化工過程系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)模擬與分析

化工過程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模擬與分析，就是對化工工藝流程系統(tǒng)進行穩(wěn)態(tài)模擬與分析。模擬是對過程系統(tǒng)模型的求解。通過這種求解可以解決下述的三類問題：

①過程系統(tǒng)的模擬分析

②過程系統(tǒng)設計

③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化①過程系統(tǒng)的模擬分析

對某個給定的過程系統(tǒng)模型進行模擬求解，可得出該系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從而可以對該過程系統(tǒng)進行工況分析，如圖所示能量流、反應程度、幾何尺寸等②過程系統(tǒng)設計

當對某個或某些系統(tǒng)變量提出設計規(guī)定要求時，通過調整某些決策變量使模擬結果滿足設計規(guī)定要求，如圖2－2所示③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

過程系統(tǒng)模型與最優(yōu)化模型聯(lián)解得到一組使工況目標函數(shù)最佳的決策變量（優(yōu)化變量），從而實施最佳工況，如圖所示。①過程系統(tǒng)的模擬分析

②過程系統(tǒng)設計

③過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化比較上面三類問題可以看出，針對所要解決問題的不同，其求解的復雜程度也不同。設計問題比模擬分析問題增加了一層選代，因而求解起來要復雜一些。而最優(yōu)化問題不僅增加了循環(huán)迭代，而且還增加了目標函數(shù)模型和最優(yōu)化模型，以致求解過程更加復雜。2.1過程系統(tǒng)模擬的三種基本方法過程系統(tǒng)模擬往往非常復雜，手工計算是難以勝任的。計算機的發(fā)展，為過程系統(tǒng)的整體研究提供了技術手段。各種類型的過程系統(tǒng)模擬軟件如雨后春筍不斷出現(xiàn)。但就其模擬計算求解方法而言，可以歸納為三類：①序貫模塊法（SequentialModularMethod）；②面向方程法（EquationOrientedMetdod）；③聯(lián)立模塊法（SimultaneouslyModularMethod）。2.1.1過程系統(tǒng)模擬的序貫模塊法序貫模塊法是開發(fā)最早、應用最廣的過程系統(tǒng)模擬方法。這種方法的基本部分是模塊（子程序），是一些用以描述物性、單元操作以及系統(tǒng)其他功能的模塊。序貫模塊法優(yōu)點：與實際過程的直觀聯(lián)系強；模擬系統(tǒng)軟件的建立、維護和擴充都很方便，易于通用化；計算出錯時易于診斷出錯位置。缺點：是計算效率較低，尤其是解決設計和優(yōu)化問題時計算效率更低。仍不失為一種優(yōu)秀的方法。在處理過程設計和優(yōu)化問題時，由于其循環(huán)迭代嵌套甚至可高達五層以至其求解效率就太低。2.1.2過程系統(tǒng)模擬的面向方程法面向方程法又稱聯(lián)立方程法，是將描述整個過程系統(tǒng)的數(shù)學方程式聯(lián)立求解，從而得出模擬計算結果。面向方程法可以根據(jù)問題的要求靈活地確定輸入、輸出變量，而不受實際物流和流程結構的影響。面向方程法就好像把圖2-4中的循環(huán)圈1～4合并成為一個循環(huán)圈,這種合并意味著其中所有的方程同時計算和同步收斂。因此，面向方程法解算過程系統(tǒng)模型快速有效，對設計、優(yōu)化問題靈活方便，效率較高。面向方程法一直被認為是求解過程系統(tǒng)的理想方法，但由于在實踐上存在的一些問題而沒被廣泛采用。難點：形成通用軟件比較困難；不能利用現(xiàn)有大量豐富的單元模塊；缺乏與實際流程的直觀聯(lián)系；計算失敗之后難于診斷錯誤所在；對初值的要求比較苛刻；計算技術難度較大等。但是由于其具有顯著優(yōu)勢，這種方法一直備受人們的青睞。2.1.3過程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法

聯(lián)立模塊法最早是由Rosen提出的。這種方法將過程系統(tǒng)的近似模型方程與單元模塊交替求解。聯(lián)立模塊法又被稱作雙層法。聯(lián)立模塊法的思路如圖2-6所示。該法在每次選代過程中都要求解過程的簡化方程，以產(chǎn)生的新的猜值作為嚴格模型單元模塊的輸入。通過嚴格模型的計算產(chǎn)生簡化模型的可調參數(shù)。聯(lián)立模塊法兼有序貫模塊法和面向方程法的優(yōu)點。這種方法既能使用序貫模塊法積累的大量模塊，又能將最費計算時間的流程收斂和設計約束收斂等迭代循環(huán)合并處理（如圖2-7），通過聯(lián)立求解達到同時收斂。

2.2過程系統(tǒng)模擬的序貫模塊法2.2.1序貫模塊法的基本原理序貫模塊法的基礎是單元模塊（子程序），通常單元模塊與過程單元是一一對應的。單元模塊是依據(jù)相應過程單元的數(shù)學模型和求解算法編制而成的子程序。如圖中的閃蒸單元，可依據(jù)閃蒸單元模型和算法編制成閃蒸單元模塊。單元模塊具有單向性特點。給定其輸入物流變量及參數(shù)可計算出相應的輸出物流變量，但不能由輸出變量計算輸入變量，也不能由輸入、輸出變量計算模塊參數(shù)。序貫模塊法的基本思想是：從系統(tǒng)入口物流開始，經(jīng)過接受該物流變量的單元模塊的計算得到輸出物流變量，這個輸出物流變量就是下一個相鄰單元的輸入物流變量。依此逐個的計算過程系統(tǒng)中的各個單元，最終計算出系統(tǒng)的輸出物流。計算得出過程系統(tǒng)中所有的物流變量值，即狀態(tài)變量值。以序貫模塊法實施過程系統(tǒng)的模擬計算，通常是把系統(tǒng)輸入物流變量及單元模塊參數(shù)（如與環(huán)境交換但與物流無關的能量流、反應程度、分割比。幾何尺寸等）作為決策變量。序貫模塊法的求解與過程系統(tǒng)的結構有關。當涉及的系統(tǒng)為無反饋聯(lián)結（無再循環(huán)流）的樹形結構時，系統(tǒng)的模擬計算順序與過程單元的排列順序是完全一致的。具有反饋聯(lián)結的系統(tǒng)，其中至少存在這樣一個單元，其某個輸入物流是后面某個單元的輸出物流，如圖中的單元A。這時就不能直接實施序貫的求解計算。因為在尚未計算A，B，C等模塊之前還不知道物流S4的變量值。因此，在用序貫模塊法處理具有再循環(huán)物流系統(tǒng)的模擬計算時，需要用到斷裂和收斂技術。2.2.2再循環(huán)物流的斷裂（1）斷裂的基本概念首先考察方程組的斷裂。假設有一個由四個方程、四個未知變量組成的方程組：上述方程組需要聯(lián)立求解才能得到它的解。但是，也可以由另外的方式進行求解。把一個四維求解問題降階成為了四個一維問題，從而簡化了計算難度。這種通過迭代把高維方程組降階為低維方程組的辦法稱為“斷裂”。例題：用斷裂法解下列方程組斷裂法解方程組（2）斷裂方法的研究最佳斷裂的準則分為四類：

①斷裂的物流數(shù)最少；(Barkley&Motard)②斷裂物流的變量數(shù)最少；(Rubin)③斷裂物流的權重因子之和最少；(Christensen)④斷裂回路的總次數(shù)最少。(Upadhye&Grens)準則①與②都是企圖使計算工作量最少，但是有人證明，不論斷裂流股數(shù)目最少或變量數(shù)目最少都不一定導致收斂最快。目前實際上用得最多的是準則③與④，有人認為準則④是現(xiàn)有準則中最優(yōu)的，至少對使用直接迭代法求收斂時如此。（3）回路矩陣在介紹再循環(huán)回路斷裂方法之前，先介紹一下回路的表示方法。要斷裂再循環(huán)物流，必須先識別再循環(huán)回路，并借助一定的方法描述它們。

通常，一個不可分隔子系統(tǒng)包含若于個再循環(huán)回路，如圖給出的系統(tǒng)就是一個不可分隔子系統(tǒng)，其中包含有四個再循環(huán)回路。那種包含兩個以上流股，且其中的任何單元只被通過一次，稱作簡單回路。如圖中I－SI－II－S2－III－S4－II－S2－III－S5－I構成的回路就不是一個簡單回路，因為其中的單元II和單元III都被通過了兩次。過程系統(tǒng)中的簡單回路可以用回路矩陣表示。矩陣中的行代表回路，列代表物流。對于比較簡單的系統(tǒng)，可以由人工方法找出其全部簡單回路；對于大型的復雜系統(tǒng)則難于用人工的辦法去識別其簡單回路，就需要由專門的算法去識別。（4）Upadyhe－Grens斷裂法為了對該不可分隔子系統(tǒng)的高維求解進行降維運算，需將該子系統(tǒng)中的某些回路進行斷裂。從相應于圖2-13回路矩陣可見，使回路（A，B，C，D）都達到斷裂的方案并不是惟一的。如斷裂物流2或是斷裂物流4，5，6，7（斷裂物流組）都可以實現(xiàn)回路（A，B，C，D）的斷裂。

這就有兩個需要解決的問題：一是要有一種能把所有的有效斷裂物流組都能搜索出來的辦法；二是要能把最優(yōu)斷裂組從中選擇出來。對此，Upadyhe等人提出了搜索斷裂組的替代規(guī)則。【例2-1】用Upadhye－Grens斷裂法尋求圖2-13中的最優(yōu)斷裂組。

解：從有效斷裂組{S1，S2，S3｝開始，反復利用替代規(guī)則，過程如下:輸入：S2輸出：S3，S4，S5標記**表示找到多余斷裂組，消去重復物流后，再重新開始替代過程輸入：S3輸出：S6，S7輸入：S1，S4，S7輸出：S2輸入：S5，S6輸出：S1標記**表示找到多余斷裂組，消去重復物流后，再重新開始替代過程輸入：S1,S4,S7輸出：S2輸入：S2輸出：S3,S4,S5輸入：S3輸出：S6,S7輸入：S5,S6輸出：S1標記*表示重復出現(xiàn)的斷裂組，在此終止替代過程從圖2-14的替代過程中找出了如下的非多余斷裂族：{S2}{S1，S4，S7}{S3，S4，S5}{S4，S5，S6，S7}由步驟④得到它們相應的總權值為：92+3+2=72+3+3=83+3+4+2=12所以，斷裂組{S1，S4，S7｝為最優(yōu)斷裂組。2.2.3斷裂物流變量的收斂執(zhí)行斷裂物流變量收斂功能的模塊稱收斂單元模塊不可分隔子系統(tǒng)的斷裂物流斷裂物流變量的收斂問題實際上是個迭代求解非線性方程組的問題

x=y=G(x)

當斷裂物流變量猜值x與計算值y之差小于收斂容差ε時y－x=G（x）－x<ε則x為斷裂物流變量的收斂解。收斂單元的功能總計有如下作用：(Ⅰ)獲取猜值的初值x0(Ⅱ)根據(jù)計算值y，以一定的方法確定新的猜值x(Ⅲ)比較猜值x和計算值y，若其結果滿足給定精度要求，則結束迭代計算，否則繼續(xù)迭代計算過程。收斂單元實質上就是一個數(shù)值迭代求解非線性方程組的子程序。求解非線性方程組的數(shù)值計算方法很多，適合于收斂單元的數(shù)值計算方法一般應盡可能滿足下列要求：1.對初值的要求不高。2．數(shù)值穩(wěn)定性好3．收斂速度快4．占用計算機存儲空間少1.對初值的要求不高。1)初值易得，不易引起迭代計算的發(fā)散；

2)初值的組數(shù)少。例:用直接迭代法求解下列方程組解：令猜值為X1＝2；X2＝10；X3＝5105解：令猜值為X1＝6；X2＝3.5；X3＝5例題2-2直接迭代法2.數(shù)值穩(wěn)定性好例題2-2直接迭代法3收斂速度快對收斂速度的影響主要有三個因素：一是迭代次數(shù)；二是函數(shù)G(x)的計算次數(shù)；三是矩陣求逆的次數(shù)。序貫模塊法中的函數(shù)沒有具體的函數(shù)形式，每計算一次函數(shù)值就相當于做一次流程回路的模擬計算。好的非線性方程組的數(shù)值迭代次數(shù)少，而且應該盡量避免導數(shù)計算和矩陣求逆。這樣才可能獲得高的收斂速度。收斂速度示例4.占用計算機存儲空間少直接迭代法；有界wegstein法；主特征值法；Broyden法等幾種。進行斷裂物流計算的很多，應用較為廣泛的有：（2）直接迭代法直接迭代法是將計算值yk作為下一輪迭代的猜值xk+1而實施迭代計算。這種算法的程序如下：重新把函數(shù)f(x)=0，安排成x=G(x)的形式。選擇初始值x(0)和一個精度截止判據(jù)0；計算x(k+1)=G(x(k))檢驗收斂性，如果|x(k+1)-x(k)|，則停止迭代，否則重回第一步。例題2-3：迭代求解以下方程f(x)=x2-5x+4=0初值x(0)=0,要求精度0.0001解x=(x2+4)/5=G(x)當x(0)=0時，G(x(0))=(0+4)/5=0.8檢驗精度|x(1)-x(0)|=|0.8-0|=0.8>0.0001重新迭代直到精度<0.0001為止例題2-3迭代過程但是把函數(shù)f(x)=0，可以安排成各種x=G(x)的形式。其收斂性如何？收斂的充分條件（并非必要條件）是：|dG(x)/dx|<1|dG/dx|>1|dG/dx|<1直接迭代法的特點是方法簡單，且只需要一組初值，不需計算導數(shù)和逆矩陣。然而該法的弱點是迭代次數(shù)多、收斂速度慢，且對初值要求較高。為了改善直接迭代法的收斂行為。人們提出了阻尼直接迭代法，或稱加權直接迭代法，其公式為：xk+1=qxk+(1-q)G(xk)式中q為阻尼因子，可以人為給定：q=0為直接迭代；0<q<1為加權直接迭代，可改善收斂的穩(wěn)定性；q<0為外推直接迭代，可以加速收斂，但穩(wěn)定性下降；q>=1無意義。阻尼法示例（3）Wegstein法為了加快收斂Wegstein提出了一種簡便的方法，至今仍然是應用最廣泛的加速收斂方法一維Wegstein法有界Wegstein法多維Wegstein法嚴格多維Wegstein法一維Wegstein法對于方程x=G(x)，初始猜值算為x(0)，則第二點x(1)可以用直接迭代法得到：x(1)=G(x(0))以下為了找到x=G(x)的根，用以上兩個試算點之間的直線代替G(x)，則此直線的斜率為sG(x)-G(x(1))=s(x-x(1))式中：q為一指定的參數(shù)。因為我們是要找到一個x解，以滿足x=G(x)，所以估算方程G(x)-G(x(1))=s(x-x(1))變?yōu)椋夯蛘?，按此式解出x值：這種方法的圖解意義見圖。因為參數(shù)q是斜率s的函數(shù)，所以每次迭代后q都不斷在變化經(jīng)過幾步迭代后，q就逐步達到比較穩(wěn)定的值；可以根據(jù)q值的大小判斷收斂性質：

q<0單調收斂

0<q<0.5震蕩收斂

0.5<q<1震蕩發(fā)散

1<q單調發(fā)散這就引出了“有界Wegstein法”，即人為地把q限制在一定的范圍內：

qmin<q<qmaxFLOWTRAN模擬系統(tǒng)通常推薦-5<q<0CHESS模擬系統(tǒng)則使用：當q>0令q=0當q<-10令q=0例題2-5用Wegstein法求解以下方程F(x)=x-2(1-x)3=0，設x(0)=0.5，精度為0.0001解:第一步首先將方程轉化為x=G(x)的形式G(x)=x=2(1-x)3然后計算最初兩點x(1)=G(x(0))及G(x(1))x(0)=0.5x(1)=G(x(0))=2(1-0.5)3=0.25G(x(1))=2(1-0.25)3=0.844第二步計算斜率s及參數(shù)q第三步計算x(2)

顯然沒有收斂。因此，重復第二步然后重復第三步，得到新的x值X(3)=0.726(0.426)+(1-0.726)0.378=0.413X(4)=0.4102X(5)=0.41026達到精度要求而停止。如果用直接迭代法則引起發(fā)散。例題2-5Wegstein

法習題用Wegstein法求方程的根，收斂精度為0.0001Sinx-x/2=0與直接法比較2.3過程系統(tǒng)模擬的面向方程法序貫模塊法的缺點：收斂過程十分緩慢，甚至不能收斂；對于過程系統(tǒng)的設計計算問題和參數(shù)優(yōu)化問題，情況將更為嚴重，甚至不能用序貫模塊法去求解。因此，人們把注意力投向了面向方程法。2.3.1面向方程法的原理面向方程法的基本思想是，把描述過程系統(tǒng)的所有數(shù)學模型匯集到一起，形成一個非線性方程組進行求解。即：

F（x，w）＝0（2-28）

F:系統(tǒng)模型方程組，其中包括：

①物性方程；

②物料、能量、化學平衡方程；

③過程單元間的聯(lián)結方程；

④設計規(guī)定方程等。X——狀態(tài)變量向量；W——決策變量向量；通常過程系統(tǒng)模型方程組總是稀疏方程組。其中每個方程只含有幾個非零元素。例如方程組：這是個1000階的線性方程組。其中任意一個方程：該方程只有三個非零系數(shù)。其他的999個方程也具有類似的形式。過程系統(tǒng)模型的方程數(shù)和變量數(shù)往往都很大，但每個方程涉及的變量數(shù)一般只有幾個。方程的稀疏性可以用稀疏比

來衡量：

對于n—1000，N—5000的方程，其稀疏比中為0.5％。僅系數(shù)矩陣就要占用n2=106個計算機存儲單元，而其中995000個單元的內容為零，因此大量的運算是在零與零之間進行的。由此可見，用常規(guī)數(shù)值法求解稀疏方程組是很不經(jīng)濟的，有時還會因計算機容量的限制而無法運算。因此，人們開發(fā)了大量的處理稀疏方程組的數(shù)值算法。面向方程法的核心問題是求解超大型稀疏非線性方程組，求解方法大致分為兩類：①降維求解法；②聯(lián)立求解法。2.3.2大型稀疏非線性方程組的降維解法

即把大型稀疏方程組分解成若干個小的非稀疏方程組，然后依次分別求解，從而達到降維和增大稀疏比的目的。（1）方程組的分解概念對于n階稀疏方程組，常?？梢哉业揭粋€包含有k1個變量的k1階子方程組。這個k1階子方程組可以單獨求解。其余的n—k1個方程中還可以再找出包含有k2個變量的k2階子方程組，這個子方程組也可以單獨求解。重復這一過程，最終將把原方程組分解成一系列可順序求解的子方程組。由上例可見，把原方程組分解成若干個聯(lián)立求解的小方程組后，使這些小方程組的稀疏比與原方程組相比要大得多。若小方程組的稀疏比接近1，可用常規(guī)數(shù)值解法求解，若稀疏比仍很小可繼續(xù)分解。方程組的分解方法有回路搜索法和矩陣法兩大類。下面僅討論基于有向圖的回路搜索法。(2）回路搜索法分解方程組回路搜索法分解方程組，是在描述方程組的有向圖上進行的。為了用有向圖表示方程組的結構，首先必須對每個方程指定一個變量作為其輸出變量。①輸出變量的指定方法輸出變量是可由方程中其他變量求解的變量，且每個變量只能被指定一次作為輸出變量。輸出變量指定方法的步驟是，選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點處元素對應的變量，作為優(yōu)先指定的輸出變量，然后從事件矩陣中刪去該輸出變量對應的行和列；重復上述過程直至矩陣中所有的行和列都被刪掉。例外情況的處理：最后剩下了方程f7和變量x9,而f7中沒有x9在遇到這種情況時，必須盡力找出所謂的Steward通道。即方程f7行中的任一元素和變量x0列中的任一元素之間的聯(lián)系。這一通道開始于未被指定為輸出變量的元素x9，平移到一已被指定為輸出變量的元素（9，10），改變900方向到一未指定元素（10，10），再改變900方向到一指定元素（10，8），此過程一直繼續(xù)到未指定輸出變量的方程的元素（7，l）。在Steward通道上指定元素和未指定元素交替出現(xiàn)，而其首尾均為未指定元素，在全通道上未指定元素比指定元素多一個。把Steward通道上的指定元素和未指定元素互換，即將通道上的指定元素變?yōu)槲粗付ㄔ?，而將未指定元素變?yōu)橹付ㄔ?，于是，得到另一種輸出變量指定方式，如下圖所示?？梢?，各方程的輸出變量已全部指定，并符合前面所說的要求。當需要Steward通道而又找不到這樣的通道時，必然存在無法指定為輸出變量的變量，這表明方程組是奇異的。②畫出有向圖用有向圖表示方程和變量的關系。圖中每個節(jié)點代表一個方程。如果方程fi的輸出變量存在于fj中，則從節(jié)點fi向fj作一有向邊。圖2－20為式（2－30）的有向圖表示。這個圖代表了方程間的信息流動方向。③回路搜索例2-5:對例2-4所給的方程組用回路搜索法進行分解。從節(jié)點f1開始回路搜索得到數(shù)串：f1f3f2f5f2將節(jié)點f2和5合并得到組合節(jié)點（f2f5），由于組合節(jié)點（f2f5）無任何輸出邊，刪去（f2f5）及其所有輸入邊，得到數(shù)串：f1

f3,節(jié)點f3也無輸出邊，刪去f3及其輸入邊,然后從f1繼續(xù)搜索,得到數(shù)串：f1f4f1。合并節(jié)點f1和f4得到組合節(jié)點(f1f4)。依次刪去的節(jié)點和組合節(jié)點記入下表它們分別代表原方程組分解后得到的小方程組，其求解即從后到前的順序進行。

④不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法該式也是個稀疏方程組。利用回路搜索法對其分解后發(fā)現(xiàn)，該方程組是不可分解方程組，該原方程組必須聯(lián)立求解。對于這種情況，需要通過斷裂來達到進一步降維和增大稀疏比的目的。斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂后的系統(tǒng)必須通過收斂得以求解。為了易于收斂，因而總是希望斷裂的變量數(shù)最少。所以，總是要選擇包含變量數(shù)最少的方程中的變量作為斷裂變量，斷裂變量數(shù)等于該方程中的變量數(shù)減1。然后給斷裂變量賦初值，再進行迭代計算直至收斂。

以右矩陣式為例進行斷裂降維求解。矩陣中f3,f4,f5行的變量數(shù)最少，都只有兩個。選擇f3中的x5為斷裂變量。從而解出x6。把f3行和x5,x6列刪去，得到下式該式為五行四列，有一個多余方程（它是由刪除斷裂變量x5產(chǎn)生的）。f6行含有的變量最多，暫不考慮（因為容易引起耦聯(lián)，不利于分解），對其余的四行、四列進行重排，可得到：左式中可聯(lián)解f1f4和f2f5（此時f5f6為已知）。然后計算f6，檢驗是否滿足，若不滿足，則修改斷裂變量x5的值，重復上述的計算，直至滿足f6方程為止。通過此例可以看到，斷裂可以使不可分解的稀疏方程組繼續(xù)分解。2.3.3聯(lián)立擬線性方程組法解大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把非線性方程組線性化。然后聯(lián)立求解線性方程組。由于線性化引人了誤差，所以要借助迭代使線性化方程組的解，逐漸逼近非線性方程組的解。（1）線性化方法對于n維非線性方程組將該方程組在x1(k),x2(k)…xn(k)處作臺勞展開，(即Nowton-Raphson聯(lián)立線性化方法)得：為雅可比矩陣記J在進行第k+1次迭代時，上式中的f(k)、J(k)和X(k)均為已知，因此，上式為x(k+1)的線性方程組，于是可用Newton-Raphson法的迭代公式：X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)例2-6組分A的稀溶液在常溫下離解：

A

2B

其數(shù)學模型如下：

質量平衡:CA+CB/2=CA*熱力學平衡:KCA-CB2=0

式中，CA與CB分別是組分A、B的濃度；CA*是組分A的初始濃度；K是該反應的平衡常數(shù)。求當K=2，CA*=1時平衡態(tài)的組分濃度。X(k+1)=X(k)-[J(k)]-1f(k)方程組兩邊乘于雅可比矩陣J于是：變化為如下形式：所以取CB的初值為1.5迭代過程如下：迭代過程（2）稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組經(jīng)線性化后得到的線性方程組仍然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問題，轉化成求解稀疏線性方程組的問題。用常規(guī)的消去法求解大型稀疏線性方程組是不經(jīng)濟的，而且計算效率較低。為了減少求解大型稀疏線性方程組所需的計算時間和存儲空間，通常采用下列兩方面的技術：

①只對非零元素進行計算；

②只存儲非零元素（如壓縮存儲技術）。填充量和主元容限填充量：用高斯消去法消元過程的同時,會在原來零元素處引入非零元素。新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關。在求解大型稀疏線性方程組時，應該盡可能地減少填充，否則將會使計算效率大大下降。然而，減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計算精度是矛盾的。用高斯消去法對矩陣進行消元的過程

新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量。填充量與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關。用左矩陣中對角線上的第一個元素作為主元素，消去第一列上的其他元素將導致在所有的零元素處產(chǎn)生非零元素，即填充量達到最大。而右矩陣的填充量減少到零。

54321123451234554321為了減少填充量，需要把右矩陣中的元素a55作為主元素，但如果它的絕對值很小時，將會引人較大的誤差，致使計算精度、數(shù)值穩(wěn)定性變差。(b)主元容限在主元消去法中，通常把絕對值最大的元素作為主元進行消元。其目的是為了提高計算的精度。但是如果這樣選取的主元恰好導致較大的填充，那么計算效率的將下降。因此，寧愿選擇一個絕對值不是最大，且不會引起填充量過大的元素作為主元。（c）Bending－Hutchison算法。該算法是在全元消去法的基礎上派生出來，其核心是避免填充，同時保證計算的精度?！纠?-7】圖2-23為一個物流分割器及混合器構成的簡化流程。圖上括號中的數(shù)字為分割比。由此可以得出各流股關系的方程。共9股物流有9個方程-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0-0.333S1+S2=0-0.667S1+S3=0S1-S5-S9=0-0.333S4+S5=0-0.667S4+S6=0-0.333S6+S7=0S9=1-0.667S6+S8=0-S3+S4-S7=0第2列和第8列均只含有一個元素，即縱列等于1。這兩個元素必須分別選作方程（1）和方程（8）的主元。由于這兩列中并無其他元素，所以不用執(zhí)行消元過程。第3，5，7，9列均含有兩個非零元素，即縱列等于2。人為地選第三列。方程（2）橫列為2，方程（9）的橫列為3，選：主元素消去元素產(chǎn)生元素V8E8V2E1V3E2V3E9V1E9V7E6V7E9V6E9-0.333主元素消去元素產(chǎn)生元素V5E4V5E3V4E3V9E7V9E3RHSE3-0.3331主元素消去元素產(chǎn)生元素改變元素V1E3V1E9RHSE9V4E9-0.333-0.33310.6670.7780.555V6E5V6E9V4E9S4=0.667/0.555=1.2S5=0.333*1.2=0.4S6=0.667*1.2=0.8S1=0.333*1.2+1=1.4S8=0.667*0.8=0.533S9=1S2=1.4*0.333=0.466S3=0.667*1.4=0.933S7=0.333*0.8=0.2662.4過程系統(tǒng)模擬的聯(lián)立模塊法序貫模塊法和面向方程法比較2.4.1聯(lián)立模塊法的原理程法聯(lián)立模塊法：兼?zhèn)淞松鲜鰞煞N方法的優(yōu)點，更重要的是它可以使花費了大量人力、物力開發(fā)出的過程單元模塊得以充分利用。聯(lián)立模塊法可定義為利用黑箱過程模塊，靈活求解模擬問題的方法。聯(lián)立模塊法與序貫模塊法的共同之處在于面向模塊；與面向方程法共同之處在于聯(lián)立求解過程系統(tǒng)模型方程。利用嚴格模塊產(chǎn)生相應的簡化模型方程的系數(shù),然后把所有的簡化模型方程匯集到一起進行聯(lián)解，得到系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。由于簡化模型是嚴格模塊的近似，所以計算結果往往不是問題的解，必須用嚴格模塊對這組解進行計算，修正簡化模型的系數(shù)。重復這一過程，直到收斂到原問題的解。聯(lián)立模塊法的特點：①聯(lián)立模塊法計算效率較高。②簡化模型方程組的維數(shù)比面向方程法也小得多，求解起來也容易。③能利用大量原有的豐富的序貫模塊軟件。

聯(lián)立模塊法兼有序貫模塊法和聯(lián)立方程法的優(yōu)點：①計算效率較高；②對初值要求較低；③迭代循環(huán)圈較少；④計算出錯時診斷較容易；⑤能利用大量原有的軟件