5．3．1誘導(dǎo)公式二、三、四一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容“誘導(dǎo)公式”包括5組公式，即誘導(dǎo)公式二至六，本單元的知知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示：本單元分為兩課時(shí)完成，本節(jié)課為第一課時(shí)，主要探究誘導(dǎo)公式二、三、四，并圍繞圓的對稱性提出要研究的相關(guān)問題，形成研究的思路．2．內(nèi)容解析我們知道，任意角的三角函數(shù)的定義是借助于單位圓得出的，之后又借助于圓的幾何性質(zhì)得出了三角函數(shù)的部分性質(zhì)，即同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．圓有豐富的性質(zhì)，對稱性是圓的重要性質(zhì)，如果用三角函數(shù)表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，就可將這些對稱性表示為三角函數(shù)之間的關(guān)系，從而得到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式．角的基本構(gòu)成元素就是頂點(diǎn)、始邊、終邊，在三角函數(shù)這一章的研究中，為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，因此變化的只有角的終邊．首先從形的角度，研究圓的對稱性，假設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于圓心或特殊直線的對稱點(diǎn)為，根據(jù)單位圓上這兩個(gè)點(diǎn)的對稱性，可以寫出以為終邊的角與角的關(guān)系．接下來從數(shù)的角度，利用三角函數(shù)的定義，建立對稱點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，得到三角函數(shù)之間的關(guān)系即誘導(dǎo)公式．可見，本單元是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，發(fā)展學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的很好的載體．在數(shù)學(xué)史上，求三角函數(shù)值曾經(jīng)是一個(gè)重要而困難的問題．?dāng)?shù)學(xué)家制作了銳角三角函數(shù)值表，并通過公式，將任意角轉(zhuǎn)化為銳角進(jìn)行計(jì)算．現(xiàn)在，我們可以利用計(jì)算工具方便地求任意角的三角函數(shù)值，所以利用這些公式的“求值”已不是重點(diǎn)，但是研究這些公式時(shí)使用的數(shù)學(xué)思想方法，在解決三角函數(shù)的各種問題中卻依然有重要作用．在本單元中，利用誘導(dǎo)公式解決問題，重要的是觀察計(jì)算對象的特征，選擇合適的誘導(dǎo)公式，確定恰當(dāng)?shù)那蠼饴肪€，并實(shí)施計(jì)算求解問題．因此本單元是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的很好的載體．因此本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：利用圓的對稱性探究誘導(dǎo)公式，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明．此外，為了使學(xué)生盡快熟悉并形成使用弧度制的習(xí)慣，在誘導(dǎo)公式中全部采用了弧度制．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）經(jīng)歷誘導(dǎo)公式的探究過程，積累應(yīng)用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等方法研究三角函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，提升直觀想象核心素養(yǎng)．（2）初步應(yīng)用誘導(dǎo)公式解決問題，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．2．目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，給出任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，結(jié)合單位圓的特殊對稱性——關(guān)于原點(diǎn)對稱和特殊直線對稱，學(xué)生能分別畫出相應(yīng)的對稱點(diǎn)，并利用圓的對稱性給出坐標(biāo)間的關(guān)系，利用三角函數(shù)的定義，用角表示兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并能求出以為終邊的角與角的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而建立三角函數(shù)之間的關(guān)系，即誘導(dǎo)公式．（2）學(xué)生能利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡、計(jì)算和證明．特別是在遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)，能根據(jù)運(yùn)算對象的特點(diǎn)，選擇合適的公式，確定恰當(dāng)?shù)那蠼夥桨福⒛苷_求解．在解題的基礎(chǔ)上，能概括出利用誘導(dǎo)公式求解的一般程序．教學(xué)問題診斷分析本單元就單個(gè)知識(shí)點(diǎn)而言，比較好理解．但是公式比較多，當(dāng)學(xué)生應(yīng)用和記憶時(shí)會(huì)出現(xiàn)困難或者混淆．因此本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一是：誘導(dǎo)公式的有效識(shí)記和應(yīng)用．為破解這一難點(diǎn)，本節(jié)課的教學(xué)過程中要充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，提高學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，理解誘導(dǎo)公式的本質(zhì)：圓的對稱性的代數(shù)化，三角函數(shù)的性質(zhì)．學(xué)生能主動(dòng)地依托單位圓，想象著它的對稱性，就可以準(zhǔn)確的記憶誘導(dǎo)公式．對于公式的應(yīng)用，要提高學(xué)生分析問題的能力，即要形成一定的求解程序，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．學(xué)生在理解誘導(dǎo)公式時(shí)，總是有思維定勢，以為是銳角，于是導(dǎo)致解題時(shí)，通過角所在象限判斷誘導(dǎo)公式的符號出錯(cuò)．所以本單元的第二個(gè)難點(diǎn)是：誘導(dǎo)公式中角可以是任意角的理解．為破解這一難點(diǎn)，在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式時(shí)要充分地應(yīng)用變式．比如在推導(dǎo)公式二時(shí)，點(diǎn)的位置一般選在第一象限，獲得公式后，可以變化點(diǎn)的位置，讓學(xué)生觀察：點(diǎn)的位置變化時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．并抽象概括出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系與點(diǎn)的位置無關(guān)．因此公式中的角可以是任意角．在此基礎(chǔ)上，配以具體題目，讓學(xué)生感受這種概括的正確性．四、教學(xué)支持條件分析本單位可利用作圖軟件，畫圖呈現(xiàn)如上所述的對稱性，并動(dòng)態(tài)演示當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)與它的坐標(biāo)之間的關(guān)系不變．教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出問題導(dǎo)入語：前面我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)，是借助于單位圓給出的，并根據(jù)定義得出了公式一，刻畫“周而復(fù)始”這種変化規(guī)律及其幾何意義．之后借助于單位圓的幾何特征，獲得了同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系．我們知道，對稱性是圓的重要性質(zhì)，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的性質(zhì)．問題1：如圖5.31，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，作關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)．（1）以為終邊的角與角有什么關(guān)系？（2）角，的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立完成問題1，然后展示，師生幫助一起完善和梳理思路．從而得公式二：設(shè)計(jì)意圖：初步感受如何將圓的一個(gè)特殊的對稱性：在坐標(biāo)系中關(guān)于原點(diǎn)對稱，代數(shù)化，并得到誘導(dǎo)公式二．并以此問題作為研究方法的示范，為進(jìn)一步提出、分析、解決問題做好奠基工作．追問1：如果點(diǎn)在第二象限，那么點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？如果點(diǎn)在軸負(fù)半軸上呢？在其他位置呢？據(jù)此，公式二中的角的終邊可以在什么位置？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后給出解答：不論點(diǎn)在哪里，點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系都不変，即公式二對任意角都成立．追問2：探究公式二的過程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后給出回答，教師進(jìn)行歸納：第一步，根據(jù)圓的對稱性，建立角之間的聯(lián)系，從形的角度入手研究．第二步，建立坐標(biāo)之間的關(guān)系．將形的關(guān)系代數(shù)化，并從不同的角度進(jìn)行表示，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．第三步，根據(jù)等量代換，得到三角函數(shù)之間的關(guān)系，即公式二，體現(xiàn)了聯(lián)系性．師生活動(dòng)：學(xué)生思考后給出回答：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到的．設(shè)計(jì)意圖：追問1旨在幫助學(xué)生理解角的任意性，追問2旨在提煉方法，追問3則滲透圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，為后面幾個(gè)公式的探索在方法上做好鋪墊．（二）類比探索，整體認(rèn)知問題2：借助于平面直角坐標(biāo)系，類比問題1你能說出單位圓上點(diǎn)的哪些特殊對稱點(diǎn)？并按照如上問題1總結(jié)得到的求解步驟，嘗試求出相應(yīng)的關(guān)系式．接下來，針對如上結(jié)論，從第一類到第三類依次解決，本課時(shí)可以先解決第一類．從而得公式三：從而得公式四：追問4：公式三和公式四中的角的終邊可以在什么位置？預(yù)設(shè)答案：角是任意角．設(shè)計(jì)意圖：類比問題1，進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)．這是個(gè)開放式的問題設(shè)計(jì)，給了學(xué)生自主的時(shí)空，鼓勵(lì)他們多角度觀察思考，提出問題，并類比問題1進(jìn)行分析，解決問題．強(qiáng)化將單位圓的對稱性代數(shù)化這種研究思路．（三）初步應(yīng)用，建立程序例1利用公式求下列三角函數(shù)值：追問5：題目中的角與哪個(gè)特殊角接近？拆分之后應(yīng)該選擇哪個(gè)誘導(dǎo)公式？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成之后展示交流，注重展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生有序地思考問題，有理地解決問題．問題3：由例1，你對公式一～四的作用有什么進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？你能自己歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考總結(jié)，之后展示交流．利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按如下圖步驟進(jìn)行：設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理求解過程，提煉解題經(jīng)驗(yàn)，明確從負(fù)角轉(zhuǎn)化為銳角的程序，提高自覺地、理性地選擇運(yùn)算公式的能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．追問6：本題與例1的異同是什么？由例1總結(jié)出的求解程序在此如何應(yīng)用？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，之后展示交流，注重展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．設(shè)計(jì)意圖：鞏固習(xí)題的知識(shí)和方法，提高學(xué)生分析能力和轉(zhuǎn)化能力．梳理小結(jié)，深化理解問題4：誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)和圓之間有怎樣的關(guān)系？你學(xué)到了哪些基本知識(shí)，獲得了怎樣的研究問題的經(jīng)驗(yàn)？師生活動(dòng)：學(xué)生自主總結(jié)，展示交流．（1）誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的代數(shù)化，是三角函數(shù)的性質(zhì)．（2）學(xué)到了三組誘導(dǎo)公式，研究方法是數(shù)形結(jié)合，注重聯(lián)系．設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理基本知識(shí)，總結(jié)研究方法，為進(jìn)一步的硏究鋪