課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ11SXRA003學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上

課題空間向量基本定理（1）

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師王琦北京市第五中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：了解空間向量基本定理及其意義．

教學(xué)重點(diǎn)：空間向量基本定理．

教學(xué)難點(diǎn)：空間向量基本定理．

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)

時(shí)間主要師生活動(dòng)

環(huán)節(jié)

1.復(fù)習(xí)平面向量基本定理的內(nèi)容：

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平

面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

一、若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

類比的一個(gè)基底．

猜想

2.類比平面向量基本定理的功能，提出問(wèn)題1.

問(wèn)題1空間中的任意向量能不能通過(guò)有限個(gè)向量的線性運(yùn)算來(lái)表

示呢？

通過(guò)幾個(gè)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生猜想空間基底中基向量的個(gè)數(shù).

追問(wèn)1為了表示空間中的任意向量，我們至少需要幾個(gè)向量？

追問(wèn)2兩個(gè)不共線的向量還夠用嗎？

意圖：說(shuō)明至少需要三個(gè)向量。

追問(wèn)3任給三個(gè)向量都可以表示空間中的任意向量嗎？

意圖：說(shuō)明當(dāng)三個(gè)向量共面時(shí)無(wú)法表示與其不共面的向量，因而三

個(gè)基向量必須要求不共面。

1.當(dāng)給定的三個(gè)向量?jī)蓛纱怪睍r(shí)，驗(yàn)證任意給定的空間向量是否可

以表示為給定三個(gè)向量的線性組合。

（1）幾何做圖驗(yàn)證：說(shuō)明分解方法

二、（2）GGB軟件驗(yàn)證：驗(yàn)證任意存在唯一性

操作

確認(rèn)

2.當(dāng)給定的三個(gè)不共面向量不滿足兩兩垂直時(shí)，驗(yàn)證任意給定的空

間向量是否可以表示為給定三個(gè)向量的線性組合。

（1）幾何做圖驗(yàn)證：類比兩兩垂直的情況說(shuō)明分解方法

（2）GGB軟件驗(yàn)證：驗(yàn)證任意存在唯一性

1.類比表述空間向量基本定理

問(wèn)題2你能類比平面向量基本定理的表述，寫(xiě)出空間向量基本定

理嗎？

逐句對(duì)比平面向量基本定理的表述，形成空間向量基本定理.

如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，

三、

形成存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得

定理p＝xa＋yb＋zc．

那么，所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，

z∈R}．

2.給出基底相關(guān)概念

我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底(base)，a，b，c都叫做

基向量(basevectors)．

問(wèn)題3空間的基底有多少個(gè)，需要滿足什么條件？

意圖：說(shuō)明任意三個(gè)不共面的向量都能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．空間

的基底有無(wú)窮多個(gè)．

總結(jié)出“{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c不共面．”

3.由一般到特殊給出單位正交基底以及正交分解的定義

特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)

度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．

由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分

解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．

像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把

空間向量進(jìn)行正交分解．

問(wèn)題4平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)