第1講平面向量

［考情分析I1.平面向量是高考的熱點和重點，命題突出向量的基本運算與工具性，在解答題

中常與三角函數(shù)、直線和圓錐曲線的位置關系問題相結合，主要以條件的形式出現(xiàn)，涉及向

量共線、數(shù)量積等.2.常以選擇題、填空題形式考查平面向量的基本運算，中低等難度；平面

向量在解答題中一般為中等難度.

考點一平面向量的線性運算

【核心提煉】

1.平面向量加減法求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”.對平面

向量減法應抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價

轉化，即可快速得到結果.

2.在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待即可，其運算方法類似于

代數(shù)中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比.

例1⑴如圖所示，A。是aABC的中線，0是AO的中點，若歷=2油+"京,其中2,〃WR,

則的值為()

A

T

“DC

A.-gB.g

c.T

D4

答案A

解析由題意知，cb=j（cb+cA）==|XQCB+CA）

AQ+|CA=IAB—^AC,

131

則入=不"=一『故2+〃=一,

(2)已知e”02是不共線向量，a=me\-\-2e2,h=ne\-ei，且若〃〃4則］=

答案一2

解析"：a//b,mX(-1)=2X”，：.~=-2.

(3)A,B,C是圓。上不同的三點，線段C。與線段AB交于點。，若灰?=%后+必必(2e1<,

〃GR),則2+〃的取值范圍是

答案(1,+8)

解析由題意可得，OD=kdc^kkOA+knOB(()<k<1),又4,D,B三點共線，所以奴+M

=1,則2+〃=(>1,即%+〃的取值范圍是(1,+°°).

易錯提醒在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理恰當?shù)剡x取基底，變形要

有方向，不能盲目轉化.

跟蹤演練1(1)如圖，在平行四邊形ABCQ中，E,F分別為邊A8,BC的中點，連接CE,

DF,交于點G.若公=2而+(2,〃CR),則"=.

答案2

解析由題意可設無=工工(04<1),

~?——?—?f—?]—?、Y"—?—?

則CG=x(CB+BE)^x[CB+^CD)^CD+xCB.

因為公=2詼+〃之，①與無不共線,

所以2=],fi=x,所以工=去

JT

(2)如圖，在扇形048中，ZA0B=yC為弧AB上的一個動點,^OC=xOA+yOB,則x

+3y的取值范圍是

答案[1,3]

解析設扇形的半徑為1,以0B所在直線為x軸，0為坐標原點建立平面直角坐標系(圖略),

則8(1,0),A/,里|

C(cos。，sin。)

(其中N80C=。，owewg.

則3b=(cos。，sine)=x],孝j+y(l,O),

2v§sin。_小sin-

解得/e-,y=cos。一七一,

故x+3y=^^^+3cosJ-小sing

=3cos。一坐sin。，OWg].

令g(6)=3cos。一為"而仇

易知g(0)=3cos。一乎sin。在0,上單調遞減,

故當。=0時，g(0)取得最大值為3,

TT

當6=]時，g(。)取得最小值為1,

故x+3y的取值范圍為[1,3].

考點二平面向量的數(shù)量積

【核心提煉】

1.若a=(x,y),則⑷二也^二^^+優(yōu)

2.若A（X|,>>!）,8（X2,丫2）,則|A8|=6（X2—X1）2+。，2—yI）2.

3.若a=（xi,a），b=（xi,垃），。為a與6的夾角，

■riA-z+n.y；

則3"=麗

例2（1）（2020?全國IH）已知向量a,b滿足|。|=5,|。|=6,ab=-6,則cos（a,a+b）等于（）

3119,17n19

A--35B--為注口京

答案D

解析V\a+b\1=（a+b）2=d1+2a-b+b2

=25—12+36=49,

A\a+b\=7,

a（a+b）er+ab

cos〈a,a+）〉=|a||a+臼=|a||a+b|

25-619

5X7-35,

(2)已知扇形OAB的半徑為2,圓心角為拳點C是弧AB的中點，OD=~^OB,則歷?油的

值為()

A.3B.4C.—3D.—4

答案C

解析如圖，連接co,

:點C是弧A8的中點，

COLAB,

又；OA=OB=2,OD=~\oB,NAOB=專，

CDAB=(db-dc)AB

=-\oBAB=~^OB\OB-OA)

=^OAOB-^OB2

=1x2X2xf-1')-1x4=-3.

(3)已知在直角梯形ABC。中，AB=4O=2CD=2,NAOC=90。，若點M在線段AC上，則|麻

+而|的取值范圍為.

答案［乎，2啦］

解析以A為坐標原點，AB,A。所在直線分別為x軸，y軸，

建立如圖所示的平面直角坐標系，

則A(0,0),B(2,0),C(l,2),0(0,2),

設Qf=42(0W/lWl),則M(，，2A),

故麗=(一，，2-2A),MB=(2-X,-22),

則施+而=(2—22,2-4A),

A\MB+MD\=^/(2-2A)2+(2-4A)2

=q20G0W2W1,

當2=0時，|而+而|取得最大值為2啦，

當a=，時，1兩十而1取得最小值為2g,

易錯提醒兩個向量的夾角的范圍是[0,7T],在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向

量的夾角可能是0或兀的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不僅要求其數(shù)量積小于零，

還要求不能反向共線.

跟蹤演練2(1)(2019?全國I)已知非零向量a,b滿足⑷=2|旬,且3—b)_Lb,則“與力的夾

角為()

答案B

解析方法一設。與》的夾角為仇

因為(a—b)A.b,所以(a—b)b=ab—|Z>|2=0,

又因為⑷=2|臼，所以2|那cosJ一向2=0,

即cos8=；,

TT

又。6[0,71],所以6=1，故選B.

方法二如圖，令晶=a,OB=b,則扇=而1一勵

B

7T

因為(a—b)_L仇所以NO8A=2，

7T

又⑷=2步所以NA0B=§,

即。與6的夾角為全故選B.

⑵(2020?新高考全國I)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范

圍是()

A.(—2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(—4,6)

答案A

解析如圖，取4為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,

則A(0,0),B(2,0),C(3,小)，F(xiàn)(-l,?

設P(x,y),則布=(x,y),AB=(2,0),且一l<x<3.

所以還?矗=(x,y)-(2,0)=2xe(~2,6).

(3)設4,B,C是半徑為1的圓。上的三點，且蘇_1為，則(無一謨1)?(女一勵)的最大值是

()

A.1+^2B.1-^2

C.A/2-1D.1

答案A

解析如圖，作出應)，使得萬1+無=而.則(又一次>(灰:一無)=又2一a.拉;及沆+

OAOB=\-(OA+OB)OC^\-ODOC,由圖可知，當點C在。。的反向延長線與圓。的交

點處時，麗?詼取得最小值，最小值為一也，此時(沆一殖)?(又一為)取得最大值，最大值

為1+啦.故選A.

專題強化練

一、單項選擇題

1.已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E為邊CO的中點，則就等于()

A.~^AB+ADB.^AB-AD

~A1―?—?1-A

CAB+^ADD.AB-^AD

答案A

解析由題意可知，BE=BC+CE=-^AB+AD.

2.（2020?廣州模擬）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分，某學生做引體向上

運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為?每只胳膊的拉力大小均為400N,

則該學生的體重（單位：kg）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2,小-1732）（）

A.63B.69C.75D.81

答案B

解析設該學生的體重為〃，，重力為G,兩臂的合力為r,則IGI=I尸'|,由余弦定理得舊,『

=4002+4002-2X400X400Xcosy=3X4002,A|F,|=400^3,：.\G\=mg=400yf3,m=

40小N69kg.

3.已知向量。=（1,2）,b=（2,-2）,c=（A,-1）,若。〃（2。+/>）,則7等于（）

A.-2B.-1C.-2^-2

答案A

解析*.,a=（l,2）,b=Q,—2）,2a+Z>=（4,2）,又c=（2,-1）,c〃（2a+b）,「?22+4=0,

解得2=-2,故選A.

4.（2020?濰坊模擬）在平面直角坐標系xOy中，點尸（小，1）,將向量成繞點O按逆時針方向

旋轉方后得到向量OQ，則點。的坐標是（）

A.（一也，1）B.（-1,也）C.（-^3,1）D.（-1,小）

答案D

解析由「（正，1）,得2cos看，2sin*）,

???將向量舁繞點。按逆時針方向旋轉方后得到向量詼，

兀,兀

兀,兀

.?.0（-1,?。?

5.（2020?泰安模擬）如圖，在△ABC中，點。是BC的中點，過點。的直線分別交直線AB,

AC于不同的兩點M,N,若贏=小贏，AC=nAN,則加+〃等于（）

A.OB.IC.2D.3

答案C

解析如圖，連接AO,由。為8C的中點可得，AO=^（AB+Ab）

,：M,O,N三點共線,

6.在同一平面中，AD=DC,BE^2ED.^AE=mAB+nAC{m,〃GR),則等于()

A.|B.^C.^D.1

答案A

、——?I—?—?I—?—?—?—?1—?1—?I—?I—?—?

解析由題意得，AD=^AC,DE=qDB,故AE=A。+?！?洲。+1。8=刃。+,48—4￡))

；所以巾=；,〃=；,故〃?+”=?

7.若尸為△ABC所在平面內一點，且|兩一兩=|應+兩一2的，則△ABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析試一無|=|麗+麗一2的，：.\BA\=\（^-PC）+（PB-PC）\=\CA+CB\,即|而一在|=

|CA+CB|,兩邊平方整理得，CACB=0,.,.△ABC為直角三角形.故選C.

8.已知P是邊長為3的等邊三角形ABC外接圓上的動點，則|現(xiàn)+兩+2元|的最大值為（）

A.2小B.3小C.4小D.5小

答案D

解析設△ABC的外接圓的圓心為O,

O1

則圓的半徑為主X]=qj,OA+OB+OC=d,

2

故或+而+2麗'=4歷+db.

又卜防+db|2=51+8用灰W51+24=75,

故忸+麗+2對W5小,

當歷，無同向共線時取最大值.

9.如圖，圓。是邊長為2小的等邊三角形ABC的內切圓，其與BC邊相切于點Q,點用為

圓上任意一點，BM=xBA+yBD（x,yWR）,則2x+y的最大值為（）

A.巾B.小C.2D.2小

答案C

解析方法一如圖，連接D4,以。點為原點，BC所在直線為無軸，D4所在直線為），軸,

建立如圖所示的平面直角坐標系.設內切圓的半徑為r,則圓心為坐標（0,廠），

根據(jù)三角形面積公式，得;X/AABcXr=gxA8XACXsin60。（/△ABC為△A8C的周長），解得r=

1.

易得8（一小，0）,C（小，0）,4（0,3）,0（0,0）,

設M（cos。，1+sinO）,。6[0,2兀），

則^f=（cos6+小，l+sin（9）,筋=（小，3）,礪=（小，0）,

故BM=（cos0+小,1+sin^）=（y[3x+y[3y,3x）,

故^cosf）=y[3x+y[3y—y{3,

sin9=3x—1,

1+sine

“=-3

則

Seos。sin。,2

產3一亍+手

上7c?/cos。.sin。.42，八?花、?47c

所以2x+y=JL_2—+_y_+§=gsin(e+?J+]W2.

當J弋時等號成立.故2x+y的最大值為2.

方法二因為詼=工函+)，訪,

所以\BM\2-3(4x2+2xy+y2)=3[(Zr+y)：—?2xy].

由題意知，x20,y^O,

I痂I的最大值為叱2小產一(小)2=3,

r(2x+y)2口「一(2》+y)2

又不一￡2沖，即----4W—2盯，

3

所以3義木〃+y/W9,得2x+><2,

當且僅當2x=y=\時取等號.

二、多項選擇題

10.(2020?長沙模擬)已知0,力是單位向量，且a+b=(l,-1),貝ij()

A.\a+b\=2

B.a與8垂直

C.。與〃一力的夾角為:

D.\a-b\=l

答案BC

解析|°+例川12+(-1)2=啦,故A錯誤；因為a,b是單位向量，所以⑷2+|肝+2a0=1

+1+2〃6=2,得。功=0,〃與》垂直，故B正確；I“一加=02+從一2q6=2,|〃一句=也，

故D錯誤；cos〈a,a-b)=誓^~々乎,所以。與。一》的夾角為今，故C正確.

M\a-b\1X^224

11.設向量。=伏,2),?=(1,—1),則下列敘述錯誤的是()

A.若攵<一2,則。與b的夾角為鈍角

B.⑷的最小值為2

C.與b共線的單位向量只有一個為惇，一號)

D.若⑷=2步|,則2=26或一20

答案CD

解析對于A選項，若“與分的夾角為鈍角，則〃仍<0且a與分不共線，則/一2<0且ZW—

2,解得"2且上#一2,A選項正確；對于B選項，|a|=^+4>V4=2,當且僅當k=0時

等號成立，B選項正確；對于C選項，俗|=也，與b共線的單位向量為土看，即與/>共線的

單位向量為修，一坐)或(一坐,選項錯誤；對于D選項，?..|a|=2|b|=2啦，；小+4

=2y/2,解得k=±2,D選項錯誤.

12.已知△A8C是邊長為2的等邊三角形，D,E分別是AC,AB上的兩點，且病=無，AD

=2DC,BD與CE交于點O,則下列說法正確的是()

\.ABCE=-\

B.OE+OC=0

C.\OA+OB+OC\=^

7

-

D.ED在BC方向6

答案BCD

解析因為AE=EB,ZXABC是等邊三角形,

所以CELA8,所以Q?無=0,選項A錯誤;

以E為坐標原點，EA,詼的方向分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示,

所以及0,0),4(1,0),仇一1,0),C(0,?砥￥),

設0(0,),),ye(o,回

則BO=(1,y),￡>0=(-;,廠斗^)，

又防〃選，所以>一羋=一3,解得y=坐,

即。是CE的中點，OE+OC=0,所以選項B正確;

\OA+OB+OC\=\1OE+麗=|無尸竽，

所以選項C正確;

Eb=f1,羋），萬2=（1,?。瑧┰诜?方向上的投影為亞匹=、_=',所以選項D正確.

'7\BC\

三、填空題

13.（2020?全國H）已知單位向量a,分的夾角為45。，版一6與a垂直，則k=.

答案坐

解析由題意知（①一））“=0,即hP—"a=0.

因為a,力為單位向量，且夾角為45。，

所以％X12-1XIX坐=0,解得&=9.

14.在△ABC中，AB=\,ZABC=60°,ACAB=~\,若。是△A8C的重心，則壽.啟=

答案5

解析如圖所示，以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

'：AB=\,NABC=60。,

坐)設C(a.0).

"：ACAB^=-\,

=~^a_￡)+(=-1.解得a=4.

：。是△ABC的重心，延長8。交AC于點O,

.*.BC）=|Bb=|x|（a4+BC）

MG