第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式第3課時(shí)不等式的性質(zhì)[考試要求]

1.掌握等式性質(zhì).2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．鏈接教材·夯基固本1．比較實(shí)數(shù)a，b大小的基本事實(shí)>＝<2．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：a>b?____；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?_____；性質(zhì)3可加性：a>b?____________；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?______；a>b，c<0?______；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?___________；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?_______；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd[常用結(jié)論]若a>b>0，m>0，則一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a＞b，則ac2＞bc2.(

)×××√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊(cè)P43習(xí)題2.1T3改編)設(shè)M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則(

)A．M＞N

B．M≥NC．M＜N D．M≤NA

[因?yàn)镸－N＝2a(a－2)－(a＋1)·(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故選A．]√2．(人教A版必修第一冊(cè)P43習(xí)題2.1T10改編)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水甜度變淡了．下面式子可以說(shuō)明這一事實(shí)的是(

)√3．(人教A版必修第一冊(cè)P42練習(xí)T2改編)用不等號(hào)“＞”或“＜”填空．(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c____b－d；＜＜＞4．(人教A版必修第一冊(cè)P43習(xí)題2.1T5改編)已知－1<a<2，－3<b<5，則a－b的取值范圍是____________.(－6,5)

[因?yàn)椋?<b<5，所以－5<－b<3，又－1<a<2，所以－6<a－b<5.]典例精研·核心考點(diǎn)考點(diǎn)一數(shù)(式)的大小比較A．p<q B．p≤q

C．p>q D．p≥q(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是(

)A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能確定√√因?yàn)閍<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.綜上，p≤q.故選B.

比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形(因式分解、配方、有理化等)；③定號(hào)；④得出結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形(因式分解、配方、有理化等)；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。甗跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知a，b為不相等的實(shí)數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關(guān)系為(

)A．M>N

B．M＝N

C．M<N D．不確定(2)(2025·濟(jì)南模擬)已知a>b>0，則aabb與abba的大小關(guān)系為_(kāi)_______.(1)A

(2)aabb>abba

[(1)因?yàn)镸－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故選A．√又abba>0，所以aabb>abba.]考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)[典例2]

(1)若a>0>b，則(

)A．a(chǎn)3>b3 B．|a|>|b|(2)下列說(shuō)法正確的是(

)A．若ac2≥bc2，則a≥b√√(1)A

(2)D

[(1)因?yàn)閍>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正確；取a＝1，b＝－2，則|a|>|b|不成立，故B錯(cuò)誤；(2)對(duì)于A，若ac2≥bc2，當(dāng)c＝0時(shí)，a與b的大小關(guān)系無(wú)法確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，則滿足a＋b>0，c－b>0，但不滿足a>c，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，則b－a>0，

判斷不等式正誤的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)，要特別注意應(yīng)用性質(zhì)的條件．(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤不等式．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較．√√考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用[典例3]

(多選)已知－2<a＋b<4,2<2a－b<8，則下列不等式不正確的是(

)A．0<a<4 B．0<b<2C．－6<a＋2b<6 D．0<a＋2b<8BD

[對(duì)于A，因?yàn)椋?<a＋b<4,2<2a－b<8，所以－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，所以0<3a<12，所以0<a<4，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?<2a－b<8，所以－8<b－2a<－2，因?yàn)椋?<a＋b<4，所以－4<2a＋2b<8，√√所以－12<3b<6，所以－4<b<2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，設(shè)a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，則a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b，

求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得代數(shù)式的取值范圍．提醒：在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(多選)已知6＜a＜