第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性課標(biāo)要求1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有∈D且f（－x）＝，那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)且f（－x）＝，那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱提醒函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D，都有x＋T∈D，且，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期；（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期.1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論（1）如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f（0）＝0；如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f（x）定義域內(nèi)任一自變量x：（1）若f（x＋a）＝－f（x），則T＝2a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝1f（x），則T＝2a（（3）若f（x＋a）＝－1f（x），則T＝2a（1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）函數(shù)y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函數(shù).（）（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則一定有f（0）＝0.（）（3）若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT（n∈Z，n≠0）也是函數(shù)的周期.（）

2.（人A必修一P84例6改編）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝ln｜x｜ D.y＝2－x3.（蘇教必修一P127習(xí)題5題改編）已知f（x）＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（）A.－13 B.C.12 D.－4.（人A必修一P203練習(xí)4題改編）已知函數(shù)f（x）滿足f（x＋3）＝f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝x2＋4，則f（2026）＝.5.已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x＋m，則f（－3）＝.函數(shù)奇偶性的判斷（師生共研過(guò)關(guān)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x2－1（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；（3）f（x）＝1－（4）f（x）＝x解題技法函數(shù)奇偶性的判斷方法（1）定義法（2）圖象法

（3）性質(zhì)法：設(shè)f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒對(duì)函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函數(shù)f（x）是奇函數(shù).1.（2024·天津高考4題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A.f（x）＝ex－x2x2+1 C.f（x）＝ex－xx+1 D.2.設(shè)函數(shù)f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，則f（x）（）A.是偶函數(shù)，且在（12，＋∞）B.是奇函數(shù)，且在（－12，12C.是偶函數(shù)，且在（－∞，－12）D.是奇函數(shù)，且在（－∞，－12）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（定向精析突破）考向1利用函數(shù)奇偶性求值（解析式）（1）已知偶函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）＝2sinx，當(dāng)x∈[2，＋∞）時(shí)，f（x）＝log2x，則f（－π3）＋f（4）＝（）A.－3＋2 B.1C.3＋2 D.3（2）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x－2x＋a，則a＝；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝.聽(tīng)課記錄解題技法函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略（1）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f（x）的方程式（組），從而得到f（x）的解析式；（2）求函數(shù)值：將待求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（3）求參數(shù)值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f（x）±f（－x）＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性，得出參數(shù)的值.對(duì)于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f（x），可考慮列等式f（0）＝0求解.考向2利用函數(shù)奇偶性解不等式（2025·朔州高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，則m的取值范圍為（）A.（－∞，0） B.（0，＋∞） C.（－∞，1） D.（1，＋∞）聽(tīng)課記錄

解題技法利用函數(shù)的奇偶性解不等式的解題策略利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解，涉及偶函數(shù)時(shí)常用f（x）＝f（｜x｜），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0，＋∞）上求解.1.（2024·開(kāi)封第二次質(zhì)量檢測(cè)）若函數(shù)f（x）＝a2x－1，x<0A.0 B.－1C.1 D.±12.已知偶函數(shù)f（x）在（－∞，0]上單調(diào)遞減，且f（1）＝0，則不等式xf（x－2）＞0的解集為（）A.（1，3）B.（3，＋∞）C.（－3，－1）∪（3，＋∞）D.（0，1）∪（3，＋∞）函數(shù)的周期性（師生共研過(guò)關(guān)）（1）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x都有f（x＋2）＝13f（x），且f（2）＝2，則f（2026（2）已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）＝f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝cosπ2x，則x∈[2025，2026]時(shí)，f（x）＝聽(tīng)課記錄解題技法函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用（1）判定：判斷函數(shù)為周期函數(shù)只需證明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期為T(mén)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題；（2）應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的功能.在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT（k∈Z且k≠0）也是函數(shù)的周期.1.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝f（x）－2，則下列是