目錄分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題分析摘要本文經(jīng)過(guò)查閱大批量的書籍材料和文獻(xiàn)，對(duì)分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行了全面闡述。首先，介紹了三種常見的分?jǐn)?shù)階微積分(Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分、Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分、Caputo分?jǐn)?shù)階微積分)。其次，介紹了分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題。再次，介紹了推導(dǎo)最優(yōu)性條件和離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題兩種不同的求解方法，來(lái)求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題。最后，通過(guò)一個(gè)數(shù)值例子，驗(yàn)證了上述求解方法的可行性。關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微積分；分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)；分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制；數(shù)值優(yōu)化目錄TOC\o"1-3"\h\u1609引言 II引言微積分是古典數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的里程碑。任意階微積分的理論是分?jǐn)?shù)階微積分，整數(shù)階微積分的延伸就是分?jǐn)?shù)階微積分。300多年前分?jǐn)?shù)階微積分誕生，和經(jīng)典的微積分提出幾乎是同一時(shí)間。這個(gè)概念剛剛被提出就引起了許多學(xué)者的討論、熱議。起因是法國(guó)數(shù)學(xué)家L'Hopital和德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz聊天時(shí)，就關(guān)于導(dǎo)數(shù)的階變?yōu)?/2時(shí)，其意義是什么展開了激烈的討論。那時(shí)Leibniz也搞不明白其定義與意義，僅僅是猜測(cè)分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)可以在兩個(gè)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)內(nèi)引入某種插入方法。之后關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展大致分了三個(gè)階段：從1695年至1812年，分?jǐn)?shù)階微積分還僅僅停留在一些純數(shù)學(xué)的猜測(cè)。1812年至1974年，Liouville,Riemann,Holmgren等科學(xué)家對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行體系化的研討，分?jǐn)?shù)階微積分的有關(guān)概念逐漸被提出，給出了精確的定義、性質(zhì)并出版了第一本微積分著述。同時(shí)，由Krug和Grunwald兩位教授統(tǒng)一了Liouville、Riemann分?jǐn)?shù)階微積分的定義。但其缺少明確的物理意義，實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景所以發(fā)展的不是很快。自1974年以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分在應(yīng)用、理論上都有了相對(duì)迅速的進(jìn)步，應(yīng)用方面越來(lái)越廣泛。因?yàn)樵诓牧狭W(xué)，生物物理學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)等方面都具有分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用的背景。所以，分?jǐn)?shù)階微積分慢慢進(jìn)入學(xué)者們的研究課題。尤其是數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特首先提出了大量的分?jǐn)?shù)維存在于自然界中和許多科學(xué)技術(shù)中的現(xiàn)實(shí)，分?jǐn)?shù)階微積分研究更是日漸火爆。目前，分?jǐn)?shù)維動(dòng)力學(xué)和分形幾何作為分?jǐn)?shù)階微積分的根基，使分?jǐn)?shù)階微積分得到了快速的發(fā)展。當(dāng)前在控制系統(tǒng)、生物組織、振蕩、松弛、運(yùn)輸和擴(kuò)散理論、高分子材料的解鏈、統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程、黏性力學(xué)及非牛頓體力學(xué)等諸多領(lǐng)域中得以普遍應(yīng)用。描繪具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料及過(guò)程時(shí)特別合適被分?jǐn)?shù)階微積分方程所描述。建模方便、參數(shù)物理意義清晰、形容準(zhǔn)確等是分?jǐn)?shù)階微積分方程對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的刻畫優(yōu)點(diǎn)，故復(fù)雜力學(xué)和物理過(guò)程數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵器具之一就是分?jǐn)?shù)階微分方程，尤其是從上個(gè)世紀(jì)八、九十年代起，研究的熱點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)為研究分?jǐn)?shù)階微積分，并且其被應(yīng)用于眾多領(lǐng)域。當(dāng)前，在工程運(yùn)用研究和基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研討中最常見的有4種分?jǐn)?shù)階微積分定義：Riesz分?jǐn)?shù)階微積分、Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分、Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分、Caputo分?jǐn)?shù)階微積分。若方程中的導(dǎo)數(shù)是由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的，則稱該方程為分?jǐn)?shù)階微分方程。在此基礎(chǔ)上若再加一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，就變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題。整數(shù)階動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制中，因?yàn)橹笜?biāo)函數(shù)是一個(gè)泛函數(shù)，故求泛函極值即可解出其優(yōu)化問(wèn)題。如今，整數(shù)階系統(tǒng)最優(yōu)控制的難題已經(jīng)基本被解決，整數(shù)階系統(tǒng)最優(yōu)控制的歐拉—拉格朗日方程能夠被解出，并在對(duì)其全部情況進(jìn)行數(shù)學(xué)分析后，已經(jīng)得出了求解無(wú)約束和有約束條件、固定端點(diǎn)、可變端點(diǎn)下最優(yōu)控制的辦法。可是，對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)地研究，特別是是對(duì)于分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制的研究才剛剛處于萌芽階段，現(xiàn)在獲得的成績(jī)還比較少，但分?jǐn)?shù)階微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題已經(jīng)是分?jǐn)?shù)階方程理論研究的一個(gè)重點(diǎn)方向。通過(guò)理論和實(shí)踐的證明，分?jǐn)?shù)微分方程能夠更切確地反映某個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。伴隨著分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)理論的進(jìn)步和實(shí)際工程中的運(yùn)用，對(duì)建模和控制的要求越來(lái)越高、越來(lái)越準(zhǔn)確。所以，該系統(tǒng)具有非常廣泛的應(yīng)用前景。此前，在研究分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制方向上，南伊利諾伊大學(xué)的Carbondale教授和PayameNoor大學(xué)的\t"/https/77726476706e69737468656265737421e3f44990357e6b5e7501c7a29d41/Detail/index/SSJDLAST/_blank"SaraGhaderi教授都是各自研究方向上的鴻儒碩學(xué)。首先，本文將介紹常見分?jǐn)?shù)階微積分的定義，包括：Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分、Caputo分?jǐn)?shù)階微積分、Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分。其次，介紹分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的相關(guān)基本原理，即：分?jǐn)?shù)階微積分方程的唯一性和存在性、分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制的計(jì)算方法。最后，利用推導(dǎo)最優(yōu)性條件和離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題兩種不同的求解方法求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題。從而簡(jiǎn)要介紹分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題，加深對(duì)分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的理解，為以后更好地將分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制運(yùn)用到實(shí)際應(yīng)用中奠定基礎(chǔ)。1分?jǐn)?shù)階微積分本節(jié)主要介紹了三種常見的分?jǐn)?shù)階微積分的定義，即：Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分、Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分、Caputo分?jǐn)?shù)階微積分。相關(guān)內(nèi)容見文獻(xiàn)[1,3]。1.1Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分1.1.1Grunwald-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)令函數(shù)定義在區(qū)間(a,b)上，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，的整數(shù)部分記為[](即[]是小于的最大整數(shù))，若在區(qū)間[a,t]上存在m+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；>0，m至少取到[]；則次數(shù)為（m≤＜m+1）的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為： (1-1)其中，故式(1-1)也可表示為： (1-2)1.1.2Grunwald-Liouville分?jǐn)?shù)階積分在此意義下的階Grunwald-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為： (1-3)同時(shí)，它也有類似于(1-3)的表達(dá)形式： (1-4)特別地，取積分下限a=0,=,得到比較常用的所謂G-L意義下的階微分與階積分： (1-5) (1-6)1.2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分1.2.1Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分在介紹Riemann-Liouville定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之前，我們首先介紹一個(gè)下面的定義：設(shè)f(t)，t∈(0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的0≤t≤T，有 (1-7)為函數(shù)f(x)的階Riemann-Liouville積分，其中為歐拉gamma函數(shù)。1.2.2左邊Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分(LRLFD)當(dāng)正整數(shù)m，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的左邊Riemann-Liouville微分定義為： (1-8)1.2.3右邊Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分(RRLFD)當(dāng)正整數(shù)m，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的左邊Riemann-Liouville微分定義為： (1-9)1.3Caputo分?jǐn)?shù)階微積分1.3.1左Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，關(guān)于現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題研究分?jǐn)?shù)階微積分時(shí)，我們必須重視它和實(shí)際運(yùn)用相聯(lián)系的部分。而Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義則很好地解釋了在實(shí)際操作中的物理意義。首先給出左型Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的式子為： (1-10)由于n為大于的最小整數(shù)，為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，相對(duì)于R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，Caputo型定義將對(duì)函數(shù)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)放進(jìn)積分內(nèi)，改為對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用分部積分法可以將式(1-10)化為： (1-11)其中。1.3.2右Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間(a,b)上，，n是大于的最小整數(shù)，則階數(shù)為的右Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為： (1-12)1.3.3Caputo分?jǐn)?shù)階積分當(dāng)式(1-11)中的時(shí)，Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義為： (1-13)此時(shí)，函數(shù)的階Caputo型導(dǎo)數(shù)與其階左R-L型分?jǐn)?shù)階積分即式(1-8)是完全一致的。1.4幾種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系1.4.1Riemann-Liouville和Caputo導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系他們兩者之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系為： (1-12) 以及 (1-13)1.4.2Grunwald-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的延伸Riemann-Liouville定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是Grunwald-Liouville定義下分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的延伸，故Riemann-Liouville定義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用范疇也就相對(duì)更加普遍適用。同理，與Grunwald-Liouville定義延展到Riemann-Liouville定義的辦法也類似，Caputo定義也是對(duì)Grunwald-Liouville定義的另一種創(chuàng)新方式。在Grunwald-Liouville定義的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新，從而可以延展出Riemann-Liouville定義與Caputo定義。他們?nèi)咧g相互等價(jià)，當(dāng)階數(shù)α為正整數(shù)時(shí)。當(dāng)觀察完這幾種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義后，我們可以給出一個(gè)結(jié)論，引入Riemann-Liouville定義后，能夠精煉分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；而Caputo定義的引入，可以使其拉普拉斯變換式更加簡(jiǎn)明，方便分?jǐn)?shù)階微分方程的研究。在實(shí)際操作時(shí)，究竟使用哪一種定義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，必須根據(jù)實(shí)際情況決定。2分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題若方程組的導(dǎo)數(shù)是由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的，那么則稱方程組為分?jǐn)?shù)階微分方程。在此基礎(chǔ)上若再加一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，就變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題。選擇某個(gè)可以控制的目標(biāo)對(duì)象特征是最優(yōu)控制要解決的難題，對(duì)象可以在此范疇內(nèi)穩(wěn)定地運(yùn)轉(zhuǎn)，能夠使某一項(xiàng)指標(biāo)到達(dá)最優(yōu)值?，F(xiàn)在，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題已經(jīng)在航空、航海、導(dǎo)航等領(lǐng)域成為了一個(gè)不可或缺的問(wèn)題。最優(yōu)控制理論在科學(xué)家的不斷刻苦研究下，目前取得了非常大的進(jìn)展，而且已經(jīng)成為現(xiàn)代控制理論的一個(gè)重要分支。本部分將會(huì)重點(diǎn)介紹分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題，就分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題而言，使得其可以用數(shù)學(xué)的方式表示。本部分內(nèi)容見文獻(xiàn)[8]。2.1分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述本部分主要利用Caputo定義的分?jǐn)?shù)階微分方程所描述的系統(tǒng)進(jìn)行介紹，用狀態(tài)空間表達(dá)式表示：狀態(tài)方程： 輸出方程： 其中，t為時(shí)間，是r維的控制輸入向量，是n維的狀態(tài)向量，是m維狀態(tài)向量，、都是連續(xù)可微的函數(shù)。2.2系統(tǒng)的初始項(xiàng)和終端項(xiàng)對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的初始項(xiàng)和終端項(xiàng)，就是分?jǐn)?shù)階微分方程組的邊界條件。在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中，實(shí)際上就是狀態(tài)變量從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程。變量隨著時(shí)間的變化而變化從而形成一條軌線。這條軌線的初始項(xiàng)可以記為，為初始時(shí)間，軌線的終端項(xiàng)可以記為，為達(dá)到終端項(xiàng)的時(shí)間。2.3最優(yōu)控制性能指標(biāo)在一個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)，一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)從初始項(xiàng)轉(zhuǎn)移到終端項(xiàng)，能夠經(jīng)過(guò)不同的方式來(lái)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，怎么評(píng)估和衡量某個(gè)系統(tǒng)在一個(gè)控制系統(tǒng)作用條件下的優(yōu)劣，這就需要我們對(duì)這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)量化評(píng)定，那么稱這個(gè)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)為性能指標(biāo)。一般以積分型泛函的形式呈現(xiàn)，為以下形式： (2-1)其中，J為性能指標(biāo)，包含兩項(xiàng)分別是：為在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)提出的一些要求，如穩(wěn)態(tài)誤差等；為暫時(shí)狀態(tài)過(guò)程提出的一些要求，比如暫態(tài)誤差等。2.4分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題對(duì)一個(gè)實(shí)際中的分?jǐn)?shù)階控制問(wèn)題，他輸入控制的u(t)一般會(huì)受到某些條件的束縛。滿足約束條件的控制u(t)的一個(gè)取值要相對(duì)應(yīng)于r維空間中的一個(gè)點(diǎn)。那么，一切滿足條件的控制作用取值就構(gòu)成了r維空間中的一個(gè)集合，記作Ω稱之為容許控制集合。因此，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題可以定義為： 3分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題解法接下來(lái)，本部分將用到上文中介紹到的分?jǐn)?shù)階微分定義等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)而推導(dǎo)最優(yōu)性條件和離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題兩種不同的求解方法求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題。介紹分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題，能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的理解和掌握進(jìn)一步加深。3.1求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)性條件的推導(dǎo)通過(guò)介紹分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的求解和數(shù)值計(jì)算，能夠更加深刻的認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制。對(duì)介紹分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題具有重要意義。首先利用推導(dǎo)出的最優(yōu)性條件求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題。從公式、數(shù)值算法、數(shù)值結(jié)果三個(gè)角度對(duì)分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)述。3.1.1分?jǐn)?shù)最優(yōu)控制問(wèn)題的公式首先介紹兩個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)公式分別為左卡普托分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(LCFD)文獻(xiàn)中CFD通常指的事LCFD。和右卡普托分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(RCFD)，通過(guò)這兩個(gè)公式來(lái)定義FOCP文獻(xiàn)中CFD通常指的事LCFD。左卡普托分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(LCFD)： (3-1) 右卡普托分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(RCFD)： (3-2)其中f(t)是時(shí)間相關(guān)函數(shù)，α是導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。通過(guò)上述的定義中可以推出FCOP的定義如下：找到使性能指標(biāo)最小的最優(yōu)控制u(t) (3-3)受系統(tǒng)動(dòng)態(tài)約束 (3-4) 以及初始條件 (3-5) 其中x(T)是狀態(tài)變量，F(xiàn)和G是兩個(gè)任意函數(shù)。當(dāng)=1時(shí)，上述問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)控制問(wèn)題。這里極限積分被認(rèn)為是0和1，并且我們認(rèn)為0<<1。但是這并不是FOCP方法所要的，介紹上述條件都是為了方便計(jì)算。為了獲得FOCP方法所必需的方程，我們結(jié)合上述方程(3-3)和(3-4)使用拉格朗日乘法公式，得到方程的變化量，用分部積分法求解修改方程，使其不包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的變化，添加上必要的終端條件，并且設(shè)置的系數(shù)為0。故可以給出以下公式： (3-6) (3-7) (3-8) ， (3-9)其中稱為拉格朗日乘數(shù)，也稱為共態(tài)和伴隨變量。方程(3-6)到(3-8)表示FOCP的歐拉-拉格朗日方程。這些方程給出了考慮的FOCP最優(yōu)性的必要條件。它們與經(jīng)典最優(yōu)控制問(wèn)題的歐拉-拉格朗日方程非常相似，只是得到的微分方程包含左、右分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)?？梢钥闯鲈跇O限→1的過(guò)程中方程(3-6)至(3-8)簡(jiǎn)化為使用標(biāo)準(zhǔn)方法獲得的方程式。作為給出的例子，考慮下面的FOCP：找到能夠使二次性能指標(biāo)最小的最優(yōu)控制u(t) (3-10)受系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響 (3-11)以及初始條件 (3-12)根據(jù)上述方法，可以證明該問(wèn)題的必要?dú)W拉-拉格朗日方程和終端條件是： (3-13) (3-14)以及 (3-15)這里所介紹的迭代算法是專門針對(duì)此問(wèn)題的。對(duì)于一般的線性問(wèn)題，盡管上述方程將包括一些附加系數(shù)，但算法在其他方面將保持不變。3.1.2數(shù)值算法此部分，我們將介紹上述定義的FCOP的數(shù)值算法，通過(guò)基于方程(3-13)等價(jià)于Volterra積分方程的事實(shí) (3-16)方程(3-16)可通過(guò)對(duì)方程應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)積分算子導(dǎo)出(3-13)附加的初始條件。遵循類似的方法，方程(3-14)可以轉(zhuǎn)化為積分方程 (3-17)由于方程(3-16)和(3-17)非常相似，故兩者都將被稱為Volterra積分方程。方程(3-16)被稱為前向Volterra積分方程(FVIE)，將方程(3-17)稱為后向Volterra積分方程(BVIE)。方程組(3-16)和(3-17)的數(shù)值解，通過(guò)將時(shí)域[0,1]劃分為N個(gè)相等的區(qū)間，并對(duì)0到N的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，其中N是正整數(shù)。假設(shè)h=，則節(jié)點(diǎn)j處的時(shí)間如下。h代表步長(zhǎng)h代表步長(zhǎng)下文的介紹中為了簡(jiǎn)單起見，我們將j處x(t)和u(t)的數(shù)值計(jì)算值表示為，下面，我們使用線性函數(shù)來(lái)近似兩個(gè)連續(xù)節(jié)點(diǎn)之間的x(t)和u(t)。利用上述表示以及公式(3-16)，節(jié)點(diǎn)i處的x(t)值可以表示如下 (3-18)其中，被定義為： (3-19)通過(guò)一些計(jì)算，(3-18)變?yōu)椋? (3-20)其中被定義為： (3-21)其中，使用等式(3-17)并按照上述方法，節(jié)點(diǎn)i處的的值可以表示如下： (3-22)其中，為： (3-23)其中，M=N-i，我們?cè)?3-20)和(3-22)中我們?nèi)?。為了進(jìn)一步介紹，換另一種方式編寫方程(3-20)和(3-22) (3-24)和 (3-25)方程(3-24)和(3-25)用2N未知數(shù)表示一組2N線性聯(lián)立方程，并且可以用高斯消去法或共軛梯度法迭代法求解。這里我們要特別注意，這兩個(gè)方程包含了4個(gè)三角形子矩陣。可以借助直接算法，利用子矩陣的結(jié)構(gòu)可以有效地存儲(chǔ)和求解它們。對(duì)于一個(gè)狀態(tài)、一個(gè)控制變量和小N這樣求解并沒(méi)有問(wèn)題。但是，如果x和u是維數(shù)遠(yuǎn)大于1的向量，那么對(duì)于大N或非線性方程，直接算法方案可能是無(wú)效的，則迭代方案可能是可取的。接下來(lái)，我們給出了求解方程(3-24)和(3-25)的迭代方案。接下來(lái)的任務(wù)則是考慮非線性方程的迭代方案，方案如下：對(duì)j=0，…N-1和=0的值進(jìn)行初步的猜測(cè)，我們假設(shè)所有的的值都等于0。用方程(3-24)計(jì)算j=1，…N的值，并且保存這個(gè)值。注：。用方程(3-25)計(jì)算j=1，…N的值，并且替換步驟1中j=0，…N-1初步猜測(cè)的值。注：==0。算出錯(cuò)誤的值和，這里和在迭代k中表示和的值。如果這些錯(cuò)誤大于預(yù)先設(shè)定的值，則重復(fù)步驟2和3，否則退出迭代。3.2離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題一種求解一類非線性最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值算法是此部分的介紹的重點(diǎn)。我們首先介紹一種新的二階數(shù)值積分技術(shù)，用于分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)，使用一組精心選擇的求積點(diǎn)。在這種數(shù)值積分技術(shù)的基礎(chǔ)上，介紹連續(xù)分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的離散化方案。進(jìn)一步介紹離散化成本函數(shù)相對(duì)于離散化控制的梯度計(jì)算公式，并提出了一種基于梯度的算法，用于求解離散化最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解。3.2.1離散化非線性規(guī)劃問(wèn)題的提出和準(zhǔn)備工作本部分所介紹的一般問(wèn)題可以表示如下： (3-26) (3-27) (3-28)其中和分別是某些正整數(shù)n和m的狀態(tài)變量和控制變量，T>0是一個(gè)固定常數(shù)，L，S以及是已知的正整數(shù)p的函數(shù)，是給定向量，是[0，T]上所有有界分段連續(xù)函數(shù)的集合，并且，表示Caputo的導(dǎo)數(shù)，其中Γ(·)是Gamma函數(shù)。首先，我們考慮這個(gè)問(wèn)題的數(shù)值解，故在本方法中，我們假設(shè)方程(3-26)至(3-27)有一個(gè)解，并集中精力為此問(wèn)題制定一個(gè)數(shù)值方案。此方案考慮了所有可行的FOCP∈[0,1]。為了數(shù)值求解方程(3-26)至(3-28),我們需要引入方程(3-27)的數(shù)值方案。我們首先做出以下的假設(shè)：對(duì)于它的所有論點(diǎn)，f是兩次連續(xù)可微的。在x和u中，L是連續(xù)可微的。對(duì)于x和u，s和g分別是連續(xù)可微的。明顯方程(3-26)至(3-28)是一個(gè)約束最優(yōu)控制問(wèn)題。我們首先通過(guò)以下無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題來(lái)近似該問(wèn)題。 其中，[z]=max{0,z}和λ>1是常數(shù)。由于項(xiàng)中的被積函數(shù)是光滑的，因此可以與原目標(biāo)被積函數(shù)L相結(jié)合，它在x和u上仍然是連續(xù)可微的，因此，我們可以在文中遵循無(wú)約束形式重寫上述問(wèn)題： ，t∈[0,T]，x(0)= (3-29)通過(guò)方程(3-30)我們能夠被寫為下列等價(jià)形式： (3-30)其中，t∈[0,T],i=0,1,…,n。3.2.2離散化設(shè)N為正整數(shù)。我們用節(jié)點(diǎn)，j=0，1，...，N組成[0,T]的分區(qū)，其中h=T/N。然后，我們用傳統(tǒng)的梯形規(guī)則近似方程(3-30)中的F,得到以下離散目標(biāo)。 (3-31)其中，L是方程(3-26)和()中對(duì)于所有可行的j的被積數(shù)。因?yàn)?，?duì)于所有可行的i和j方程(3-30)等價(jià)于 (3-32)我們現(xiàn)在考慮(3-32)中積分的近似。假設(shè)A1，相對(duì)于t，x，u是兩次連續(xù)可微的。因此，對(duì)于k=1,2，…，j，我們將泰勒的擴(kuò)展應(yīng)用于在任意一點(diǎn)趨向 (3-33)其中,和分別是展開的一階項(xiàng)和二階項(xiàng)的系數(shù)將(3-32)中最后一項(xiàng)積分中的替換為(3-33)的RHS。對(duì)于任意的k=1,…,j (3-34)其中，,,。使用方程(3-34)，知我們應(yīng)選擇使得第三項(xiàng)為零，使得(3-34)中的截?cái)嗾`差為。的這種選擇如下： (3-35)將方程(3-35)中的表達(dá)式替換為方程(3-34)，并將得到的表達(dá)式與(3-32)相結(jié)合。對(duì)于j=1,2,...,N， (3-36)其中在方程(3-35)和中給出。它已經(jīng)在中顯示為常數(shù)C>0，與h無(wú)關(guān)。忽略，方程(3-36)成為具有截?cái)嗾`差的近似于(3-32)的方程。使用方程(3-36)，如果要使，我們需要計(jì)算。但是，和不能直接從該方案中獲得。所以，需要確定和的近似值。利用線性插值和泰勒展開，我們分別提出了和的近似。對(duì)于任何索引j≥k，使得∈[0,1],我們分別用和近似和，這里，，。上述線性插值中的截?cái)嗾`差是，使用上面的差值，我們可以將近似為。上述近似的截?cái)嗾`差也為。試想，假設(shè)f是A1連續(xù)可微的兩倍。用上述近似代替(3-36)中的，我們直到獲得截?cái)嗾`差為止，對(duì)于方程(3-32)我們有以下方案：對(duì)于j=1,2，…，N (3-37)顯然，方程(3-37)定義了具有截?cái)嗾`差的方程(3-32)的時(shí)間步進(jìn)方案。上述方案是隱式的，因?yàn)樗侵械囊粋€(gè)非線性系統(tǒng)。我們現(xiàn)在定義了一個(gè)顯式的單步方案，通過(guò)下面的泰勒展開進(jìn)一步逼近方程(3-37)中第j項(xiàng)：假設(shè)A1，存在于(t，x，u)的任何給定值中。結(jié)合上述等式和方程(3-37)，我們可以得到以下近似： 省略項(xiàng)并重新組織結(jié)果，我們得到 (3-38)

對(duì)于j=1，2，...，N，其中是n×n階矩陣 (3-39)對(duì)于c=1，2，...，n，l=1，2，...，n和 (3-40)要計(jì)算，我們需要求解方程(3-38)至(3-40)。現(xiàn)在證明了方程(3-38)至(3-40)在h足夠小時(shí)是唯一可解的。由于在[0,1]上的x中是兩次連續(xù)可微的，在[0,1]上是有界的。使得M=。使用方程(3-39)，我們得到。選擇和。當(dāng)，我們得到，對(duì)于所有可行的i。因此，是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的。通過(guò)Levy-Desplanques定理，我們得到了是非奇異的，因此方程(3-38)有一個(gè)唯一的解。介紹和，并且使得，。利用方程(3-31)和(3-38),我們可以提出以下離散最優(yōu)控制問(wèn)題： (3-41) (3-42)3.2.3求解策略我們首先確定方程(3-41)相對(duì)于U的梯度，然后介紹一種求方程(3-41)和(3-42)的近似解的算法。從U的定義中，我們知道方程(3-41)和(3-42)的一階最優(yōu)性條件是，對(duì)于r=1,2,...,m,j=0,1,...,N。我們現(xiàn)在確定對(duì)于所有可行的r和j,的梯度。利用方程(3-41)和方程(3-38)至(3-40),我們得到對(duì)于j=1，...，N和r=1，2，...，m： 使用方程(3-42)，我們知道當(dāng)p<j時(shí)。由此可見，上述表達(dá)式可改寫為j對(duì)于j=1,2,...,N： (3-43) (3-44)我們現(xiàn)在需要確定，通過(guò)方程(3-38)，我們知道對(duì)于p=1，2，...，n有。取導(dǎo)數(shù)關(guān)于上述方程兩側(cè)的給出，重新排列這個(gè)方程可以給出： (3-45)其中是(3-38)中的系統(tǒng)矩陣， 使用方程(3-39)和(3-40)，我們看到上述矩陣的條目由,對(duì)于i=1,2,...,n,l=1,2,...,n。為了計(jì)算和，我們將介紹以下算法：(1)當(dāng)j=0時(shí)，如果p=1則： ， 如果p>1則 ，(2)對(duì)于j=1，2，...，N，如果p<j，則和。如果p=j，則 ， 如果p=j+1則 ， ，如果p>j+1，則 ， 其中，，當(dāng)k>j+1時(shí)。以上就是通過(guò)梯度公式，介紹用簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題求解過(guò)程。4數(shù)值最優(yōu)控制例子此部分我們將通過(guò)介紹具體實(shí)例來(lái)求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題(FOCPs)的數(shù)值解。以證明上一部分所介紹的分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題的可行性。本章將會(huì)介紹兩種方法求解一類分?jǐn)?shù)最優(yōu)控制問(wèn)題的算法，一種是基于“先優(yōu)化，然后離散”方法，另一種是離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題。首先給出了以下FOCP問(wèn)題： (4-1)受制于動(dòng)力系統(tǒng): (4-2)以及邊界條件： (4-3) (4-4)精確解由方程(4-4)給出。4.1“先離散，再優(yōu)化”方法首先，我們將方程(4-1)代入到(4-2)中得到： (4-5)然后，用Clenshaw和Curtis公式近似x并且近似Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)和x。之后，方程(4-5)用以下形式表示： (4-6)其中，，這里t,r=0,1，…，N。對(duì)于所有的i=1,2，…，N-1。接下來(lái)，用將方程(4-6)轉(zhuǎn)換為： (4-7)接著用Clenshaw和Curtis公式 (4-8)其中，，。將積分(4-7)近似為移位Chebyshev多項(xiàng)式的有限和的項(xiàng)如下式所示： (4-9)然后根據(jù)瑞利-里茨方法，給出了目標(biāo)泛函(4-1)的臨界點(diǎn)： (4-10)這樣就得到了一個(gè)非線性代數(shù)方程組。用牛頓方法求解該系統(tǒng)得到并且利用邊界條件得到。然后，求解FOCP的對(duì)(x,u)具有表單 (4-11) (4-12)4.2離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題本部分將給出一個(gè)離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題求解最優(yōu)控制的例子。為了驗(yàn)證3.2中提出的離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題求解分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問(wèn)題，我們利用3.2中方法求解文獻(xiàn)[14]中的一個(gè)例子問(wèn)題。利用MATLAB中的FMINCON軟件包實(shí)現(xiàn)了序列二次規(guī)劃。所有計(jì)算都是在MATLAB環(huán)境下，在一臺(tái)配置為4GB內(nèi)存和i5-8250CPU的PC上進(jìn)行的。首先我們考慮以下的分?jǐn)?shù)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題XE"[1]"XE"[1]"：接著我們將其化為固定端點(diǎn)取為初始條件的程序可以得出以下的結(jié)果：圖4-1最佳狀態(tài)圖4-2最優(yōu)控制取為初始條件的程序可以得出以下的結(jié)果：圖4-3最佳狀態(tài)圖4-4最優(yōu)控制在取不同值時(shí)繪制相應(yīng)的最佳狀態(tài)和最優(yōu)控制圖像，顯然，當(dāng)分別取上述值時(shí)，它們?yōu)锽ang-Bang結(jié)構(gòu)。從所得結(jié)果可以清楚地看出，我們所提出的方法可以有效的解決這個(gè)分?jǐn)?shù)階時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題。參考文獻(xiàn)楊增芳.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的最優(yōu)控制研究[D]:[碩士學(xué)位論文].鄭州:鄭州大學(xué),2012.王玉嬌.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用[D]:[碩士學(xué)位論文].太原:太原理