含有30°角的直角三角形的性質(zhì)創(chuàng)設(shè)情境，問題引入問題1

如圖，將兩個(gè)相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ACB講授新課含30°角的直角三角形的性質(zhì)一性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？證法1證明1：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長(zhǎng)BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD

是等邊三角形．又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長(zhǎng)法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

EABC

證明：在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法證法2知識(shí)要點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

√判斷下列說法是否正確：1）直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于另一直角邊的一半．

2）三角形中30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半。

3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

4）直角三角形的斜邊是30°角所對(duì)直角邊的2倍．例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長(zhǎng)度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長(zhǎng)度是12cm.故選D.例2

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．想一想：圖中BC、DE分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們所對(duì)的銳角分別是多少度？例3如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D

是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長(zhǎng)？ABCDEABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.例4

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:過C作CD⊥BA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元BB4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.55.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______.ACB83.如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.A

B

C

D

1第3題圖第5題圖6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長(zhǎng)．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=AE=BE=2.5．7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)，求證：BE=3EA.證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE