廣州市天河區(qū)2025屆高三1月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿(mǎn)分5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。一、單選題1．已知直線(xiàn)的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．02．已知曲線(xiàn)，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)段，為垂足（若在軸上，即為），則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．已知直線(xiàn)與垂直，則的值是A．或 B． C． D．或4．對(duì)于常數(shù)、，“”是“方程表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件5．過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，已知，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．86．設(shè)分別為圓和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是（

）A． B． C． D．7．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若,則的面積為（

）A． B． C． D．8．如圖，A，F(xiàn)分別是雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)l與C的一條漸近線(xiàn)垂直且與另一條漸近線(xiàn)和y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)若，則C的離心率是（

）2 B．3 C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿(mǎn)分6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知直線(xiàn)，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．直線(xiàn)的傾斜角為 B．直線(xiàn)的斜率為C．直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限 D．直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為10．若圓的圓心到直線(xiàn)的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．011．已知是橢圓與雙曲線(xiàn)共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則下列判斷正確的有（）A．的面積為B．若，則C．若，則的取值范圍是D．若，則的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則這兩平行線(xiàn)間距離為13．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則.14．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且，若，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓的離心率．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.(1)求邊所在的直線(xiàn)方程；(2)求的面積.16．（15分）已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的方程是．(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．17．（15分）著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開(kāi)拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓：．(1)求的面積；(2)若直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求．（17分）圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說(shuō)明理由．19．（17分）已知橢圓：的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)已知為拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之和的最小值；(3)若點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)（不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），是的內(nèi)心，求面積的取值范圍．參考答案：題號(hào)12345678910答案CACCBBBDCDAD題號(hào)11答案ABD1．C【分析】由直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系，求的值.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，所以，解得.故選：C.2．A【分析】利用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移可求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，則，因在曲線(xiàn)上，故即，故選：A.3．C【詳解】由題意得，選C.4．C【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，則對(duì)于常數(shù)、，“”，可得“方程表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”是成立的；反之對(duì)于常數(shù)、，“方程表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”，則“”是成立的，所以“”是“方程表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的充要條件故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)，以及充分條件、必要條件的判定，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，利用設(shè)而不求法求弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再求線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，由條件列方程求可得結(jié)論.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若直線(xiàn)的斜率斜率為，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，方程的判別式，設(shè)Ax則，所以，由已知，設(shè)的中點(diǎn)為Px0則，，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，因?yàn)樵诰€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，所以，故，所以，.故選：B.6．B【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑，從而利用兩點(diǎn)距離公式與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為0,2，半徑為，則兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑，設(shè)，則，故，，所以圓心到橢圓的最大距離，因?yàn)殚_(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，則，所以?xún)牲c(diǎn)間的最大距離是．故選：B．7．BB【詳解】試題分析：根據(jù)題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為．設(shè)直線(xiàn)的斜率為，可得直線(xiàn)的方程為，由消去，得，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得．根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，得，解得，代入拋物線(xiàn)方程得：，解得，∵當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得，∴，即兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值等于．因此的面積為．故選B．8．D【詳解】試題分析：設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立，得，將代入直線(xiàn)，得，∵，∴由，可得，代入，得，同除以得，∴或（舍去）．考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系．9．CD【分析】由直線(xiàn)，可以得到直線(xiàn)的斜率和傾斜角，從而判斷A和B的正誤；通過(guò)計(jì)算直線(xiàn)的斜率和截距，從而判斷是否經(jīng)過(guò)第三象限，判斷C選項(xiàng)的正誤；取直線(xiàn)上兩點(diǎn)，得到直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，從而判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)椋梢员硎緸?，所以，傾斜角為，故選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€(xiàn)，故斜率，縱截距，所以直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限，故選項(xiàng)C正確；取直線(xiàn)上兩點(diǎn),，所以得到方向向量，得到直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，故選項(xiàng)D正確.故選：CD10．AD【解析】求出圓心坐標(biāo)后，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，所以或.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是解題關(guān)鍵.11．ABD【詳解】設(shè)MF1＝m，MF2＝n，∠F1MF2＝θ，不妨設(shè)點(diǎn)M是C1，C2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則m>n，m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2.在△F1MF2中，由余弦定理可得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2cosθ，即4c2＝m2＋n2－2mncosθ，①4c2＝m2＋n2－2mncosθ＝(m＋n)2－2mn(1＋cosθ)＝4a－2mn(1＋cosθ)，所以mn＝＝，此時(shí)△F1MF2的面積為S＝mnsinθ＝b·＝b·＝btan；②4c2＝m2＋n2－2mncosθ＝(m－n)2＋2mn(1－cosθ)＝4a＋2mn(1－cosθ)，所以mn＝＝，此時(shí)△F1MF2的面積為S＝mnsinθ＝b·＝b·＝.因?yàn)镾2＝btan·＝(b1b2)2，所以S＝b1b2，故A正確．因?yàn)閙>n且m＋n＝2a1，所以mn＝<()2＝a，所以＝＝2－2e<1＋cosθ＝2cos2，所以e>1－cos2＝sin2，所以e1>sin.又e1<1，所以e1∈(sin，1)，故B正確．當(dāng)∠F1MF2＝θ＝時(shí)，由4c2＝m2＋n2－2mncosθ，得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＋(a1＋a2)(a1－a2)，即3a＋a＝4c2，所以＋＝4，所以1<<，＝4－.令1<t＝<，則·＝(4－)＝－3t2＋4t＝－3(t－)2＋∈(0，1)，所以(e1e2)2∈(1，＋∞)，所以e1e2∈(1，＋∞)，故C錯(cuò)誤；e＋e＝(e＋e)(＋)＝1＋(＋)，記m＝>1，則e＋e＝1＋(3m＋)，函數(shù)y＝3m＋是對(duì)勾函數(shù)，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以e＋e＝1＋(3m＋)>1＋×(3＋1)＝2，即e＋e的取值范圍是(2，＋∞)，故D正確．故選ABD.12．/【分析】首先由兩直線(xiàn)平行求出參數(shù)，然后由平行線(xiàn)之間的距離公式直接計(jì)算即可求解.【詳解】由題意直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，解得，所以?xún)善叫芯€(xiàn)、之間的距離為.故答案為：.13．【解析】由拋物線(xiàn)的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程可得的值．【詳解】可化為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為由題意可得：，故．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)及點(diǎn)在直線(xiàn)上的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義，利用等面積法可得方程，由此可得，再由正弦定理可得，又根據(jù)的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，可得，由此列出方程化簡(jiǎn)即可得到齊次式，即解方程注意即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)已知條件有，有正弦定理面積公式有：，又，所以，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，則，又，以的三邊為底，內(nèi)切圓半徑為高的三個(gè)三角形面積和等于面積，所以，解得，由正弦定理有：，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，即，所以，即，即，兩邊同除以，得，又，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用等面積法求出，再利用正弦定理求出，結(jié)合已知條件得到關(guān)于、的齊次式求解.15．(1)(2)15【分析】（1）由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)得一般式方程；（2）用兩點(diǎn)間距離公式求B，C兩點(diǎn)間的距離，計(jì)算點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以BC所在的直線(xiàn)方程為，即.（2）B，C兩點(diǎn)間的距離為，點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離，所以的面積為.16．(1)(2)或【分析】（1）由漸近線(xiàn)公式，以及代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解雙曲線(xiàn)方程；（2）直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由條件可知，，且，解得：，，所以雙曲線(xiàn)方程為；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，，時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，得，滿(mǎn)足條件，綜上可知，或.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和橢圓面積公式，即可求解；（2）直線(xiàn)與橢圓方程來(lái)努力，利用弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】（1）橢圓的方程為，所以，，則，，所以橢圓的面積；（2）聯(lián)立，得，，，，.18．圓與橢圓，當(dāng)或時(shí)沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)恰有二個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)恰有三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)恰有四個(gè)公共點(diǎn)．【分析】將圓和橢圓的方程聯(lián)立組成方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷位置關(guān)系.【詳解】解方程組得，（一）當(dāng)時(shí)以上方程組的只有一個(gè)解，此時(shí)解得，則圓與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).（二）當(dāng)時(shí)方程組的有兩個(gè)不同的解或.當(dāng)時(shí)，.（1）若或，圓與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）若，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）若，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，（1）若或，圓與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）若，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）若，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，圓與橢圓，當(dāng)或時(shí)沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)恰有二個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)恰有三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)恰有四個(gè)公共點(diǎn)．19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用題意求出焦點(diǎn)坐標(biāo)求解就可以了；（2）找到距離之間關(guān)系，利用幾何法求解即可；（3）利用內(nèi)心的性質(zhì)找到面積之間的關(guān)系，然后表示出面積，再利用函數(shù)關(guān)系求其范圍即可.【詳解】（1）由題可知，橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以,所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為,（2）

由題可知，為拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)1,0的距