專題突破10三元一次方程組①——消元法、設(shè)參法、換元法

類型一用消元法解三元一次方程組

1.解下列三元一次方程組.

X2

-+y+Z-

23%—y+z=4,

11

3-Z-(2){2x+3y—z=12,

=X+%+y+z=6;

1;

2%+y+3z=11,a+b+c=6,

(3){3x+2y—2z=11,(4){3a—b+c=4,

4x—3y—2z=4;2a+3b—c—12.

類型二用設(shè)參法、換元法解三元一次方程組

2.（2024武漢二中周練）完成下面的探索過程：

給定方程組｛1+1=2,如果令-=A--B,-=C,則方程組變成一.

yzxyz

萬十歹一）

解出這個新方程組得出A,B,C的值，從而得到:X二;y=;z=.這樣的方法稱為“換

元法”.請寫出方程組的過程.

x-4_y+1_z+2

3.解方程組（?。莨?二0請你將步驟補充完整

解：由①設(shè)受=y+1

4

x=_fy=_,z=_.

代入②，得_____________________________,

k=,

；?x=,z5,y三

???方程組的解為

4.若x+y+z9且型￡=叼2=衛(wèi)=幺則k的值為()

xzy

A.1B.2C.3D.4

5.用合適的方法解下列三元一次方程組.

x:y=2:3,x+y+t=27,

(1){%:z=5:4,(2)<+y__y+t

%+y+z=33;x

?2-丁一~~T~

a+b_b+c_c+a

a\b\c=

2:3:4,(4){-=T=-'

(3){)

3a+Z=4c—14;4a—c=3b+25.

專題突破11三元一次方程組②一轉(zhuǎn)化思想、整體思想

類型一利用轉(zhuǎn)化思想構(gòu)建三元一次方程組

72a2b+c4a+c

1.已知x~yZ^—7%4"Cy3a-5bz5-2匕的和還是單項式,則（a=_,b=_.

2.已知y=ax2+b%+c,當(dāng)x=-2時，y=9;;當(dāng)x=0時，y=3;;當(dāng)x=2時，y=5,求a,b,c的值.

類型二用整體思想解三元一次方程組

3.在求代數(shù)式的值時，可以用整體求值的方法，化難為易.

例：已知求其+…{7玉墨3:；。,四的值

解：①X2彳導(dǎo)6%+4y+2z=8③

②-③，得x+y+z=2

.,?％+y+z的值為2.

（1）已知{：；張；女求3久+4y+5z的值；

⑵馬上期中了，班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎品，根據(jù)商店的價格，購買40本筆記本、20

支簽字筆、4支記號筆需要488元.通過還價，班委購買了80本筆記本、40支簽字筆、8支記號筆，只花了732元，

請問比原價購買節(jié)省了多少錢？

4,若2x+3y+4z=10且y+2z=2,求x+y+z的值.

5.閱讀下列材料，然后解答后面的問題.

已知方程組噌:焉;箕?2。.求x+y+z的值.

2（x+3y）+（工+歹+z）=20,（

<

解：將原方程組整理，得C（x+3y）+（x+y+z）=27.§

②-①，得x+3y=7,③

把③代入①，得x+y+z=6.

仿照上述解法，解決下面問題.

已知方程組｛一丫：?131,求*+2'的值

6.(1)已知二元一次方程組則久—y=-久+y=_;

L.X,十uV-D,

(2)某班級組織活動購買小獎品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3

本日記本共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？

⑶對于實數(shù)x,y,定義新運算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算.已知

3*5=16,2*3=12,求5*9的值.

專題突破12三元一次方程組③一實際問題

1.若一個三角形的周長為24,其中兩條邊的長度之和比第三條邊多4,而它們的差是第三條邊的專設(shè)其中兩條

邊的長度分別為x,y,求三角形中最短的一條邊的邊長.

2.汽車在平路上每小時行駛30km,上坡時每小時行駛28km,下坡時每小時行駛35km,去時行駛142km的路

程用4小時30分鐘，原路回來時用4小時42分鐘，平路有多少千米?去時上、下坡路各有多少千米?

3.某次智力競賽共有3題：第一題30分，第二題30分，第三題40分.每題只有兩種情況：答對得滿分，答錯

得0分.結(jié)束后統(tǒng)計如下：

⑴答對3題的有4人，答對2題的有17人，3題全錯的有5人；

(2)答對第一題與答對第二題的人數(shù)之和是44,答對第二題與答對第三題的人數(shù)之和是36,答對第一題與答對

第三題的人數(shù)之和是40.求這次智力競賽的平均成績.

4.小明媽媽到文具店購買三種學(xué)習(xí)用品，其單價分別為2元、4元、6元，購買這些學(xué)習(xí)用品需要56元，經(jīng)過

協(xié)商最后以每種單價均下調(diào)0.5元成交，結(jié)果只用了50元就買下了這些學(xué)習(xí)用品，則小明媽媽有幾種不同的購買方

法？

專題突破13二元一次方程組與坐標(biāo)系

1.(2024江漢改編)已知點A(a,0),點B(0,b),且a,b滿足,2a—b-6+(a-2b)2=0.

(1)求出點A,B的坐標(biāo);

(2)已知點P(m,n)滿足2m+n=0,,且三角形PAB的面積為5(即SAPAB=5),求點P的坐標(biāo)；

⑶點M(x,y)為線段AB上一點，求x+2y的值.

專題突破14二元一次方程組與面積、平移

1.(2024青山期末改編)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),

C(2,4),且V2a+b+10+|3a-2b+8|=0.

(1)求a,b的值；

(2)點D(t,0)為x軸上一，點，且SMBD=5sA4BC，求t的值；

(3)平移三角形ABC到三角形EFG(其中點A,B,C的對應(yīng)點分別為點E,F,G),設(shè)E(m,n),F(p,q),且滿足

5m-n=-q=4,請直接寫出點G的坐標(biāo).

綜合與實踐設(shè)計剪裁問題

1.下表是某工廠設(shè)計玩具的裁剪方案.

課題設(shè)計裁剪方案

女口圖1J聽示是一套豌的玩具，主要由一個豌豆莢和三，外豌豆組成.如圖②所

示，帶蚱一、豌豆所需布料的尺寸是40cmx40cm;如圖3所示,制作一個豌豆莢所需

布料白,勺尺寸看=40cmx140cm..三個期。豆和一個豌豆莢可以組成一套完整的玩具.

素材1

TI1T

40cm40cm

1____1

0<-40cm*

?140cm?

圖1圖2圖3

某玩具加工廠在清點庫存時發(fā)現(xiàn)倉庫有一批880cmxlOOOon的布料，于是廠家準(zhǔn)

素材2

備將這批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸.（不計剪裁時的損耗）

若要不造成布料浪費，請你將下列方案補充完整.

任務(wù)擬定裁方案一：裁剪50張豌豆的布料和0張豌豆莢的布料；

剪方案方案二：裁剪8張豌豆的布料和______張豌豆莢的布料；

我是裁剪師方案三：裁剪______張豌豆的布料和4張豌豆莢的布料.

若該工廠現(xiàn)要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4

任務(wù)解決實

張布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在沒有布料浪費

際問題

的條件下還需從倉庫拿幾張布料？

專題突破10三元一次方程組①——消元法、設(shè)參法、換元法

類型一用消元法解三元一次方程組

1.解下列三元一次方程組.

：+y+z=2,3%—y+z=4,

(1){2%+--z=1,(2){2x+3y—z=12,

3%+y+z=6;

y=%+1;

io

x=一

23x=2

解：(y=H；解：{y=3

8z=1

Z=一

23

2%+y+3z=11,a+b+c=6,

(3){3x+2y—2z=11,(4){3a—b+c=4,

4%—3y—2z=4;2a+3b—c=12.

x=3a=2

解：{y=2解；{b=3

z=1c=1

2.（2024武漢二中周練）完成下面的探索過程：

第十ya

給定方程組（1+1=2,如果令：=4；==C,則方程組變成一.

-Z+-X=5,'

解出這個新方程組.得出A,B,C的值，從而得到:x=;y=;z=.這樣的方法稱為“換

元法”.請寫出方程組的過程.

一+—=1

xy

4+8=111

[B+C=2①解：令嚏=4[=B,g=C，則方程組丁變?yōu)橐?-=2，①+②+③得A+B+C=4④,

力y

c+=5y/③

I1「

—*I—=5

zx

1=2i

J%=-

④-①得：C=3,④-②得：A=2,④-③得：B=-1,.-.{-=-1廨得(y=-1.

i-1

工=37z—3

x-4_y+1_z+2

3.解方程組72；工;之①②請你將步驟補充完整

解：由①設(shè)（=中=平=化

345

???x=_3/c+4,y=4/c—l,z=_5fc-2.

代入②，得3k+4-2(4k-l)+3(5k-2)=30,

：.k=3

x=13,y=11,z=13,

x=13

???方程組的解為{y=11.

z=13

4.若x+y+z加且等=亨=芋=死則k的值為（C）

A.1B.2C.3D.4

2y+z=kx@

解：...等=學(xué)=g=k,.??{2x+y=kz@,

2z+汽=ky@

①+②+③得3(x+y+z)=k(x+y+z),x+y+z^O,k=3.

5.用合適的方法解下列三元一次方程組.

x\y=2\3,%+y+t=27,

(1){%:z=5:4,(2){x+y_t+x_y+t_

x+y+z=33;2.3.4，

%=10x=3

解：{y=i5；解：(y=9

z=8t=15

a+b_b+c_c+a

(Xa\b\c=2:3:4,f

(+6=4c—14;(4){~一"5"一~

4a—c=3b+25.

a=4a=15

解：［b=6解：{b=5.

c=8c=20

專題突破H三元一次方程組②——轉(zhuǎn)化思想、整體思想

類型一利用轉(zhuǎn)化思想構(gòu)建三元一次方程組

1.已知x7~2ay2b+cz4a+c—7%4b+Cy3a_5bz5—2匕的和還是單項式，則@=5,b=6,c=-27.

2.已知y=ax2+bx+c,當(dāng)x=-2時，y=9;當(dāng)x=0時，y=3;當(dāng)x=2時，y=5,求a,b,c的值.解:當(dāng)x=-2時，y=9,9=

4a-2b+c;當(dāng)x=0時，y=3,/.3=c;

4a—2b+c=9a=1

當(dāng)x=2時y=5,.Fuda+Zb+c,{c=3,解得{b=-1.

4a+2b+c=5c=3

類型二用整體思想解三元一次方程組

3.在求代數(shù)式的值時，可以用整體求值的方法，化難為易.

例：已知G祟M3二；0,①②求x+y+z的值

解：①x2,得6x+4y+2z=8③

②-③，得x+y+z=2

.'.x+y+z的值為2.

(1)已知｛煞之意；求3x+4y+5z的值；

J人TyT'/Z一乙u,

⑵馬上期中了，班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎品，根據(jù)商店的價格，購買40本筆記本、20支簽字筆、

4支記號筆需要488元.通過還價，班委購買了80本筆記本、40支簽字筆、8支記號筆，只花了732元，請問比原

價購買節(jié)省了多少錢？

解：留二女①①+②得：6x+8y+10z=36,則3x+4y+5z=18②

⑵設(shè)筆記本、簽字筆、記號筆的價格分別為X元，y元，Z元，根據(jù)題意得：40x+20y+4z=488,80x+40y+8z=488

x2=976,976-732=244(元)，則比原價購買節(jié)省了244元.

4.若2x+3y+4z=10且y+2z=2,求x+y+z的值.

解：產(chǎn)②?①-②得,2x+2y+2z-8,；.x+y+z=4.

5.閱讀下列材料，然后解答后面的問題.

已知方程組神：備求x+y+z的值.

解：將原方程組整理，得[；'+雪￡

[3(x+3y)+(x+y+z)=27.②

②-①，得x+3y=7,③

把③代入①，得x+y+z=6.

仿照上述解法，解決下面問題.

已知方程組｛—求x+2y-z的值

解：將原方程組整理，得｛之1+2廠z)；+z,=220

一3(%+2y-z)+(2%+z)=-1②

(2)x2得-6(x+2y-z)+2(2x+z)=-2③，①-③得8(x+2y-z)=24,解得x+2y-z=3.

6.⑴已知二元一次方程組引:g則x-y"_,x+y=/_;

(2)某班級組織活動購買小獎品,買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本

共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？

(3)對于實數(shù)x,y,定義新運算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常數(shù)等式右邊是通常的加法和乘法運算.已知3*5=16,2

*3=12,求5*9的值.

解：⑵設(shè)購買1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元，

根據(jù)題意得：｛燒:黑箕①②，①x2-②得：x+y+z=7,.3+3丫+32=21.

答：購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需21元.

(3)：3*5=16,2*3=12,.①

⑨，

①-②得a+2b=4,②x3-①x2得5a+9b+c=24,；.5*9=5a+9b+c=24.

專題突破12三元一次方程組③一一實際問題

1.若一個三角形的周長為24,其中兩條邊的長度之和比第三條邊多4,而它們的差是第三條邊的芻設(shè)其中兩條邊的長度

分別為x,y,求三角形中最短的一條邊的邊長.

x+y+z=24X=Q

解：設(shè)其中兩條邊的長度分別為x、y,另一條邊的長度為z,根據(jù)題意：｛“+'一4：z,解得｛曠=6

x-y=-zz=10

答：三角形中最短的一條邊為6.

2.汽車在平路上每小時行駛30km,上坡時每小時行駛28km,下坡時每小時行駛35km,去時行駛142km的路程用4

小時30分鐘，原路回來時用4小時42分鐘，平路有多少千米?去時上、下坡路各有多少千米？

解：設(shè)去時上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米,

%+y+z=142

X=42

產(chǎn)+工+二=4.5

由題意得：1283035J解得｛y=30

二+上+上=4.7z=70

283035

答：平路有30千米，去時上坡路有42千米,下坡路有70千米.

3.某次智力競賽共有3題：第一題30分，第二題30分，第三題40分.每題只有兩種情況：答對得滿分，答錯得0分.

結(jié)束后統(tǒng)計如下：

⑴答對3題的有4人，答對2題的有17人，3題全錯的有5人；

(2)答對第一題與答對第二題的人數(shù)之和是44,答對第二題與答對第三題的人數(shù)之和是36,答對第一題與答對第三題的

人數(shù)之和是40.求這次智力競賽的平均成績.

x+y=44

解：設(shè)答對第一題，第二題，第三題的人數(shù)分別為X,y,z,則｛y+z=36解得x=24,y=20,z=16.

%+z=40

：3題全答對的只有4人，答對兩題的有17人，3題全錯的有5人，

.,.參賽總?cè)藬?shù)為：24+20+16-17-4x2+5=40人，平均得分為：(30x24+30x20+40x16)-40=49分.

答：這次競賽的平均得分為49分.

4.小明媽媽到文具店購買三種學(xué)習(xí)用品，其單價分別為2元、4元、6元，購買這些學(xué)習(xí)用品需要56元，經(jīng)過協(xié)商最后

以每種單價均下調(diào)0.5元成交，結(jié)果只用了50元就買下了這些學(xué)習(xí)用品，則小明媽媽有幾種不同的購買方法？

解：設(shè)分別購買單價為2元、4元、6元得到學(xué)習(xí)用品x件、y件、z件，

可信：1.5X+3.5y+5.5z=5(^°

(①-②)x2得x+y+z=12③，①+2得：x+2y+3z=28④，④-③得.y+2z=16,[z==8—；,x,y,z都是正

整數(shù)，.?.當(dāng)y=2時,z=7,x=3;當(dāng)y=4時，z=6,x=2;當(dāng)y=6時，z=6,x=l.

答：小明媽媽有三種不同的購買方法.

專題突破13二元一次方程組與坐標(biāo)系

1.(2024江漢改編)已知點A(a,0),點B(0,b),且a,b滿足72a-6-6+(a-2b)2=0.

⑴求出點A,B的坐標(biāo)；

⑵已知點P(m,n)滿足2m+n=0,且三角形PAB的面積為5(即SAPAB=5),,求點P的坐標(biāo)；

⑶點M(x,y)為線段AB上一點，求x+2y的值.

解：(1yj2a-b-6+(a-2b)2=0,V2a-b—6>slantO,(a-2b)2>0,

V2a-&-6=0,(a-2b)2=0,,-,12a~b~6=L°,解得｛；=。，A(4,0),B(0,2)

a—Zb=0b=A

(2)*.*2m+n=0,n=-2m,.*.P(m,-2m).

①當(dāng)P在AB上方時，過P作PKJ_x軸于K,

***SB=5,SMPK-SPKOB-S^AO^=5,

|(4-m).(-2m)-1(2-2m)-(-m)-|x4x2=5,解得m=-3,.\P(-3,6);

②當(dāng)P在AB下方時，連接OP,SAPAB=5,二S&4Po+S&AOB-^APOB=5,，5X4X2m+-X4X2--X2m=5,

解得加=”?.P曰—I).綜上所述，P的坐標(biāo)為(-3,6)或g--|).

?

(3)連OM,由A(4,0),B(0,2),VM(x,y)為線段AB上一點，??S&AOB=S^AOM+SABOM,^OAOB=\OA-

7M+1OB-xM,|x4x2=|x4y+1x2x,x+2y=4.

專題突破14二元一次方程組與面積、平移

1.(2024青山期末改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),C(2,

4),且，2a+b+10+|3a-2b+8|=0.

(1)求a,b的值；

(2)點D(t,0)為x軸上一且S4ABD=]SAABC,求t的值；

⑶平移三角形ABC到三角形EFG(其中點A,B,C的對應(yīng)點分別為點E,F,G),設(shè)E(m,n),F(p,q),且滿足5m-n=

P-q=4,請直接寫出點G的坐標(biāo).

y

備用圖

解：((1)72cL+b+10+13a—2b+8|=0,y/2a+6+10>0J3a—2b+8|>slantO

V2a+b+10=0/3a-26+8|=0,.??{|a+TJg=2解得C=U，

3a—2b+8=0b=—2

，a的值為-4,b的值為-2.

⑵過點A作MN〃y軸.過點C作CM〃MN于點M,

過點B作NPLMN于點N,過點C作CPLNP于點P,

由(1)可知A(-4,0),B(0,-2),C(2,4),AD=|t+4|,

S^ABD='OB=|x|t+4|x2=|t+4|,

AM(-4,4),N(-4,-2),P(2,-2),

111

Sa=S加瓶從狼-S“ABNTAACM.S.BCP=MN-NP--AN-BN--AM-CM--BP.CP

111

=6x6——x2x4——x4x6——x2x6=14.

222

?-?SAABD=t+4|=(x14,解得t=—?或|

(3)VA(-4,0),B(0,-2),C(2,4),E(m,n),F(p,q),m-(-4)=p-0,n-0=q-(-2),即m+4=p,n=q+2,

45(p-4)-(q+2)=462

5m-n=-p-q=4,■-{4，解得［p=,/，；.E(2,6).

s-p-q_q16

由A(-4,0)平移到E(2,6),

可知三角形向右平移6