專題09立體幾何初步

2024年真題研析

一、單選題

1.（2024新高考I卷-5）己知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為石，則圓錐的

體積為（）

A.2A/3KB.3#inC.6石兀D.9百兀

【答案】B

【分析】設圓柱的底面半徑為小根據圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑，?的方程，求出解后可求圓錐的

體積.

【詳解】設圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長為77K，

而它們的側面積相等，所以2mx有=71r義13+戶即2省=，3+戶,

故r=3,故圓錐的體積為:兀x9><5/^=3/1：.

故選：B.

52

2.（2024新高考H卷-7）已知正三棱臺ABC-A4G的體積為了，AB=6,4耳=2,則4田與平面4BC

所成角的正切值為（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】解法一：根據臺體的體積公式可得三棱臺的高〃=逑，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求

3

得AM=殍，進而根據線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺ABC-A4G補成正三棱錐

P-ABC,A/與平面ABC所成角即為期與平面ABC所成角，根據比例關系可得/=18,進而可求

正三棱錐P-ABC的高，即可得結果.

【詳解】解法一：分別取8cBe的中點D,。，則AD=3/AR=G，

可知SABC=《X6X6X￥=9A/J,S&4G=gx2xg=6,

設正三棱臺ABC-A用G的為",

則KWC-MG=~(9A/5+6+h=q,解得h=,

如圖，分別過A，R作底面垂線，垂足為〃,N,設四=尤，

22

貝(JAA]=^AM-+AXM=Jx+y,DN=AD-AM-MN=2百-x,

22

可得￡>2=^DN+DXN=J(2^-x『+：,

結合等腰梯形BCM可得BB；=1等J+DD；,

即￡+^=(2百-x『+g+4,解得.手，

所以4A與平面ABC所成角的正切值為tan?AAD翳=1；

解法二：將正三棱臺ABC-A4G補成正三棱錐尸-ABC,

則4A與平面ABC所成角即為上4與平面ABC所成角,

因為"=維=工，則k與G」

PAAB327

2652

可知匕BC—AB1G=萬％-回。=W，則=18,

設正三棱錐尸-ABC的高為d,貝！IVp_ABc=；dx；x6x6x￥=18,解得d=2出,

取底面ABC的中心為。，則PO1底面ABC,且4。=26，

所以9與平面ABC所成角的正切值tanZPAO=展=1.

AO

故選：B.

近生真整精選

一、單選題

1.(2022新高考I卷4)南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已

知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為bW.Okn?；水位為海拔157.5m時，相應水面的面積為

180.0km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m

時，增加的水量約為(甘。2.65)()

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺的高為"N=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺的體積V.

棱臺上底面積5=140.03?=140xl()6m2,下底面積S'=180.0km2=180xl06m2,

,76S12

V=1/?(S+S+>/SS)=1X9X(140X10+180X10+V140X180X10)

=3X(320+60A/7)X106~(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

2.(2022新高考I卷-8)已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3</<373,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

811「27811「27641…

A.18,—B.—C.—D.[18,27]

_4JL44JL43_

【答案】C

【分析】設正四棱錐的高為〃，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正

四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】???球的體積為36%,所以球的半徑R=3,

［方法一］:導數法

設正四棱錐的底面邊長為2°,高為人,

貝!JI2=2a2+/,32=2+(3—，

所以6%=/2,2a2=l2-h2

426

所以正四棱錐的體積V=wSi/z=Wix4〃x/z=zoX(/2—z“三/二八1r廣―/,

所以V,一,

91o

當34/V2"時，r>0,當2#</W3石時，V'<0,

所以當/=2前時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為三,

27Q1

又/=3時，V=~>/=36時，V=—,

所以正四棱錐的體積V的最小值為2斗7,

所以該正四棱錐體積的取值范圍是.

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=ga%=g(6/7-/=-2/7”x/7,,gx(醛式+〃+力=弓(當且僅當/i=4取到

),

當時，得〃淺，則強子*

當/=3力時，球心在正四棱錐高線上，此時/?=^+3=(,

號"攣n.=筌，正四棱錐體積吊二孔=：（羋）24=?<￡故該正四棱錐體積的取值范圍是

22723372243

L453J-

3.（2022新高考II卷-7）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和46，其頂點都在同一球

面上，則該球的表面積為（）

A.lOOnB.128兀C.IWD.192兀

【答案】A

【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑大小再根據球心距，圓面半徑，以及球的半

徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小4,所以入=*-,2%=取即｛=3,4=4,設球

sin60sin60

心到上下底面的距離分別為球的半徑為我,所以〃L4長―,4=JR2_I6,故|4-聞=1或

4+4=1,即二？-7F二布卜1或7FX+VF=元=1，解得笈=25符合題意，所以球的表面積為

S=4nR2=100TT.

二、多選題

4.（2022新高考I卷-9）已知正方體A5CD-ABCQ],貝I]（）

A.直線BG與所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90。

C.直線BG與平面四口。所成的角為45°D.直線BG與平面A3C。所成的角為45。

【答案】ABD

【分析】數形結合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】如圖，連接用c、BG,因為。A//8C，所以直線8G與8c所成的角即為直線8G與。4所成

的角，

因為四邊形B8GC為正方形，則故直線8G與所成的角為90。，A正確；

連接AC,因為AA1?平面8耳C1C,2￡匚平面2耳6。，則

因為BC，2G，A用用C=31,所以平面ABC,

又ACu平面ABC,所以8G，CA,故B正確；

連接4G，設4GBR=0,連接8。，

因為8百，平面A蜴G。］,QOU平面4耳G2,則Cfl1BtB,

因為GO^BQI，BQICBIB=BI，所以G。，平面BBQQ,

所以/。d。為直線BG與平面BBQD所成的角，

設正方體棱長為1,則qO=①，3￡=夜，sinZQBO=-1^=|,

所以，直線8G與平面88QD所成的角為30,故C錯誤；

因為平面ABCD,所以NG8C為直線BG與平面ABC。所成的角，易得/。出。=45,故D正確.

故選：ABD

5.（2023新高考I卷J2）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計）內的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為L8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

【答案】ABD

【分析】根據題意結合正方體的性質逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：因為0.99m<lm,即球體的直徑小于正方體的棱長,

所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；

對于選項B：因為正方體的面對角線長為&m，且0>1.4,

所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；

對于選項C：因為正方體的體對角線長為島1,且退<1.8,

所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；

對于選項D：因為可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過AG的中點。作。ELA。，設OKIAC=E,

AC=y/2,CC.=l,ACl=43,OA=—,貝！JtanNC4G=0=半,

2ACAO

1OE廠

BP72=VF,解得。E=農，

T4

故以AC|為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，

若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心。一與正方體的下底面的切點

為M,

可知：AC11O,M,O1M=0.6,貝!jtan/CAG=^=鬻，

/IC-/iCz)

10.6_L

即萬=777，解得4?i=°.6夜，

7，AC/]

根據對稱性可知圓柱的高為0-2x0.6五=1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.

M

6.(2022新高考II卷?H)如圖，四邊形A3CD為正方形，即，平面ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E-ACD,F-ABC,尸—ACE的體積分別為匕,匕,匕，貝U()

A.匕=2%B.匕=乂

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計算匕,％,連接8。交AC于點連接由匕=匕_即“+匕曲”計算

出匕，依次判斷選項即可.

【詳解】

11194

設AB=ED=2FB=2a,因為￡ZU平面ABCD,FBED,則匕.即S人8=12。3（2。）=-a3,

23

K=1-FB-5ABC=1-a-1-（2a）=ja,連接交AC于點連接EM,PM,易得BO'AC,

又ED_L平面ABCD,ACu平面ABC￡>,則ED_LAC,又EDBD=D,ED,BDu平面BDEF,貝！］AC_L

平面BDEF,

又BM=DM=；BDfa,過P作尸GLDE于G,易得四邊形加G尸為矩形，貝!]

FG=BD=2?a,EG=a,

貝！JEM=?。?a）~+（V^z）=A/^Z,FM=Ja。+=y/3a,EF=Ja。+僅A/^Z）=3a,

EM2+FM2=EF2,則S=-EM-FM=—a2,AC=2?,

EFM22

則匕=匕一瓦M+L-MM=gACSEFM=2a3,貝|]2匕=3乂，匕=3%,匕=匕+匕，故A、B錯誤；C、D正

確.

故選：CD.

7.（2023新高考H卷-9）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為。，A3為底面直徑，ZAPS=120°,PA=2,

點C在底面圓周上，且二面角尸—AC-。為45。，貝|（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面積為4省兀

C.AC=2j2D.△R4C的面積為百

【答案】AC

【分析】根據圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPS=120°,PA=2,所以。尸=1,。4=08=石，

A選項，圓錐的體積為gx7rx（6『xi=兀，A選項正確；

B選項，圓錐的側面積為兀x7^x2=2豆兀，B選項錯誤；

C選項，設。是AC的中點，連接O2PD,

則AC_LO，AC_LP。，所以ZPDO是二面角P—AC—O的平面角，

則NPDO=45。，所以OP=O￡>=1,

故AD=CD=^i=短,貝!14c=2a,C選項正確；

D選項，尸￡）=jF+4=屈,所以SMe=gx20x0=2,D選項錯誤.故選：AC.

p

三、填空題

8.（2023新高考I卷J4）在正四棱臺ABC。-AgG。中，AB=2，A4=1,A4,=忘，則該棱臺的體積

為.

【答案】還

6

【分析】結合圖像，依次求得AQ”AO，AM,從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過A作AMLAC,垂足為加，易知AM為四棱臺ABCD-44GR的高,

因為AB=2，A4=I，M=3,

貝!lAQ=L6鉆=也，4。,4。=勾&42=0，

22222

故AM=；（AC-4cJ=乎，則

所以所求體積為V」X（4+1+E）X^=辿.故答案為：巫

3266

9.（2023新高考H卷?14）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【分析】方法一：割補法，根據正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據臺體

的體積公式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于：=：，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx(4x4)x6=32,截去的正四棱錐的體積為gx(2x2)x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x(16+4+V^Z)=28.故答案為：28.

必備知識速記

一、棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些

面所圍成的多面體叫做棱柱.

(1)斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

(4)平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

(5)直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體；

(6)長方體：底面是矩形的直平行六面體；

(7)正方體：棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱

錐.

(1)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱

臺叫做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關系如圖所示.

正

斜棱柱四

棱柱棱

正棱柱柱

凸

多

面

體

正

方

體

二、圓柱、圓錐、圓臺、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，將其旋轉一周形成的面所圍成的幾何體叫做

圓錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱為球（球面距

離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）.

5、由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計算公式

1、表面積公式

a

一

S正棱臺=2+d)h+S卜+S下

臺體

2

同

S圓臺=欣*+r+r'l+r7l)

球S=4%R2

2、體積公式

柱體V^=ShKJ

V；

錐體K=Sh§

體

積

7,

臺體K=|(S+VS5+S)/ZT\

43

球V=-7lR3

3

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

(1)建立直角坐標系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐標系.

(2)畫出斜坐標系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀

圖中畫成平行于OY,O'y',使/x'O'y'=45（或135）,它們確定的平面表示水平平面.

（3）畫出對應圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸的線段，且長度保持不

變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫

不變，縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去V軸、y'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為拒:4.

五、四個基本事實

基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法

基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據

推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據

（2）此推論是判定若干平面重合的依據

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關系

位置關系相交（共面）平行（共面）異面

圖形ZX7

符號ab=Pa//baa=A,b(^a,A^b

公共點個數100

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一

個平面內

七、直線與平面的位置關系

位置關系包含（面內線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形/V

/

//

符號lual\\a=P1〃a

公共點個數無數個10

八、平面與平面的位置關系

位置關系平行相交（但不垂直）垂直

圖形三a

符號a〃Ba(3=1a工0,a/3—I

公共點個數0無數個公共點且都在唯無數個公共點且都在唯一

一的一條直線上的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/〃a

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個平

1//11

線〃線二＞面內的一條直線平行，那么這條4ua>=>/〃"

lua

線〃面直線和這個平面平行（簡記為“線

線平行n線面平行

如果兩個平面平行，那么在一個a"S

>=a//P

面〃面二＞平面內的所有直線都平行于另一au%

線〃面?zhèn)€平面

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個1//a

平面平行，經過這條lu/3

a0=1：

線〃面n線〃線直線的平面和這個平

面相交，那么這條直

線就和交線平行

H^一■、兩個平面平行

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和夕，若。尸=。，則a〃夕

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內有兩條相aua,bua,ab-P

線〃面=＞交的直線都平行于另一個

a//B，b//p=a//0

面〃面平面，那么這兩個平面平//

行（簡記為“線面平行n

面面平行

線_1_面二＞如果兩個平面同垂直于一I.La]

>=>a〃/?

/"J

面〃面條直線，那么這兩個平面

平行/1/

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那

面〃面n/“/

么在一個平面中的所有aII(3

線〃面/7>=a11B

直線都平行于另外一個//au。

平面

如果兩個平行平面同時

和第三個平面相交，那a11P

性質定理么他們的交線平行（簡a'/=〃}=〃///?.

b。Y-b\

記為“面面平行n線面/^V/

平行”）

如果兩個平面中有一個

面〃面n垂直于一條直線，那么al1P

線，面另一個平面也垂直于這I-La

條直線/:/

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平?

1a,bua

面內的兩條相交直aLI

判斷定理>n/JLa

線都垂直，則該直b-Ll

acb=P

線與此平面垂直7

兩個平面垂直，則

a10

在一個平面內垂直acB=a

面，面今線，面>=b_La

于交線的直線與另bup

bLa

一個平面垂直L

一條直線與兩平行

平面中的一個平面alip

平行與垂直的關系>n4_L尸

垂直，則該直線與a.La

另一個平面也垂直

兩平行直線中有一ab

條與平面垂直，則allb

平行與垂直的關系J>^>b.La

另一條直線與該平aLa

面也垂直

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

b

垂直于同一平面的兩a-La],

性質定理}n〃///?

bLa\

條直線平行一

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一直線aLa]

垂直與平行的關系：a11。

ZaL(3\了

的兩個平面平行ZZ

如果一條直線垂

直于一個平面，

線垂直于面的性質則該直線與平面ILa,auanl上a

內所有直線都垂ZZ歹

直

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂

直.（如圖所示，若ac￡=Cn,Cr）_L/,且&c/=AB,尸=則a_L〃）

A/

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過另一b-La]

1a.L3

bu的

個平面的垂線，A

則這兩個平面垂Z

直

知識點6：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

性質定理兩個平面垂直，則a，[3

ac0=a

一個平面內垂直于}=Z7_La

buB

交線的直線與另一7bLa

個平面垂直二

十四、直線與平面所成的角

1、定義

①斜線和斜足：如圖，一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的

斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面a引垂線尸。，過垂足。和斜足A的

直線A0叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所

成的角.

2、直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0。.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90。.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角。的范圍是0。＜。＜90。.

④直線與平面所成的角。的取值范圍是0。W8W90。.

十五、二面角

1、二面角的定義

①半平面：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱為A8，面分別為a,￡的二面角記作二面角a-AB-夕，如果棱記作/,那么這個二面角記作二面角a

-1-/3,如圖(1).

②若在a,￡內分別取不在棱上的點P,Q,這個二面角可記作二面角PAR。，如果棱記作/,那么這

個二面角記作二面角尸4。，如圖(2).

(1)(2)

3、二面角的平面角

①自然語言

在二面角a-1-P的棱/上任取一點O,以點。為垂足，在半平面a和/內分別作垂直于棱/的射線OA和

OB,則射線OA和OB構成的NA08叫做二面角的平面角.

②圖形語言

③符號語言

a^/3=l,Owl,OA^a,OBU/3,OAA.I,03JJ0/AOB叫做二面角a-//的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②當二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是0。；當二面角的兩個半平面合成一個平面時，

規(guī)定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角-的范圍是0。WaW180。.

名校模擬探源

一、單選題

71

1.（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長為2,且母線與底面所成角為丁，則該圓錐的側面積為（）

4

A.B.2兀C.2A/2TTD.4兀

【答案】C

【分析】根據題意，求得圓錐底面圓的半徑，結合圓錐的側面積公式，即可求解.

【詳解】圓錐的母線長為2,母線與底面所成角為;，所以底面圓的半徑為r=2sin：=收，

所以該圓錐的側面積為5惻=兀*0'><2=2月1.

故選：C

2.（2024?河北秦皇島?三模）已知機，〃表示兩條不同的直線，a表示平面，貝|（）

A.若ma,n//a,則〃z〃〃B.若根a,m則w_l_e

C.若,〃?_!_〃，貝！J"〃aD.若m_1_a,〃ua,則機J_〃

【答案】D

【分析】根據題意，由空間中直線與平面的位置關系，對選項逐一判斷，即可得到結果.

【詳解】若"a,n//a,則辦〃可能平行，異面或者相交，故A錯誤；

若％a,m±n,則〃與?？赡芷叫?，可能相交，也可能〃ua,故B錯誤；

若〃?_Le,m±n,則〃與a可能平行，也可能“ua,故C錯誤；

若機_Lc,〃ua,由線面垂直的性質定理可知故D正確；

故選：D

3.（2024?新疆喀什.三模）已知底面邊長為2的正四棱柱ABCD-4月的體積為16,則直線AC與A/

所成角的余弦值為（）

A.也B.立「Vio3A/10

551010

【答案】c

【分析】如圖，確定ZACQ（或其補角）為直線AC與48所成的角，求出CG，進而求解.

【詳解】如圖，連接AR，CR,則A?//。。，取AC的中點。，連接。鼻，則。R1AC,

所以ZACQ（或其補角）為直線AC與A8所成的角，

又正四棱柱的體積為16,則該棱柱的高為cq=2=4,

22

又AC=2A/2,ADX=CDi=A/4+2=2^,

所以c°s48=上四,

CD,24510

即直線AC與小所成角的余弦值為嚕

4.（2024.山東濰坊.三模）某同學在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組

成.已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1:2,上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長

之比為（）

A.叵V2D.姮

B

5-I25

【答案】A

【分析】由圓錐的體積公式及圓錐高、半徑與母線的關系計算即可.

【詳解】設上、下兩圓錐的底面半徑為,，高分別為4,色，體積分別為匕％,

因為上圓錐的高與底面半徑相等，所以4=r,

va兀hr13

則la得，…'

7lJ

23

上圓錐的母線為“2+片=-2+產=也八下圓錐的母線為小戶+尼=J,+4產=6,

0r_何

所以上、下兩圓錐的母線長之比為

故選：A.

5.（2024?陜西?三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞

口，弧壁，廣底，圈足.器內施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋

盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,

則黃地綠彩云龍紋盤的側面積約為（）（附：兀的值取3,J25.402525）

C.322.24cm2D.332.52cm2

【答案】B

【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側面積公式，即可求解.

【詳解】設該圓臺的母線長為/,兩底面圓半徑分別為R,r（其中R>r）,

貝！|2R=22.5,2r=144,/z=3.8-O.8=3,

所以/==,32+4.052=J25.4025合5,

故圓臺部分的側面積為岳=兀（火+r）/a3x（11.25+7.2）x5=276.75cm2,

圓柱部分的側面積為邑=2叱?0.8=6x7.2x0.8=34.56cm2,

故該黃地綠彩云龍紋盤的側面積約為H+S2。276.75+34.56=311.31cm2.

故選：B.

6.（2024.四川成都.模擬預測）我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行

平面內的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過

高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為

V=：MS+4S°+S'）,其中S,S'分別是上、下底面的面積，S。是中截面的面積，〃為擬柱體的高.一堆形為

擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆