第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省延邊二中高一（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=?1?i，則|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.設(shè)e1，e2為一組基底，已知向量AB=e1?ke2，BC=2e1?A.2 B.?2 C.45 D.3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a=2,b=1,A=45°，B=A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°4.已知平面向量a，b滿足a?(a+b)=3，且|a|=2，|A.π6 B.π3 C.2π35.已知|a|=2，向量a與向量b的夾角為120°，e是與b同向的單位向量，則a在b上的投影向量為(

)A.e B.?3e C.6.已知A(?1,2)，B(3,0)，點(diǎn)P在直線AB上，且|AP|=2|PB|，則點(diǎn)PA.(53,23)或(7,?2) B.(537.△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC+acosB=a，則△ABC的形狀是(

)A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形8.在△ABC中，BC=3BD，CF=2FA，E是AB的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)P，若AP=mA.37 B.47 C.67二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=21+3i，其中A.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.復(fù)數(shù)z是方程x2+x+1=0的解 10.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m?1)，其中n，m∈R，則下列說法正確的是(

)A.若2a+b=(2,6)，則a/?/b

B.若a=?2b，則與b同向的單位向量為(22,?22)

C.若n=111.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形A′B′C′拼成的一個(gè)大等邊三角形ABC.對(duì)于圖2.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.這三個(gè)全等的鈍角三角形可能是等腰三角形

B.若BB′=3,sin∠ABB′=5314，則A′B′=2

C.若AB=2A′B′，則AB′=10BB′

D.若A′三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(2,?2)，c=(1,λ).若c//(2a+13.如圖，在海面上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)B，D，點(diǎn)B在D的正北方向，距離為2km，在某天10：00觀察到某航船在C處，此時(shí)測(cè)得∠CBD=45°，5分鐘后該船行駛至A處，此時(shí)測(cè)得，∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則該船行駛的距離為______km．14.在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinA?sinBsinC=c?ba+b，若a=2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(m2?6m+8)+(m?2)i(m∈R)．

(1)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)16.(本小題15分)

已知向量a和b，則|a|=2，|b|=2，?a,b?=60°求：

(1)a?b17.(本小題15分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(B?C)=sinB?sinA．

(1)求C；

(2)若c=23，△ABC的面積為218.(本小題17分)

折紙是一項(xiàng)玩法多樣的活動(dòng).通過折疊紙張，可以創(chuàng)造出各種各樣的形狀和模型，如動(dòng)物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術(shù)形式，還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).在紙片△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S1，a=5．

(1)證明：S1=5sinBsinC2sinA；

(2)若83S1?sinA=103cos(B?C)+5，求sinA的值；

(3)在(2)19.(本小題17分)

如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成α(0<α<π)角的兩條射線，e1,e2分別為Ox，Oy同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系xOy為α仿射坐標(biāo)系.在α仿射坐標(biāo)系中，若OP=xe1+ye2，記OP=(x,y)．

(1)在α仿射坐標(biāo)系中，

①若a=(m,n)，求|a|；

②若a=(?1,2),b=(?2,1)，且a，b的夾角為π3，求cosα；

(2)如圖所示，在π3仿射坐標(biāo)系中，B，C

參考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.D

6.A

7.B

8.A

9.AD

10.BD

11.ACD

12.1213.214.(20,24]

15.解：(1)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則m2?6m+8=0且m?2≠0，解得m=4；

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，

所以m2?6m+8<0m?2>0，解得2<m<4m>2，可得2<m<4．

16.解：(1)∵|a|=2，|b|=2，?a,b?=60°，

∴a?b=2×2×1217.解：(1)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

又sin(B?C)=sinB?sinA，

得sin(B?C)=sinB?sin(B+C)，

則sinBcosC?cosBsinC=sinB?sinBcosC?cosBsinC，

整理得2sinBcosC=sinB，

而sinB≠0，

則cosC=12，又

0<C<π，

所以C=π3．

(2)由S△ABC=12absinC，

得23=12absinπ3，

即ab=8，

結(jié)合余弦定理可得：18.19.解：(1)①因?yàn)閍=(m,n)，所以a=me1+ne2，則a2=(me1+ne2)2=m2e12+2mne1?e2+n2e22=m2+2mncosα+n2，

所以|a|=m2+2mncosα+n2；