第9講端點(diǎn)效應(yīng)

一、問題綜述

解決導(dǎo)數(shù)相關(guān)的含參恒成立問題的常規(guī)方法有(1)構(gòu)造函數(shù)(2)分離參數(shù).但有時解決問題困難重

重.有些試題中定點(diǎn)、端點(diǎn)、最值湊在了一起，可關(guān)注函數(shù)取端點(diǎn)值的特殊性，先通過式子成立的充分條

件求出參數(shù)的取值范圍，再證明其必要性來解決這類問題的一個十分有效方法.江湖人稱“端點(diǎn)效應(yīng)”.

“端點(diǎn)效應(yīng)”適用范圍：不等式恒成立問題.導(dǎo)數(shù)大題中，條件已知函數(shù)/(無)與某個常數(shù)之間恒定的

大小關(guān)系，含參恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)剛好是區(qū)間端點(diǎn)，求參數(shù)的范圍.

“端點(diǎn)效應(yīng)”思想與步驟：

(1)由端點(diǎn)效應(yīng)初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個范圍是必要的；

(2)利用這個范圍去判斷導(dǎo)數(shù)是否恒正或者恒負(fù)；

(3)如果導(dǎo)數(shù)不變號，則由端點(diǎn)得到的范圍是最終答案，如果導(dǎo)數(shù)變號，則去判斷函數(shù)的增減性(若

函數(shù)先減后增，則最大值在端點(diǎn)處取得，若函數(shù)先增后減，則最小值在端點(diǎn)處取得).

二、典例分析

類型一：指數(shù)型端點(diǎn)效應(yīng)

【例1】(2010.新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)/(x)=>—1-工「涼.

(1)若4=0,求/(元)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x'O時/'(x)NO,求“的取值范圍.

分析本題第(2)問若構(gòu)造函數(shù)需要用不等式e*Nl+x放縮，若分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)需要二次求導(dǎo)，也

比較繁瑣.

本題常規(guī)解法如下.

解法1：(今類襯企)

f'(x)=ex-1-2ax由(1)知e'21+x,當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時等號成立，

故f'(x)>x—2ax=(1—2a)x,

從而當(dāng)1—時，尸(x)N0(xN0)而/(0)=0,

當(dāng)x'O時，/(x)>0,

由e">1+x(xw0)可得>1-x(xw0),

當(dāng)。>g時，f'(x)<ex-l+2a(e-x-1)=e-\ex-l)(er-2a),

故當(dāng)xe(O,ln2a),尸(x)<0*而,(0)=0,

于是當(dāng)K￡(0,ln2〃)時,

綜上。的取值范圍是18,3.

解法2：(利用端直致感)

f(x)=ex-1-x-ax220對于光之0恒成立,

又f\x)=ex-l-2ax,f\x)=ex-2a,7'"(x)在［0,M)單調(diào)遞增,fn(x)>f"(.Q)=l-2a

［J(U)=。

當(dāng)l—2aN0nawg時，((無)單調(diào)遞增，所以尸(x)2尸(0)=0

得人>)在［0,+8)單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0,滿足題意.

當(dāng)l—2a<0na>g時，令/"(無。)=0,則無e(0,x。)尸(幻單調(diào)遞減，

當(dāng)了€(0,乙)尸(x)〈尸(0)=0,/(>)單調(diào)遞減，

則/(%())</(0)=0，不滿足題意?

綜上。的取值范圍是18,3.

【方法小結(jié)】注意端點(diǎn)滿足當(dāng)/(X)在了20單調(diào)遞增必定滿足題意，由充分性求得結(jié)果，再證

明必要性.利用端點(diǎn)效應(yīng)，縮小了參數(shù)a的范圍，使得求解過程十分簡便.

【練習(xí)1】(2017.新課標(biāo)H)已知函數(shù)/'(x)=(l-

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)xAO時，/(尤)4依+1，求。的取值范圍.

【練習(xí)2］已知函數(shù)/(x)=+￡H).

(1)試討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若％w［0,+oo),/(%)2lne恒成立,求。的取值范圍.

x+1

類型二：對數(shù)型端點(diǎn)效應(yīng)

［例2］設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)求了(%)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若對于任意的［1,+8),都有/(%)4左(必—1),求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

分析本題法1、構(gòu)造根(%)=攵(兀2—1)0,研究機(jī)(%)最值.此不等式是超越不等式，求解復(fù)雜.

法2、處理左(爐-l)-%lnxZO為/(x)=左(%-4)一1111之0,發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)(1,0)為區(qū)間端點(diǎn)，且左端點(diǎn)為

x

最小值，為我們創(chuàng)造了努力方向.

法3、m(x)=k(x2—1)—xlnx>0^~m(l)=0,用端點(diǎn)效應(yīng)解答.

現(xiàn)提供法二、法三的解答.

解法L略

解法2：(今類何希)

,1

Vx>l,xlnx<k(f9-1)ot(x)=k(x——)-lnx>0,(x>l)

x

注意f(l)=0/(x)=：

當(dāng)左WO時，r'(x)40,f(x)在［L+oo)上單調(diào)遞減，Z(x)</(l)=0,不合題意

當(dāng)上>0時，令r'(x)=0,A=l-4%2,

@A<0,即左時，f(x)>0,

f(無)在［1,”)上單調(diào)遞增，所以f(x)2%l)=0,符合題意.

②A>0即0<左<3時，設(shè)兩根為玉,々(無|<尤2)，

由韋達(dá)定理得占無2=1>°，與+*2=4>°，

k

0<玉<1<々，

當(dāng)兀21時，XG(1,x2),t\x)<0,/(X)單調(diào)遞減，%￡(%2，+8)/(%)>0/(%)單調(diào)遞增，

t(x2)<?1)=0不合題意.

綜上：k>-.

2

解法3：(利用端點(diǎn)致密)

\/x>l,xlnx<k(x2-1)<^>r(x)=k(x2-1)-xlnx>0,(x>1),

注意Z(l)=0,f(x)=2"一1一In羽f(l)=2/1-1,

①左時，f'(l)<0,此時存在(l,x0)使?x)<0j(x)在(l,x0)上單調(diào)遞減，

XG(l,%)時，(X)＜《1)=0不合題意.

②左2工時，r"(x)=2左一1224一120,(尤21),

2x

此時，(x)在［1,+00)上單調(diào)遞增，t'(x)>t'(V)=2左一120,心)在［1,+00)上單調(diào)遞增，

所以/<x)之/⑴=0,符合題意.

綜上：k>—.

2

【方法小結(jié)】注意端點(diǎn)滿足機(jī)⑴=0,適合用端點(diǎn)效應(yīng)，當(dāng)m'(x)在x'O單調(diào)遞增必定滿足題意，由充分性

求得結(jié)果，再證明必要性.求解過程十分簡便.

【練習(xí)3］已知函數(shù)/'(尤)=a(%2-9-皿尤.⑴若y=〃x)在x=2處取得極小值，求”的值；

⑵若〃耳±0在［1,+8)上恒成立，求”的取值范圍；

【練習(xí)4】(遼寧省鞍山市第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次模擬考試?yán)頂?shù))

已知函數(shù)/'(x)="*-ar(XGR).

(1)當(dāng)。=-1時，求函數(shù)/(x)的最小值；

(2)若x20時，/(-x)+ln(x+l)>l,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

類型三：三角函數(shù)的端點(diǎn)效應(yīng)

【例3】設(shè)函數(shù)/(x)=Qsinx-xcos%,無￡0,—.

(1)當(dāng)a=l時，求證：/(%)>0；

(2)如果/(%)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值.

JI

解(1)fr(x)=acosx-cosx+xsinxa=l,f\x)=xsinx>0,xe0,—,

所以/(x)在0,1單調(diào)遞增，所以/'(X)2/(0)=0.

(2)由(1)知a=l時，/(x)>0,

注意/(0)=0,f\x)=(a-l)cosx+xsinx,

JI

f'\x)=(2-a)sinx+xcosx,xe0,—,

a<l時，/■"(*)>0,八尤)在0,|上單調(diào)遞增，

又f'(O)=a-1<0/(?)=/>0,

所以存在唯一天40卷］使［(不)=0,

當(dāng)尤e(0,尤0),/'(無)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)無?1%,?),尸(尤)>0,/(無)單調(diào)遞增,

篇⑺=/(%)</(0)=0不合題意?

綜上：〃的最小值為1.

【方法小結(jié)】注意端點(diǎn)滿足f(0)=0,適合用端點(diǎn)效應(yīng)，當(dāng)((x)在0,1單調(diào)遞增必定滿足題意，由充分性

求得結(jié)果，再證明必要性.求解過程十分簡便.

【練習(xí)5】(2008全國)設(shè)函數(shù)/(x)=‘in龍.

2+cosx

(1)求/(%)單調(diào)區(qū)間；

(2)如果對任意九之0,都有了(%)工以，求。的取值范圍.

【鞏固練習(xí)參考答案】

【練習(xí)2］解:(1)f\x)=a+e\

①當(dāng)a20時，/'(%)>0恒成立.,./(%)在ET

②當(dāng)av0時，令f\x)=0,得％=ln(-a)

/.f(x)在(—oo,ln(—a))J,(ln(—a),+oo)T

(2)/(x)>In—og(x)=e*+ln(x+1)+ar-1>0VxG［0,+oo)恒成立g(0)=0,

x+1

gf(x)=exH-----+a

x+1

g(x)=ex+ln(x+1)+辦一1N0對Vx￡［0,+oo)恒成立的必要條件是g'(0)=1+1+aN0即

g(x)=ex+ln(x+l)+ax—l>ex+ln(x+1)—2x—1a>-2

下證充分性

當(dāng)a2—2時，?「x￡［0,+oo)

令h(x)=ex+ln(x+1)-2x+1(x>0)hf(x)=ex——---2在［0,+8)T

x+1

，〃(x)2〃(0)=0,即〃(x)在[0,+oo)T故g(x)N/z(x)2〃(0)=0

當(dāng)。<-2時,g'(0)<0,*e[0,+8)使得%€[0,%),尸(x)<0,x」[O,Xo),〃x)即/(x)單調(diào)遞減，得

/(^())</(0)=0不合題意

綜上心-2

【練習(xí)3](2)解法1：

因?yàn)椤?0在[1,+8)上恒成立，即〃初“，W0對Vx€(1,+8)成立當(dāng)X=1時，/(X)=0

1n

當(dāng)XW1時，(考慮分離參數(shù))〃力1m署設(shè)g(x)=￡，g'(x)=」：j；]jT

設(shè)/z(x)=%之一2x2Inx-1,h'(%)=-4xlnx,(%>1)

當(dāng)％w[l,+oo),"(%)vOM(%)單調(diào)遞減,所以71(力4硝)=0=/(%)40公(力單調(diào)遞減

由洛必達(dá)法則1加3工=1加上=!所以a22

解法2：

當(dāng)aV0時f'(x\=--<0,/(x)單調(diào)遞減,/(x)</(1)=0不符合題意

X

當(dāng)a>0時，1(尤)二———土幺

①當(dāng)時，〃尤)在［1,+8)上單調(diào)遞增，“尤"/⑴=0符合題意

②當(dāng)0<a/時，在1,—單調(diào)遞減，在(收單調(diào)遞減

22a

O<ado<2a<l,1—2a>0,〃⑷單調(diào)遞增所以〃(0)<拈］=0不符合

因?yàn)閔f(a)=—l+—=

2V72a2a

綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為+8

解法3：(利用端直致感)

尸(x)=2axT注意/⑴=o,/(力z0在［1,+oo)上恒成立,

X

當(dāng)/⑴=2a—l2Ona?!時(無)2無一」20(x21)

2x

得xe［l,+a))"(x)單調(diào)遞增，所以/(X)2/⑴=0符合題意

當(dāng)/''⑴時,存在/e[l,+co)使得無?1,飛)時,f'(x)<0,所以當(dāng)》中,.)時,

/(尤)<"1)=0不合題意.

綜上：?的取值范圍為1,+^.

【練習(xí)4】(2)由/(—x)+ln(%+l)N1得，ex+ax+ln(x+1)>1,g(x)=ex+ax+ln(x+1),

則g'(%)=6%+々+^—,所以/1(%)=靖+Q+^—,h\x)=ex---,

X+lX+l(x+l)

當(dāng)xNO時，"(%)為增函數(shù)，所以“(%)之外(0)=。，所以g'(x)="+Q+」一為增函數(shù)，

X+1

g(0)=e[)+a+——-=a+2,所以g'(x)之。+2,又g(0)=l,

0+1

當(dāng)at-2時,g\x)>0,所以g(x)Ng(O)=l；

當(dāng)"<一2時，存在不￡(0,+8)使得%￡(0,%)時，g&)<0,所以當(dāng)無￡(0,%0)時，g(x)<g(0)=1