Page24四川省南充市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期7月期末考試注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C. D.12.若一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．則該組數(shù)據(jù)的第35百分位數(shù)為（）A.17 B.20 C.23 D.253.若，則的值是（）A. B. C. D.4.對(duì)于兩條不同直線m，n和兩個(gè)不同平面，以下結(jié)論中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.的內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，，，則的值為（）A B. C. D.26.已知向量與的夾角是，且，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.7.在中，，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.8.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球表面積為，則此三棱錐的體積為（）A.1 B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.B.的一條對(duì)稱軸方程為C.的一個(gè)對(duì)稱中心為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為，10.正方體中，，是中點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.平面C.過，，三點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為D.若為正方體對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最小值為11.在中，內(nèi)角，，對(duì)邊分別為，，，則下列說法中正確的有（）A.若，，則周長的最大值為18B.若，，則面積的最大值為C.若角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，且，，則面積的最大值為3D.若，，為的中點(diǎn)，且，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（14題第一空2分，第二空3分）12.如圖，水平放置的的斜二測直觀圖是圖中的，已知，，則邊的實(shí)際長度是__________．13.如圖，已知正方形的邊長為3，且，與交于點(diǎn)，則__________．14.已知菱形的邊長為2，且，將菱形沿對(duì)角線翻折成直二面角，則異面直線與所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________．第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）若，求的值；（2）若，求與夾角的余弦值．16.某公司為了解員工對(duì)食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對(duì)食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）現(xiàn)從，，這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求這組中抽取的人數(shù)．17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，是與的交點(diǎn)，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正切值．18.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，．①求的面積；②若，求．19.對(duì)于平面向量，定義“變換”：，（1）若向量，，求；（2）求證：；（3）已知，，且與不平行，，，求證：．南充市2023—2024學(xué)年度下期普通高中一年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法即可得到答案.【詳解】.故選：C.2.若一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．則該組數(shù)據(jù)的第35百分位數(shù)為（）A.17 B.20 C.23 D.25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合百分位數(shù)的概念及計(jì)算方法，即可求解.【詳解】這組數(shù)據(jù)有10個(gè)數(shù)，所以，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)，故選：B.3.若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將條件式平方，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正弦二倍角公式即可得解.【詳解】若，兩邊同時(shí)平方可得，即，由正弦二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式可知，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式及正弦二倍角公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.對(duì)于兩條不同直線m，n和兩個(gè)不同平面，以下結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則或或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則或，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.的內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，，，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合正弦定理，即可求解．【詳解】，，，，則由正弦定理可得，．故選：C．6.已知向量與的夾角是，且，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角是，且，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D.7.在中，，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查三點(diǎn)共線定理，依題意可得，，根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理計(jì)算可得.【詳解】由，由已知，則，根據(jù)平面向量三點(diǎn)共線定理得，解得.故選：A8.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為，則，解得（負(fù)值已舍去）；因?yàn)槠矫?，所以，即，即，解得（?fù)值已舍去）；所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是找到球心位置，求出底面外接圓半徑和外接球半徑，再根據(jù)勾股定理求出棱錐的高.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.B.的一條對(duì)稱軸方程為C.的一個(gè)對(duì)稱中心為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)三角恒等變換分析判斷即可；對(duì)于BC：代入檢驗(yàn)，結(jié)合對(duì)稱性的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)闉樽钚≈?，所以的一條對(duì)稱軸方程為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闉樽畲笾?，所以不是的?duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故D正確；故選：ABD.10.正方體中，，是的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.平面C.過，，三點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為D.若為正方體對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用異面直線所成角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；作出截面，并計(jì)算出截面面積，可判斷C選項(xiàng)；將、延展至同一個(gè)平面，由、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，且，，則，所以，，故異面直線與所成角的余弦值為，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，若平面，則，根據(jù)正方體性質(zhì)知四邊形為矩形，且，則其對(duì)角線與不垂直，則B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，所以，，故為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，則，所以，四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，所以，四邊形為矩形，且其面積為，C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，將、延展至同一個(gè)平面，如下圖所示：且，，結(jié)合圖形可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即，易知，，，，則在中，，則，則，則由余弦定理有故最小值是，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是將平面、延展至同一個(gè)平面，再結(jié)合三角恒等變換和余弦定理即可得到最小值.11.在中，內(nèi)角，，對(duì)邊分別為，，，則下列說法中正確的有（）A.若，，則周長的最大值為18B.若，，則面積的最大值為C.若角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，且，，則面積的最大值為3D.若，，為的中點(diǎn)，且，則【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面積公式可判斷AB；根據(jù)角平分線的性質(zhì)及余弦定理，結(jié)合二次函數(shù)求解最值判斷C，根據(jù)余弦定理所得方程進(jìn)行相加即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，即，即，即，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則周長的最大值為18，所以A正確；對(duì)于B，由余弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，則，，和中，分別運(yùn)用正弦定理，得和.因?yàn)?，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為3，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)，中利用余弦定理得，①在中利用余弦定理得，②則①②有，解得，則，則D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是根據(jù)兩角互補(bǔ)，則其余弦值和為0，再結(jié)合余弦定理即可得到方程，解出即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．（14題第一空2分，第二空3分）12.如圖，水平放置的的斜二測直觀圖是圖中的，已知，，則邊的實(shí)際長度是__________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合斜二測畫法的性質(zhì)將圖還原后計(jì)算即可得.【詳解】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示，則，所以.故答案為：.13.如圖，已知正方形的邊長為3，且，與交于點(diǎn)，則__________．【答案】3【解析】【分析】先證明為中點(diǎn)，再利用轉(zhuǎn)化法求得，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】因?yàn)?，則為中點(diǎn)，則，則，則，則.故答案為：3.14.已知菱形的邊長為2，且，將菱形沿對(duì)角線翻折成直二面角，則異面直線與所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________．【答案】①.##0.75②.【解析】【分析】空1：作出空間圖形，找到異面直線夾角或其補(bǔ)角，結(jié)合題意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解.【詳解】如下圖，過點(diǎn)作，連接，結(jié)合題意可知為的中點(diǎn)，且，所以即為二面角的平面角，由題意可知，.因?yàn)椋?，所以，，所以，且，進(jìn)而得到，因?yàn)?，則異面直線與所成角即為或其補(bǔ)角，在中，由余弦定理可得，則異面直線與所成角的余弦值是；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，，則即為所求二面角的平面角，在中，因?yàn)椋?，所以，同理，在中，由余弦定理可得，故答案為：?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空的關(guān)鍵是作出二面角所表示的平面角，再結(jié)合勾股定理和余弦定理即可.第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）若，求的值；（2）若，求與夾角的余弦值．【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積得到方程，解出，再利用向量夾角公式得到答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得：?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，解得：，所以，，所以與夾角的余弦值為.16.某公司為了解員工對(duì)食堂的滿意程度，隨機(jī)抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對(duì)食堂的滿意程度進(jìn)行打分，所得分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，現(xiàn)將所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值，并估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）求這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）現(xiàn)從，，這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取24人，求這組中抽取的人數(shù)．【答案】（1），（2）72.9（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形面積和為1得到關(guān)于的方程，解出值，再利用頻率分布直方圖中平均數(shù)公式即可；（2）首先確定中位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)中位數(shù)為，列出方程，解出即可；（3）求出各區(qū)間人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)即可得到答案.【小問1詳解】由題意知，解得.估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，.【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，所以，解得，即估計(jì)這200名員工所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為72.9.【小問3詳解】的人數(shù)：，的人數(shù)：，的人數(shù)：，所以這組中抽取的人數(shù)為：.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，是與的交點(diǎn)，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用中位線得，再利用線面平行的判定即可；（2）利用線面垂直的性質(zhì)得，再證明，最后根據(jù)面面垂直的判定即可證明；（3）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)線面角定義轉(zhuǎn)化為求的正切值，最后根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案.【小問1詳解】連接，在平行四邊形中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.【小問2詳解】平面平面，，在中，，，又，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，平面平?小問3詳解】取的中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，，且由