第五章

圖形的軸對稱5.2

課時2線段的垂直平分線1.知道線段垂直平分線的定義.2.知道并掌握線段垂直平分線性質(zhì),能利用線段垂直平分線的性質(zhì)解決實際問題.3.能利用尺規(guī)作圖畫出線段的垂直平分線.

有一個公園需要在道路

l上新建一個售票中心，并要讓售票中心到兩個娛樂項目

A區(qū)和

B區(qū)的距離相等.A區(qū)

B區(qū)

l售票中心應(yīng)該建在哪里呢？讓我們一起通過今天的學(xué)習(xí)來解決吧！探究線段AB是軸對稱圖形嗎？如果是，你能找出它的一條對稱軸嗎？AB在草稿紙上畫一條線AB，然后對折AB，你發(fā)現(xiàn)了什么?ABO

通過折疊可以看到AB對折后能夠重合，說明線段AB是軸對稱圖形，而且折痕就是線段AB的對稱軸.

觀察這條對稱軸與線段AB存在著什么關(guān)系?可以發(fā)現(xiàn)這條對稱軸垂直且平分線段AB.

線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸.ABOl數(shù)學(xué)語言：因為直線

l⊥AB，AO=BO，所以直線

l是線段AB的垂直平分線．線段垂直平分線的定義：

垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線

(簡稱：中垂線).

如圖，直線

l是線段AB的垂直平分線，點C是

l上的任意一點.在線段AB上畫出以直線

l為對稱軸的一組對應(yīng)點D和D′，連接CD和CD′.(1)你認(rèn)為線段CD和CD′之間有什么關(guān)系？說說你的理由.ACBDD′lO線段CD和線段CD′長度相等嘗試·思考方法1：折疊法方法2：度量法ACBDD′lOCD=15cm,CD′=15cm.CABDD′lO方法3：因為

l是線段AB的垂直平分線，

所以

l⊥AB，所以∠COA=∠COB＝90°

又因為點D和點D′在線段AB上關(guān)于對稱軸

l對稱，

所以O(shè)D=OD′

所以O(shè)C=OC，

所以ΔCOD≌ΔCOD′（SAS）．

所以CD=CD′

ACBDD′lO(2)當(dāng)點D和點A重合時，點D′位于什么位置？此時，線段CD和線段CD′之間還有(1)中的關(guān)系嗎？由此你可以得到什么結(jié)論？點D′位于點B的位置，CD=CD′

如圖，直線

l是線段AB的垂直平分線，點C是

l上的任意一點.在線段AB上畫出以直線

l為對稱軸的一組對應(yīng)點D和D′，連接CD和CD′.ACBDD′lO數(shù)學(xué)語言：因為直線

l⊥AB，AO=BO，所以AC=BC．線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.線段垂直平分線的特征：(1)線段的垂直平分線滿足兩個條件：

①經(jīng)過線段中點；

②垂直于這條線段，兩者缺一不可.(2)線段的垂直平分線是直線.溫馨提示如圖，已知線段AB，如何作出它的垂直平分線?假設(shè)線段AB的垂直平分線已作出，那么(1)這條直線有什么特征?線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.(2)如何確定這條直線上的兩個點?

用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試.如果只用尺規(guī)呢?

與同伴進行交流.??AB溫馨提示：需要確定的點是線段對稱軸上的點，因此應(yīng)當(dāng)從線段兩端進行“對稱”的操作.思考·交流例

如圖，已知線段AB，請用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線.已知：線段AB求作：線段AB的垂直平分線.作法：①分別以點A和點B為圓心，以大于

AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D.②作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線．??ABCD請你說說這樣作的道理.新課引入中新建售票中心的位置：連接A區(qū)、B區(qū)，然后作連接線段的垂直平分線，與道路

l的交點即為售票中心.如圖，已知直線

l

和

l

上的一點P，如何用尺規(guī)作

l

的垂線，使它經(jīng)過點P?

能說明你的作法的道理嗎?AlPC∟(1)以P為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線l于點A和B.(2)分別以點A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在點C、D處相交.(3)過點C、點D和點P的直線就是所作的直線.BD操作·思考1.關(guān)于線段，下列說法中正確的是(

C

)A.線段有無數(shù)條對稱軸B.線段的對稱軸一定是這條線段的垂直平分線C.線段是軸對稱圖形D.線段的對稱軸一定經(jīng)過線段的兩個端點C2.在△ABC中，∠B=50°，∠C=35，分別以點A和點C為圓心，大于

AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為(

)A.60°B.70°C.75°D.85°ABCDMNA3.如圖，在△ABC中，AB=2.5，AC=6，CB=6.5，EF垂直平分AC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是()A.

8.5B.

9C.

12D.

12.5ABEPFCB4.如圖所示，某乳業(yè)公司要在街道旁修建一個奶站M，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A，B到它的距離相等?連接居民區(qū)A和居民區(qū)B，作線段AB的垂直平分線，與街道的交點就是奶站M的位置.居民區(qū)A·居民區(qū)B

·街道·M5.如圖，ΔABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點P.試說明：(1)PA=PB=PC.(2)點P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？解：因為點

P是邊AB、BC的垂直平分線的交點，所以PA=PB，PB=PC.所以PA=PB=PC.所以PA=PC，點

P必在

AC的垂直平分線上.結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交