2024-2025學年江蘇省蘇州市高二上學期第一次月考數(shù)學學情檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過點，斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.2.已知平面經(jīng)過點，且法向量為是平面內(nèi)任意一點，則（）A. B.C. D.3.設(shè)，若方程表示關(guān)于直線對稱的圓，則的取值范圍為（）A. B.C D.4.已知是互相垂直的單位向量，若直線和的方向向量分別為，則和所成的角的余弦值為（）A0 B. C. D.5.已知兩點都在直線上，且兩點橫坐標之差為2，則的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.46.若平面截圓柱得到一個離心率為橢圓，則平面與該圓柱底面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.7.已知曲線，將曲線上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線；將曲線上各點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線．則曲線與的一個公共點坐標為（）A. B.C. D.8.在四面體中，平面，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若平面的法向量為，平而的法向量為，直線的方向向量為，則（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則10.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，是上一點（除去與軸的交點），則（）A.周長為定值 B.的最大值為3C.恒為銳角 D.直線與圓相交11.過點的直線與圓相切，切點分別為，則（）A.當時， B.存在，使得C.直線經(jīng)過點 D.直線與直線的交點在定圓上三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.已知，寫出平面的一個法向量______.13.若兩條直線與平行，則實數(shù)的值為______．14.在平面直角坐標系中，定義為Ax1,y1,Bx2,y2兩點之間的“折線距離”.已知點為直線上一點，為直線上一點，則的最小值為______四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，為側(cè)面的中心，記，（1）以為基底表示向量；（2）已知，，若，求長．16.在直角坐標系中，是射線上的一點，是射線上一點（都異于點），為線段的中點．（1）若，求直線的方程；（2）若點在直線上，求的最小值．17.如圖，都是橢圓頂點，從上一點向軸作垂線，垂足為焦點，且．（1）求的離心率；（2）若的面積比的面積大，求的方程．18.如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是棱上一點，且到平面的距離為1，求直線與平面所成角正弦值．19.已知圓．（1）求過點且與圓相切的直線的方程；（2）若點是圓上兩點，①若共線，求的面積最大值及此時直線的方程；②若直線斜率存在，且直線與斜率互相反數(shù)，證明：直線經(jīng)過定點．2024-2025學年江蘇省蘇州市高二上學期第一次月考數(shù)學學情檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過點，斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用直線點斜式方程求解即得.【詳解】經(jīng)過點，斜率為的直線方程為，即.故選：A.2.已知平面經(jīng)過點，且法向量為是平面內(nèi)任意一點，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的數(shù)量積列式計算即得.【詳解】依題意，，而平面的法向量為，因此，即.故選：D.3.設(shè)，若方程表示關(guān)于直線對稱的圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用方程表示圓的充要條件列式，結(jié)合圓心在直線上求解即得.【詳解】由方程表示圓，得，圓的圓心為，又此圓關(guān)于直線對稱，則，即，因此，解得或，所以的取值范圍為.故選：B.4.已知是互相垂直的單位向量，若直線和的方向向量分別為，則和所成的角的余弦值為（）A.0 B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)和所成的角為，由題意可得，借助向量夾角公式計算即可得.【詳解】設(shè)和所成的角為，則.故選：C.5.已知兩點都在直線上，且兩點橫坐標之差為2，則的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】利用兩點間距離公式及點到直線距離公式計算即得.【詳解】設(shè)，則，，顯然點不在直線上，則邊上的高，所以的面積.故選：B.6.若平面截圓柱得到一個離心率為橢圓，則平面與該圓柱底面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的幾何特征，橢圓上兩點間的最長距離是長軸長，最短距離是短軸長，結(jié)合圓柱軸截面圖形進行求解即可.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓直徑為2，則平面截圓柱所得橢圓的短軸長，而橢圓的離心率為，令橢圓長半軸長，由，得，又過橢圓長軸及圓柱下底面圓直徑的軸截面圖形如圖中直角梯形，其中是圓柱下底面圓直徑，是橢圓長軸，，過作于，則等于平面與該圓柱底面的夾角，，所以平面與該圓柱底面的夾角的余弦值為.故選：A7.已知曲線，將曲線上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線；將曲線上各點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線．則曲線與的一個公共點坐標為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出曲線與的方程，再聯(lián)立求出交點坐標即可.【詳解】設(shè)曲線上任意點，則點在曲線上，于是得曲線：，同理得曲線：，由，解得，因此曲線與的公共點坐標為.故選：C8.在四面體中，平面，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】用解三角形建立四面體中邊角關(guān)系得到方程組，從而解出，再由線面角的定義得出本題答案.【詳解】設(shè)，，則，則，由②③可得代入①得，∵，∴，∴，∵平面，∴則直線與平面所成角為.∴故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若平面的法向量為，平而的法向量為，直線的方向向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】ABD【分析】利用平面的法向量、直線的方向向量逐項計算判斷即得.【詳解】對于A，由，得，則，解得，A正確；對于B，由，得，則，解得，B正確；對于C，由，得，，，則或，C錯誤；對于D，由，得，，，則，D正確.故選：ABD10.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，是上一點（除去與軸的交點），則（）A.周長為定值 B.最大值為3C.恒為銳角 D.直線與圓相交【正確答案】AC【分析】對A：利用橢圓定義即可得；對B：結(jié)合橢圓定義與基本不等式計算即可得；對C：借助余弦定理與基本不等式可得恒為正，即可得解；對D：借助點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離后，結(jié)合點坐標計算可得的范圍，即可得解.【詳解】對A：由橢圓定義可知，又，故周長為，故A正確；對B：由，則，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，故B錯誤；對C：，當且僅當時，等號成立，故恒為正，即恒為銳角，故C正確；對D：圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離，由是上一點（除去與軸的交點），故有且，則，即，則，即，故直線與圓相離，故D錯誤.故選：AC.11.過點的直線與圓相切，切點分別為，則（）A.當時， B.存在，使得C.直線經(jīng)過點 D.直線與直線的交點在定圓上【正確答案】ACD【分析】A.利用數(shù)形結(jié)合解決；B.利用長范圍，并計算的范圍，即可判斷；C.求以點為圓心，為半徑的圓，兩圓相減，求直線的方程，即可判斷；D.根據(jù)直線與的方程，判斷兩直線的關(guān)系，即可判斷.【詳解】A.當，點是原點，如圖，，，則，則，根據(jù)對稱性可知，，所以是等邊三角形，即，故A正確；B.，因為，所以，即，則，,所以不存在，使得，故B錯誤；C，，所以以點為圓心，以為半徑的圓為，與圓相減得，恒過點，故C正確；D.直線的斜率，所以直線的方程為，即，直線恒過點，且直線恒過點，且滿足，即兩直線互相垂直，所以兩直線的交點在以，為直徑的圓上，故D正確.故選：ACD關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合解決問題，并且熟練掌握切線長的幾何關(guān)系，以及切點弦長所在直線的求法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.已知，寫出平面的一個法向量______.【正確答案】（答案不唯一，與共線的非零向量）【分析】設(shè)出向量的坐標，再利用平面法向量的意義列式計算即得.【詳解】設(shè)，則，故，取，得，所以平面的一個法向量.故答案為.13.若兩條直線與平行，則實數(shù)的值為______．【正確答案】【分析】由兩條直線平行列式計算即得.【詳解】由直線與平行，得，所以.故14.在平面直角坐標系中，定義為Ax1,y1,Bx2,y2兩點之間的“折線距離”.已知點為直線上一點，為直線上一點，則的最小值為______【正確答案】①.##0.5；②.4.【分析】設(shè)出點的坐標，利用給定的定義列出函數(shù)關(guān)系，借助分段函數(shù)求出最小值即得.【詳解】設(shè)，則，當時，PM=4?3x>1；當時，；當時，PM=3x?4>12，因此對任意，，所以當，即點時，取得最小值；設(shè)，則，令，于是，顯然，當時，MN=8?3z>8；當時，；當時，MN=3z?8>4，因此對任意，，所以當，即時，如點，取得最小值4.故；4.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，為側(cè)面的中心，記，（1）以為基底表示向量；（2）已知，，若，求長．【正確答案】（1）；（2）2.【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運算，用給定基底表示.（2）根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運算律計算即得.【小問1詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，為側(cè)面的中心，則.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，由，得，解得，所以長為2.16.在直角坐標系中，是射線上的一點，是射線上一點（都異于點），為線段的中點．（1）若，求直線的方程；（2）若點在直線上，求的最小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可設(shè)，，即可表示出點，利用計算可得，即可得，即可得直線的方程；（2）將點坐標代入直線方程可得，即可借助兩點間距離公式用表示出AB，從而可得其最小值【小問1詳解】由題意可設(shè)，，，，則，若，則有，化簡得，故，，即，故直線的方程為，即；【小問2詳解】由點在直線上，故有，整理得，故，即AB的最小值為.17.如圖，都是橢圓的頂點，從上一點向軸作垂線，垂足為焦點，且．（1）求的離心率；（2）若的面積比的面積大，求的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可得，求出，，又，即可得到，，進而求出離心率；（2）由題意，，結(jié)合圖形可得，解得，，得出橢圓方程.【小問1詳解】由題意可得，，．由，，解得，，故橢圓的離心率為．【小問2詳解】由題意，又因為，，所以，化簡得又因為，所以，解得，，所以橢圓.關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想注意圖形特征得出，再結(jié)合已知化簡計算求解得出，即可.18.如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是棱上一點，且到平面的距離為1，求直線與平面所成角正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）取中點，令交于點，連接、，借助線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合中位線性質(zhì)及平行四邊形判定定理可得四邊形為平行四邊形，再利用平行四邊形性質(zhì)即可得，最后用線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當空間直角坐標系后，分別求出平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得；（3）設(shè)，再利用點到平面距離公式計算可列出關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍可求得的值，在求出直線的方向向量后，利用空間向量夾角公式計算即可得.【小問1詳解】取中點，令交于點，連接、，由四邊形是矩形，故為中點，故，且，又平面平面，故，又，故且，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面，即平面；【小問2詳解】由平面，平面，平面，故，又是矩形，故，所以、、兩兩垂直，以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則、、、，故，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，取、，則有，，，，即，，所以，則二面角的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，則，，所以，因為點到平面的距離，因為，解得，故，又，則，則，則直線與平面所成角正弦值為.19.已知圓．（1）求過點且與圓相切的直線的方程；（2）若點是圓上兩點，①若共線，求的面積最大值及此時直線的方程；②若直線斜率存在，且直線與斜率互為相反數(shù)，證明：直線經(jīng)過定點．【正確答案】（1）；（2）①3，；②證明見解析.【分析】（1）判斷給定點在圓上，求出經(jīng)過切點的半徑所在直線的