)上對多邊形外角的特點做的研究，本課時作業(yè)設(shè)計在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)

準(zhǔn)（2022版）》對于多邊形要求的基礎(chǔ)匕從學(xué)生熟悉的生活社會情景，以及符

合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)情境，重視學(xué)生的差異性因材施教并重視作業(yè)的操作

性與應(yīng)用性.本課時作業(yè)設(shè)計了填空題與解答題以及開放性作業(yè)，第一部分以夯

實基礎(chǔ)為主讓學(xué)生從不同角度理解與掌握多邊形內(nèi)角和定理，解答題讓學(xué)生用不

同的方法解決問題，旨在讓學(xué)生在運用多邊形外角和定理解決問題時復(fù)習(xí)與回顧

多邊形內(nèi)角和定理的理解與運用，讓學(xué)生體會多邊形內(nèi)角和與外角和的區(qū)別與聯(lián)

系并為開放性作業(yè)埋下伏筆.開放性作業(yè)是對整個第一節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí)與回顧也是

對兩個定理理解的升華.學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運用、實踐探索活動的積累，逐步

產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心、求知欲.

2.形式特點.本節(jié)課時作業(yè)設(shè)計注重多邊形外角和定理的理解與運用，讓學(xué)

生在夯實基礎(chǔ)的同時學(xué)著靈活運用多邊形外角和解決問題.讓每個學(xué)生都能有所收

獲，讓每個學(xué)生都能理解和運用多邊形外角和解決問題.尊重學(xué)生個體性差異，設(shè)

計層次性作業(yè).第1,2題考查學(xué)生對多邊形外角和的掌握情況，難度較低，主要是

讓學(xué)生從實際問題和生活實際從發(fā)體會多邊形外角和，通過生活中的現(xiàn)實情境，

引導(dǎo)學(xué)生感悟多邊形外角和的意義.第3,4,5,6,7題考查學(xué)生對多邊形外角

和的運用情況，主要從不同角度不同形式考查學(xué)生對多邊形外角和的理解，通過

這些題目讓學(xué)生更好掌握軍邊形外角和定理.第8,9題是考查學(xué)生對多邊形外角

和的綜合運用.放飛自我是對整個第一節(jié)知識的升華，難度較高，主要針對學(xué)有余

力的學(xué)生，組織學(xué)生經(jīng)歷圖形分析與比較的過程，引導(dǎo)學(xué)生會關(guān)注事物的共性、

分辨事物的差異，經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)和證明的過程，感悟推理過程的傳遞性，增

強推理能力，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界.通過對本節(jié)兩個定理的互相證明讓

學(xué)生更好的理解兩個定理之間的聯(lián)系.

第二節(jié)平行四邊形

第一課時平行四邊形的性質(zhì)

內(nèi)容解析.

本節(jié)作業(yè)的主要內(nèi)容是針對平行四邊形定義性質(zhì)以及兩條平行線之間距離

的概念的鞏固與應(yīng)用。通過不同題型的訓(xùn)練，幫助學(xué)生加深對平行四邊形性質(zhì)：

行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分的掌握，為后面的學(xué)習(xí)打牢

基礎(chǔ).

作業(yè)目標(biāo)

1.了解平行四邊形概念.

2.掌握平行四邊形的特殊性質(zhì).

3.了解兩條平行線之間距離的意義，學(xué)會度量兩平行線之間的距離.

知識點鞏固

平

行

四

邊

形

作業(yè)完成時間：30分鐘.

紙筆類作業(yè)設(shè)計

完成時間難易程度

一、夯實基礎(chǔ)（請如實填寫完成I寸間及對難易程度的評

價）

（一）填空題

1.如圖，QABCD中,AB=3fAD=2fAABC=120.

（1）oABC。的周長是10:

(2)ZBCD=60-,120

(3)若對角線AC,BD相較于點0,取BC中點E,連接0E,則0E=L5.

2.如圖，OA8CO中對角線AC,3。相交與點O,AB=20,AD=\2f則&48O

3.如圖，已知直線〃”/〃，點4,8在直線加上,點C,。在直線〃上，若

S△八8。=4,則S^\BC=4.

4.在探索數(shù)學(xué)明題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC是

DA8CO的對角線，點E在AC上，AD=AE=BE,ZD=102,則NBAC的大小

是26，.

5.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與8D相交于點0,ABLAC,

若A8=4,BC=28,則BO=}0

6.如圖，在A8CO中，點E在邊A。上，以8E為折痕，將△A8E向上翻折，

點A正好落在。。邊上的點尸處，若△尸。石的周長為10,若aBC尸的周長為

22,則C尸的長為6

(二)解答題

7.如圖，已知在OA3C。中，E、尸是對角線AC上的兩點，且。F〃8E.求證:

AF=CE.

證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:,AD=BC,AD//BC,

：?4DAF=/BCE,

YDF//BE,

A^AFD=LCEBCAAS)

:?AF=CE.

8.如圖，已知在Q48CO中，對角線AC,BD交與點、O,過點O作直線

EF交AD、BC于點、E、F,求證：OE=OF.

證明：:四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AO=CO,AD/7BC

：.ZOAE=ZOCF,又

???NAOE=NCOF,

：,^AEO=^CFO(ASA),

OE=OF.

變式如圖，已知在UABC。中，對角線AC,BD交與點、0,過點。作直

線所交84的延長線于點七、。。的延長線于點F,求證：OE=OF.

證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，E

9.（教科書第76頁例1改編）如圖，在QABC。中，AD=2CD,E為A。的

中點，連接求證：NA8O2NABE.證

明：???四邊形A8C。是平行四邊形AED

：.AD//BC,

:.NAEB=/EBC,

*AD=2CD,AB^CD,

,\AE-AB,

：.NAEB二NABE,

:.NABO2/ABE.

變式如圖，在oABC。中，8七平分NA8C,b平分N8CD求證:

(1)BELCF\

證明：???四邊形A8CD是平行四邊形，AEF

J.AB//CD,7_>

???NAAC+/8CD=180,/

又TBD平分々ABC,CF平分NBCD,什/V

BC

工ZFBC+ZECB=90y~

；?/BGC=90。,即BFLCE.

(2)AF=DE.

證明：:四邊形A8CD是平行四邊形，

:,AD〃BD,

???ZFBC=ZAFB.

又???8。平分NABC,

:./FBC=/ABF,

???NAFB=NABF,

：,AB=AF.

同理，得CD=DE,

又，：AB=CD,

；?AF=DE,

：.AF-EF=DE-EF,BRAE=DF.

作業(yè)評價表

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等答案正確，過程正準(zhǔn)

等答案正確，過程有瑕疵

答題的準(zhǔn)確性B

C等答案不正確,有過程不完整或無作

答（過程）

A等過程規(guī)范.答案正確

答題的規(guī)范性B等過程欠規(guī)范，答案正確

C等過程不規(guī)范或答案錯誤

A等解法思路有新意，答案正確

解法的創(chuàng)新性B等解法思路有創(chuàng)新，答案不