專題10相似三角形中的基本模型半角模型

相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈

現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再

遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.半角模型（相似模型）

【常見(jiàn)模型及結(jié)論】

1）半角模型（正方形中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABC。中，I3EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且OEAF=45°

E

B_E------------C

ApAJ7pp「

結(jié)論：如圖1,△AMNsZXA尸E且匕=絲=2=&.（思路提示:ZANM=ZAEF,NAMN=/AFE）；

AMANMN

A—_______________n

BECB￡CB￡C

圖1圖2

結(jié)論：如圖2,AMANsAMDA,ANAMSANBA；

A「吟=及；

結(jié)論：如圖3,連接AC,則尸0,AAND^AAEC.且一

A

A_______________DJ________________D

BECBECB￡C

圖3圖4

結(jié)論：如圖4,ABMEsAAMNsADFN.

2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）

（1）含45°半角模型

條件：如圖1,已知NBAC=90°,ZABC=ZACB=/DAE=45。；

結(jié)論：①△ABESADAES/VJCA；(2)J4B=AD=CD.③AB，AC=BE-CD

BEAEAC

(AB2=BE-CD)

（2）含60°半角模型

條件：如圖1,已知N2AC=：L20°,ZADE=ZDAE=60°；

結(jié)論：①ABMxc在sXCBA；②絲=。=任；?ADAE=BDCE

BDAEAB

(DE2=BDCE')

例L（2023?山東濟(jì)南?九年級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、/分別是BC、。。邊上的兩點(diǎn)，且

ZE4F=45。，AE,AF分別交BD于M,N.下列結(jié)論：?AB2=BNDM;②AF平分NDFE;③

AMAE^ANAF；@BE+DF=42MN.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①②③C.①③D.①②

【答案】A

【分析】AB-.BN=DM-.AB,因?yàn)锳B=Ar>,所以即證證明EABNEBMM；②把EABE

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得EL4。”證明0AFH00AFE（SAS）；③即證AM:AN=A尸:AE,證明（兩角

相等）；④由②得十。尸=所，當(dāng)E點(diǎn)與2點(diǎn)重合、尸與C重合時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)論成立.

【詳解】①^BAN^\BAM+^MAN=^BAM+^,

^AMD^BM+BBAM=^5Q+^BAM,：?^BAN^3\AMD.

又EL4BN=a4DM=45°,..^ABN^MDA,：.AB,BN=DMAD,

AD=AB,AAB2=BNDM.故①正確；

②如圖，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到朋。H,

H

0BA￡>=9O°,回EA尸=45°,.??團(tuán)84E+團(tuán)D4代45°.^\EAF=^HAF,

AE=AH,AF=AF,^AEFmAHF,

^AFH=^AFEfBPAF^^DFE,故②正確；

③A3團(tuán)CD,「?^DFA^BAN,

^\AFE=^\AFDf^\BAN=^\AMDf^\AFE=^\AMNf

又回MAN二回RIE,「.^\AMN^\AFE,

■■.AM:AF^AN-.AE,§PAM-AE^AN-AF,故③正確；

④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE,過(guò)A作AOE1BZ）,作AGSEF

則13AFE與0AMN的相似比就是AG:AO,易證ElAORaEIAGF（AAS）,

則可知AG=AD=0AO，從而得證，故④正確，故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、相似（包括全等）三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性

極強(qiáng)，難度較大.

例2.（2023?山東濱州,統(tǒng)考中考模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,點(diǎn)、E、尸分別在8C、CDh,

若AE=#,0EAF=45°,則AE的長(zhǎng)為.

3

［分析］取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,則NF=8x,再利用矩形的性

質(zhì)和已知條件證明她“￡血尸乂4,禾?。萦孟嗨迫切蔚男再|(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形

ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng).

【詳解】解：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在A。上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,

回四邊形ABC￡>是矩形，mD=0BAD=0B=9O°,AD=BC=4,SNF=y/2x,AN=4-x,

S4B=2,EL4M=BM=1,EAE=7?,AB=2,回BE=1,B1ME=JBM2+BE。=及，

EHEAP=45°,EEMAE+Em尸=45°,

a3MAE+EIA￡M=45°,^3\MEA=^NAF,^iAME^FNA,

AMME1V24

0n------=-------,團(tuán)一尸一二--------解得：x=-

FNAN亞x4-x

0AF=y/AD2+DF2=處故答案為勺叵.

33

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確添加輔助線構(gòu)造相

似三角形是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考一模）如圖，ZACB=90°,AC=BC,ZDCE=45°,如果AD=3,3E=4,則BC

的長(zhǎng)是（）.

c

A

f\

/f\

//'

ADTB

A.5B.55/2C.6s/2D.7

【答案】C

【詳解】分析：由于EABC中，AC=BC,EACB=90°,設(shè)DE=x,則AB=7+x,可以得出EL4C瓦EICDEffilgOC,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于x方程，解出x,再計(jì)算BC的長(zhǎng).

詳解：設(shè)QE=x,則AB=7+x.

EBAC2=90°,AC=BC,EEDCE=0CA￡=0DBC=45°

EEL4c￡EBCnEEH3DC,設(shè)C￡>=a,CE=b,則有以下等式:

x：b=b：3+x,x：a=a：4+x,x：a=b：AC,

整理得：b2=x(x+3),a2=x(x+4),x9AC=ab,

丫+7)2

x2(x+3)(x+4)=a2b2=x29AC2=--------,解得：x=5；

2

EL4B=12,0AC=BC=6&.故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，以及列方程求解的能力.

例4.（2023?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AABC中，/B4c=120。，AB=AC,點(diǎn)。為BC邊上的點(diǎn)，點(diǎn)

E為線段8上一點(diǎn)，且CE=1,AB=243,/7%￡1=60。，則。E的長(zhǎng)為.

【分析】利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)及圖形的相似可求OE的長(zhǎng).

【詳解】解:如圖，作AF/BC于F,作EGLAC于G.

AABC中，ZBAC=nO°,AB=AC.0ZB=ZC=3O°.

在KDCEG中，NC=30。.\EG=[CE=1,CG=—.AAG=2y/3--=—.

22222

QAF1BC.:.ZAFC=90°.\AF=1AC=73.

QIDAE60??FAC.\2DAF2EAG.QIAFD2AGE90?.\DADF^DAGE.

.P_DF

~7^=T77，BP3.731.\DF=-.由勾股定理得：AE2=AG2+EG2=AF2+EF2.

AGEU......-J

22

\E>=（爭(zhēng)+（吳（同=4.：.EF=2.32+；=[故答案為：!

【點(diǎn)睛】本題考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形是求解本

題的關(guān)鍵.

例5.（2023?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考二模）在菱形ABCD中，/3=60。.點(diǎn)E,尸分別在邊BC,8上，且3石=。廠.連

接AE,AF.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,連接所，求證：AAE尸是等邊三角形；（2）AG平分，E4F交BC于點(diǎn)G.

①如圖2,AG交跖于點(diǎn)M,點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，當(dāng)3E=4時(shí)，求MN的長(zhǎng).

②如圖3,。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AG上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)H與點(diǎn)A,點(diǎn)G不重合）.當(dāng)AB=12,BE=4

時(shí)，是否存在直線OH將“怎分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為

AH

M3.若存在，請(qǐng)直接寫出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

ACJ

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①M(fèi)N=2g;②!■或

【分析】（1）證VABE^VAC不，根據(jù)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形證明即可；

（2）①連接AN,證列出比例式，根據(jù)相似比即可求解；②分點(diǎn)H為AG中點(diǎn)和點(diǎn)N

為EC中點(diǎn)兩種情況，根據(jù)相似比，求出比值即可.

【詳解】解：（1）四邊形ABCD是菱形，:.AB=BC,

回，3=60。，HSABC是等邊三角形，

SAB=AC,ZACB=ZACD=ABAC=60°,

BE=CF,;.AABE會(huì)AACF；:.AE=AF,

:.ZBAE=ZCAF,:.ZEAF=6O°,.;AEF是等邊三角形；

（2）①連接AN,點(diǎn)N是3C的中點(diǎn)，.?./4A?=90。，

ZB=60°,:.ZBAN=30°,cosZBAN=~=^-,

AB2

由（1）知，△AEF是等邊三角形，ZE4F=60°,AG平分“4F,NAME=90。，ZEAM=30°,

cosZEAM=^L=^-,/BAN—/EAN=NEAM—/EAN,ZBAE^ZNAM,

AE2

MNAMMNX/3r

AANAM^ABAAE.-.——,/.—-=—,/.W=2<3

BEAE42

B

ENGC

②如圖，當(dāng)點(diǎn)”為AG中點(diǎn)時(shí)，即槊

ACr2

回。是AC的中點(diǎn)，0OH0EC,00AMO00AEC,

1

?AO1-SAMO1nnAMO

El—=--回一^，即飛-------;

AC2AEC4Q四邊形MECO3

q1

uCON_

同理，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)N為EC中點(diǎn)時(shí)，ONSAE,

S四邊形NEAO3

連接尸G,作尸。犯C,交3C延長(zhǎng)線與點(diǎn)尸,

^1BE=CF=4,AB=BC=12,回CE=8,

團(tuán)CO團(tuán)43,回團(tuán)3二團(tuán)。C尸=60°,00CFP=3O°,團(tuán)CP=2,pp=^CF2-CP1=273，

^AE=AF,AG=AGf團(tuán)E4G二團(tuán)班G,團(tuán)團(tuán)E4GmE4G,團(tuán)EG二尸G,

設(shè)EG=x,CG=8x,PG=10x,(10-x)2+(273)2=x2,解得，%=5.6,

……AHEN45

⑦EN=CN=4,==—=—

AGEG5.67

綜上，?的值為：/或!".

ACr乙7

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，

解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)幾何知識(shí)，構(gòu)建幾何模型證明相似或全等.

例6.(2023山東九年級(jí)期中)如圖，正方形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別是邊BC,CD±

的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)2,C,D重合)，AM,AN分別交BD于點(diǎn)E,F,且回MAN始終保持45。不變.

(1)求證：-^-=—；(2)求證：(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎涸趫F(tuán)WAN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)團(tuán)友等于多少度

AM2

時(shí)，S\FMN=S\BAM?寫出你的探索結(jié)論，并加以證明.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）EIA4M=22.5.

【分析】（1）先證明A、B、M、尸四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可證明她EM=90。，根據(jù)等腰

直角三角形性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

（2）由（1）的結(jié)論即可證明.

（3）由：A.B、M、尸四點(diǎn)共圓，推出132AM=EIEPM,因?yàn)閳F(tuán)區(qū)4M=EIEMN,^^EFM=^FMN,推出MN^BD,

CMCN

得至lj—=—,推出切片DN,再證明△A3M0AADN即可解決問(wèn)題.

CBCD

【詳解】解：（1）團(tuán)四邊形A3CD是正方形，^ABD=BCBD=45°,[?L4BC=90o,^MAN=45°,^\MAF=BMBE,

EL4、B、M,尸四點(diǎn)共圓，Ea4BM+SAFM=180°,EIEIAFM=90o,00MM=0FMA=45°,SAM=J2AF,回處=變.

AM2

（2）由（1）可知EAFM=90°,SAF^iFM.

(3)結(jié)論：OBAM=22.5時(shí)，SFMN=SBAM

理由：朋、B、M,尸四點(diǎn)共圓，^BAM^EFM,^BBAM^FMN,^EFM^FMN,^MN^BD,

CMCN

0——=一，0CB=DC,13cM=CN,SMB=DN,在AABM和AALW中，SAB=AD,SABM^DN,BM=DN,

CBCD

^\AABMS\AADN,BSiBAM^DAN,EHMAN=45°,

fflBAM+0DAAf=45°,00BAM=22.5°.

例7.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1,在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形

ABC和ABG擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，ZBAC=ZG=90°,若一ABC固定不動(dòng)，將AFG繞點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)，邊AF,AG與邊8C分別交于點(diǎn)。，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)3重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），則結(jié)論3￡8=4笈

是否成立（填"成立"或"不成立"）；

【類比引申】（2）如圖2,在正方形ABC。中，/E4F為4AD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)角，兩邊分別與BD,BC交

于點(diǎn)E,F,且滿足NE4F=NADS,求證：ADE^.ACF；

【拓展延伸】（3）如圖3,菱形ABC。的邊長(zhǎng)為12cm,/.BAD=120°,NE4F的兩邊分別與8。，BC相

交于點(diǎn)E,F,且滿足NE4F=N/4DB,若3尸=9cm,則線段DE的長(zhǎng)為cm.

圖3備用圖

【答案】（1）成立；（2）證明見(jiàn)解析；（3）56cm.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出4MC=/AEB,再證△的即可；（2）根據(jù)正方形性質(zhì)

得出NC4F=/ZME即可；（3）如圖3,在OE上取一點(diǎn)使NM4D=30。，過(guò)M作于N,根

據(jù)四邊形ABCD為菱形，且/B4D=120。，證出/M4D=NMEM=30。，再證△ACFs/v4A/E,求出

AC=^AM,利用菱形A3CD的邊長(zhǎng)為12cm,求出CF=?WE=3cm即可.

【詳解】解：（1）結(jié)論3ECD=AB?成立

理由：如圖1,回和二AFG都是等腰直角三角形，回NB=/C=NE4G=45。

A

圖1

0ZZMC=ZC4E+45°,NA￡B=NC4E+45。,⑦ZDAC=ZAEB

「BEAL?

又回ZJB=NC,團(tuán)/\BEA^/SCAD，團(tuán)=—一,

^AC=AB,SBECD=AB2,故答案為：成立

(2)證明：如圖2,回四邊形ABCD是正方形，

BFC

圖2

^\ZCAD=ZACB=ZADB=45°,

^ZEAF=ZADB,0ZE4F=ZCW=45°,

[3ZACF+NG4E=NZ14E+NC4E,回NCAF=NDAE,

又回？ACB2ADB,回/ADEsAb；

（3）線段DE的長(zhǎng)為5j5cm

理由：如圖3,在。石上取一點(diǎn)M,使/M4D=30。，過(guò)M作肱V/AD于N,

又回四邊形A8CD為菱形，且NB4D=120。，

^ZCAD=ZACB=ZADC=60°,[EZMDA=-Z.ADC=30°

2

^\ZMAD=ZMDA=30°,回ZAM￡=60。，^\ZAME=ZACB=60°,

團(tuán)NC4D=60。，ZM4￡）=30°,回NC4M=30。，

^ZEAF=ZADB,0ZE4F=ZC4M=30°,

ElZCAF=Z.MAE,0Z^ACF^Z\AME,團(tuán)匚￡=^^,

MEAM

SAN=-AD,AN=AMcos300=—AM,

22

I32AN=CAM,2AN=AD,SMA=MD=—AD,

LCFACr-

BAD=AC,0AC=y/3AM,0——==v3,

MEAM

團(tuán)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm,m3C=AD=12cm,

0BF=9cm,^CF=y[3ME=3cm,EIME^J^cm,

SMD^—AD,=—xl2=4V3cm,

33

BDE=ME+MD=4s/3+s/3=5s/3cm,El線段DE的長(zhǎng)為5限m.故答案為5A/L

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)，銳角三角形函

數(shù)，掌握等腰直角三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)是解題

關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?廣東深圳?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,0c上，AE.

AF分別交8。于點(diǎn)"，N,連接CN、EN,且CN=EN.下列結(jié)論：①AN=EN,AN1EN；②

BE+DF=EF；③/DFE=2ZAMN；@EF2=2BM2+2DN2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】將jWE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADH,則Nl=/4,AE=AH,BE=DH,可證得

BNA9..BNC,從而得到AN=C7V,NNCE=NBAN,進(jìn)而得到/NEC=NNCE=/BAN,再由四邊形內(nèi)

角和定理可得AN=NE,AN，NE,故①正確；再證明.4西可得

EF=FH=DF+DH=DF+BE,ZAFH=ZAFE,故②正確；再由NM4N=NNDF=45°,NAMW=/DN/,

ZAMN=ZAFD=ZAFE,從而得到NDFE=2ZAMN,故③正確；再證明一/UWssAFE,AAEN是

等腰直角三角形，可得AE=y[2AN，從而得到EF=五MN，將，ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到4ADG,

貝lj/DAG=/A4M,AM=AG,ZADG=ZABM=45°,證明ANG'ANM,可得MN=GN,再由勾股

定理，可得故④正確，即可求解.

【詳解】解：如圖，將；ABE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADH,則/1=N4,AE=AH,BE=DH,

H

回四邊形A3CO是正方形,

0AB=BC=AD,ABAD=ZABC=90°,ZABD=ZCBD=45°,

BN=BN

在,BAA和，BNC中,、NNBA=NNBCMABNA.BNC,

BA=BC

0AN=CN,ZNCE=ZBAN,

@CN=EN,0ZNEC=ZNCE=NBAN,

0ZNEC+ZBEN=180°,SZBAN+ZBEN=180°,

^ZABC+ZANE=180°,^ZANE=90°,?AN=NE,ANLNE,故①正確;

H

4

圖1

EIZ3=ZA￡?/=45O,0Z1=Z4,0Z2+Z4=Z2+Z1=45°,BlZ3=ZFAH=45°,

^\AF=AF,AE=AH,S^AFE^AFH,

^\EF=FH=DF+DH=DF+BE,ZAFH=ZAFE,故②正確；

0AMAN=ZNDF=45°,ZANM=NDNF,@ZAMN=ZAFD=ZAFE,

XEZAFE=ZAFD,ZDFE=ZAFE+ZAFD,@NDFE=2ZAMN,故③正確；

NMAN

0AMAN=ZEAF,ZAMN=ZAFE,S^AMN^AFE,0^-=—,

-EFAE

@AN=NE,ANLNE,回△AEV是等腰直角三角形,

lNMAN1「

@AE=yj2AN，回==REF=《2MN，

t^rAN72

如圖，將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AADG，則NDAG=NBAM,AM=AG,ZADG=ZABM=45°,

E1NNDG=9O。，即△GDN是直角三角形，

0/MAN=45°,團(tuán)ZBAM+ZDAN=ZDAG+ADAN=NGAN=45°=AMAN,

SAN^AN,0ANG^ANM,0MN=GN,

0MN2=DN-+DG2=DN-+BM2,0EF2==2DN2+IBM2,故④正確；故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法，添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

2.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考一模）如圖，正方形4BCD中，E是2C的中點(diǎn)，尸在上，CF=2DF,連接

AE,AF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M,N,連接MF,EN.給出結(jié)論:①ZEAF=45。；②4V_L￡7V；③tanZAMN=3；

@DN:MN:BM=^2：y/5：y/3.其中正確的是（）

BEC

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】將aABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AO重合，此時(shí)得△M>G,將△AFD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與

A2重合，此時(shí)得AABH,根據(jù)NHA尸=NG4￡=90,即可求得/=/E4E=45,①正確；根據(jù)

ZHAE=ZFAE=45可得△AM2V~△。句V,即可求tanNAMN=tanNJD尸N=42=9=3,即可得③正確；

DF3

根據(jù)如圖正方形構(gòu)造直角坐標(biāo)系，求出直線AE、AR8。的解析式，再聯(lián)立解析式，即可求得/、N兩點(diǎn)

的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求出QMMN、BM、AN、NE,即可知AN=NE=3?,則有NE4N=/AEN=45,

2

則有ZA7VE=9O,ANLNE,②正確；根據(jù)DMMN、創(chuàng)/長(zhǎng)度可知DN:MZV:3M=3:5:4,④錯(cuò)誤.

【詳解】將JIBE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與重合，此時(shí)得△AOG,將△AFD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得A。與

A8重合，此時(shí)得鏈接EE如圖所示：

為了方便計(jì)算，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為6,則有4B=BC=a)=AQ=6,

則有8E=EC=3=Z)G,CF=4,DF=1=BH,ZBAE^ZDAG,則有：HE=5=FG,

利用勾股定理，易求得：AH=AF=2^10,AE=AG=3亞，EF=5,BD=6五,

根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)，可知4MB=NE4D,ZBAE=ZDAG,SZHAF=ZGAE=90,

^\AH=AF,HE=5=FG,AE=AE,SAAHE^AAFE，同理可證得△>!￡1〃M^AGF,SZHAE=ZFAE,

又回NMLF=NG4E=90,^ZHAE=ZFAE=45,故①正確；

^ZHAE=ZFAE=45,AANM=ADNF,國(guó)AAMN~/\DFN,同理可證△AMVABME,

0/AMN=ZDFN,^tanZAMN=tanZDFN=-=-=3,故③正確；

DF2

以2為坐標(biāo)原點(diǎn)。，AB所在的直線為y軸，以BC所在的直線為x軸，構(gòu)建直角坐標(biāo)系，則有A點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,6),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(6,6),(點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4),E點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

則直線AF的解析式為：y=-^x+6,8。的解析式為y=%AE的解析式為y=-2元+6,

1,

y=X+6QQ

聯(lián)立：3,得到N點(diǎn)坐標(biāo)為：(|,-),同理的M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),

、,=無(wú)——

過(guò)M點(diǎn)作MP垂直于2C,交BC于P點(diǎn),過(guò)N點(diǎn)作N。垂直于DC,交DC于。點(diǎn)，

93

則有MP=2,DQ=DC-QC=6--=-,

則有BM=J(2—Of+(2—0)2=2^2,DN=^(6-^)2+(6-^)2=3f,

則有MN=BD-BM-DN=6yfi-24i~^^=^~,

22

則有：ON:MN:3M=逑:述：20=3:5:4,故④錯(cuò)誤；

22

9Q

根據(jù)N點(diǎn)坐標(biāo)為：A點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,6),E點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,0),

可得AN=J(0--^)2+(6-1)2=NE=J(3-1)2+(0-1)2=*，

則在ZXAEV中，ZEAN=ZAEN=45,^\ZANE=90,CANINE,故②正確；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系的構(gòu)建、相似三角形以及坐標(biāo)系中求解兩點(diǎn)間距離等知識(shí).準(zhǔn)確作出輔助

線并構(gòu)建直角坐標(biāo)系是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖，正方形A5CD中，ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB'C,AB'、AC'分別交對(duì)角線3。于點(diǎn)E、F,

若A￡=4,則斯的值為()

A.4B.6C.8D.16

【答案】D

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/E4F=NEZM=45。，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即

可得.

【詳解】四邊形ABCD是正方形，，/B4C=/E/M=45。,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZB'AC'=ZBAC,:.ZB'AC'=ZEDA,即NE4尸=N￡ZM,

[ZEAF=ZEDA

在aAEF和ATE4中，〈，..^AEF-JJEA,

[ZAEF=/DEA

FFAF,即二FF=4二，.-.EFDE=16,故選：D.

AEDE4DE

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E,歹分別是A3,AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE=AF,/54￡>=120。，則下

GF1

列結(jié)論：①ABE8AAFC；②AECF為等邊三角形；@ZAGE=ZAFC；④若AF=1,則二；二二.其中

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】由SAS證明ABEC烏尸C,①正確；由全等三角形的形狀得CE=CP,ZBCE^ZACF,再由

ZBCE+ZECA=ZBCA=60°,得/ACF+NECA=60。，得ACEF是等邊三角形，②正確；由/AGE=

ZCAF+ZAFG=60°+ZAFG,ZAFC=ZCFG+ZAFG=60°+ZAFG,^ZAGE=ZAFC,故③正確;

④過(guò)點(diǎn)E作現(xiàn)交AC下點(diǎn)M點(diǎn)，易證△AEM是等邊三角形，則EM=AE,由A尸〃EM,則

△AFGs^MEG，得④錯(cuò)誤.

【詳解】解：①：四邊形A3CD是菱形，,AB=AD=4,ZBAC=ACAD.

VZBAD=120°,NBAC=NGW=60°,

AABC和AACD都是等邊三角形，ZB=ZCAD=60°,BC=AC.

*/BE=AF,：.^BEC^AAFC(SAS),故①正確.

②YABEC絲AA尸C,:.CE=CF,ZBCE=ZACF.

'：ZBCE+ZECA=ZBCA=60°,AZACF+ZECA=60°,；.ACEF是等邊三角形，故②正確.

③：ZAGE=ZCAF+ZAFG=60°+ZAFG,ZAFC=ZCFG+ZAFG=60°+ZAFG,

：.ZAGE=ZAFC,故③正確.④過(guò)點(diǎn)石作91〃3。交AC于點(diǎn)

ZAEM=NB=60。，ZAME=ZACB=60°,，AA￡M是等邊三角形，AEM=AE.

VBE=AF=1,：.AE=AB-BE=4-1=3,:.EM=AE=3.

GFAF1

9：AF//EM,AAFG-AMEG,?*?—=-=-，故④錯(cuò)誤，正確個(gè)數(shù)為3.故選B.

GEEM3

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?浙江紹興?校聯(lián)考三模）矩形A3CD中，AB=6,AD=12,連接8D,E,F分別在邊BC,8上，

連接AE,AF分別交應(yīng)?于點(diǎn)M,N,若ZE4F=45。，BE=3,則的長(zhǎng)為.

BEC

【答案】上之

5

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出3D,延長(zhǎng)至尸，使PB=AB=6,過(guò)尸作8C的平行線交。C

的延長(zhǎng)線于。，得正方形APQD,延長(zhǎng)AE交尸。于"，連接8戶，將△陋F繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。

與點(diǎn)P重合，得至L"G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得尸G=尸尸，NAPG=NA=90。，AG=A7"/PAG=/ZMF,

證出NG4產(chǎn)=90。，得出ZGAH=ZFAH=45°,可證t.AGH^.AFH，得出GH=FH,證出FH=DF+PH,

設(shè)=則尸。=12-無(wú)，利用勾股定理列出方程求出x=4,然后由D尸〃AB,得.DFNs.BAN,所以

蕓DF=寰DN=；2，即可求出DN的長(zhǎng).

ABBN3

【詳解】解：在矩形ABCD中，0ZS4D=9O°,AB=6,AD=12,

^BD=TAF+AD7=V62+122=66，

如圖，延長(zhǎng)AB至P,使尸3=超=6,過(guò)尸作8C的平行線交。C的延長(zhǎng)線于。，得正方形APQ。，延長(zhǎng)

AE交PQ于H,連接打，將△ADf'繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)P重合，得到APG,

團(tuán)四邊形APQD是正方形，

^AP=PQ=DQ=AD,ZPAD=ZAPH=ZQ=ZADQ=90°,

由旋轉(zhuǎn)得：一APG四一AD7L

SPG=DF,ZAPG=ZADF=90°,AG=AF,ZPAG=ZDAF,

ElZPAG+ZPAF=ZPAF+ZDAF=90°,即NG4/=90°,C,P,H三點(diǎn)共線，

SZHAF=45°,回NG4H=90°-45°=45°,AGAH=ZFAH=45°,

AG=AF

在，AG"和一AFW中，＜NGA”=NFAH,回..AGHq1AFH(SAS),國(guó)GH=FH,

AH=AH

QGH=PG+PH=DF+PH,^FH=DF+PH,^DF=x,則/。=。。一。產(chǎn)=12-x,

AEAB

國(guó)AB=BP=6,BE//PQ,回——=——=1,BAE=EH團(tuán)尸H=2BE=2x3=6,

EHBPf

BFH=DF+PH^6+x,HQ=\2-6=6,在Rt△。尸H中，由勾股定理得：FQ2+HQ2=FH2,

0((12-X)2+62=(X+6)2,解得：x=4,0DF=4,

DFDN2

^DF//AB,0,DFNs^BAN,0——=——=-,

ABBN3

0DN/BD=鼠6下=吆叵.故答案為：小叵.

5555

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)；證明三角形全等和由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?成都市?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在R/EL48c中，4B=AC,D、E是斜邊8c上兩點(diǎn)，且配叫后二

APATJ

45°,將0AOC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到BAEB,連接所，下列結(jié)論：?0A￡D0a4￡F；②一=——；

~BECD

③0ABe的面積等于四邊形AFBZ)的面積；④BE2+DC2=DE2；⑤BE=EF-DC；其中正確的選項(xiàng)是

(填序號(hào))

【答案】①③④

【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知回。1￡)=勖4/，AD=AF,因?yàn)榛谺AC=90°,EIZME=45°,所以EICW+EIBAE=45°,

可得EIEAP=45°=I3DAE,由此即可證明ElAMiaAED；

②當(dāng)EABEEEAC。時(shí)，該比例式成立；

③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，^ADC^ABF,進(jìn)而得出EABC的面積等于四邊形AFBD的面積；

④據(jù)①知8F=CD,EF=DE,SFBE=90°,根據(jù)勾股定理判斷.

⑤根據(jù)①知道0AE而她ED，得CQ=8F,DE=EF；由此即可確定該說(shuō)法是否正確.

【詳解】解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知回C4D=aBARAD=AF.

EEIBAC=90°,0￡>A￡=45°,EECA￡)+[3BA￡=45°,

00￡AF=45°,aaAEDEBAEF；故本選項(xiàng)正確；

@EIAB=AC,00ABE=0ACD；團(tuán)當(dāng)I3R4E=l3CAr)時(shí)，ElAB￡0ElACZ),

AFADAFAD

0——=——；當(dāng)回BAE或1cA。時(shí)，HABE與0AC￡>不相似，即——二一；

BECDBECD

回此比例式不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知

QSAABC=SAABD+SAABF=SmAFBD,即三角形ABC的面積等于四邊形AF8O的面積，故本選項(xiàng)正確；

④EEF8E=45°+45°=90°,回8序+8產(chǎn)=后產(chǎn).

EHAAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到EL4FB,BBAFB^EADC,國(guó)BF=CD.

又回EF=DE,I3BE2+DC2=DE2,故本選項(xiàng)正確；

⑤根據(jù)①知道0AE而0AED,得CD=BF,DE=EF,

aBE+DC=BE+BF>DE=EF,即BE+DOFE,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

綜上所述：正確的說(shuō)法是①③④.故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及全等三角形的判定等知識(shí)，三角形三邊的關(guān)系，相似三角形的性

質(zhì)與判定，解題時(shí)注意旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的相等關(guān)系.

AD3

7.（2023?上海寶山,?？家荒＃┤鐖D，在EIABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，0DAE=0B=3O°,且一=-,

AE2

那么學(xué)的值是.

【答案】區(qū)一1.

18

4DAV）Q

【分析】由已知可得4回￡_DAE,從而可知==不=7，AE2=BE.DE，

BEAE2

設(shè)AB=3x,則BE=2x,再利用勾股定理和等腰三角形性質(zhì)用x表示DE和BC,從而解答

【詳解】解：E0BAE=0DAE+0BAD,0ADE=0B+0BAD,

pABAD3

又EEDAE=I3B=3O°,00BAE=0ADE,ABEDAE,El—=——=一，AE2=BE.DE.

BEAE2

過(guò)A點(diǎn)作AHE1BC,垂足為H,

設(shè)AB=3x,則BE=2x,

、

00B=3O°,SAH=-AB=-x,BH=^-AB=^^x,?EH=BH-BE=磨-2x,

2

22227

在MAHE中，AE-=AH2+EH'=x-2x

,回(無(wú)方?！?0￡)E=13-

又回AE?13-66)2=2X，

2

13-6百

-----------X

0AB=AC,AH0BC,@BC=2BH=3瓜,回我—134i，

2=-----------1

BC3y/3x18

13-673

-----------X

故答案為：DE13A/3,.

2-----------1

BC3瓜18

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用三角形相似得到AB

與BE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的

原題：如圖1,點(diǎn)E,尸分別在正方形ABCD的邊8C,8上，ZEAF=45°,連接E尸，則石尸=BE+Db,

試說(shuō)明理由.

⑴思路梳理

AB=CD,.,.把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADG,可使AB與AD重合.

ZADC=ZB=90°,ZFDG=180°,.,?點(diǎn)/，D,G共線-根據(jù)(從"SSS,ASA,A45,SAS"

中選擇填寫），易證△AFG/,得EF=BE+DF.

（2）類比引申

如圖2,四邊形A3C。中，AB^AD,NBAD=90°,點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CD±,NEAF=45°.若NB,

NO都不是直角，則當(dāng)—3與ND滿足等量