課下鞏固精練卷(二十八)※壓軸解答題創(chuàng)新考法——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．定義：若h′(x)是h(x)的導(dǎo)數(shù)，h″(x)是h′(x)的導(dǎo)數(shù)，則曲線y＝h(x)在點(diǎn)(x，h(x))處的曲率K＝?″x1+?'x232.已知函數(shù)f(x)＝exsinπ2+x，g(x)＝x＋(2a－1)cosxa<(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)對(duì)任意x∈?π2，0，mf(x)≥g′((3)設(shè)方程f(x)＝g′(x)在區(qū)間(2nπ+π3，2nπ＋π2)(n∈N*)內(nèi)的根為x1，x2，…，xn，…，比較xn＋1解：(1)由已知g′(x)＝－(2a－1)sinx＋1，g″(x)＝－(2a－1)cosx，所以2a?11+1232＝2所以a＝0.(2)由(1)得g(x)＝x－cosx，f(x)＝exsinπ2+x＝excosx，則g′(x)＝1＋sin對(duì)任意的x∈?π2，0，mf(x)－g′(x)≥0，即mexcosx－sinx令x＝－π2，則m·0＋1－1＝0≥當(dāng)x∈?π2，0時(shí)，cosx>0，原不等式化為令h(x)＝sinx+1excosx，x∈?π＝1?sinxcosx所以h(x)在區(qū)間?π所以h(x)max＝h(0)＝1，所以m≥1，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，＋∞)．(3)證明：由已知方程f(x)＝g′(x)可化為excosx－sinx－1＝0，令φ(x)＝excosx－sinx－1，則φ′(x)＝ex(cosx－sinx)－cosx，因?yàn)閤∈(2nπ+π3，2n所以cosx<sinx，cosx>0，所以φ′(x)<0，所以φ(x)在區(qū)間(2nπ+π3，2nπ＋π2)(故φ2nπ+π3＝e2nπ+π3cos2nπ+π3－sin2nπ+π3所以存在唯一x0∈(2nπ+π3，2nπ＋π2)，使得φ(又xn∈(2nπ+π3，2nπ＋π2)，xn＋1－2π∈(2nπ則φ(xn＋1－2π)＝exn＋1－2πcos(xn＋1－2π)－sin(xn＋1－2π)－1＝exn＋1－2πcosxn＋1－sinxn＋1－1＝exn+1?2πcosxn+1?exn+1cosxn＋1由φ(x)單調(diào)遞減可得xn＋1－2π>xn，所以xn＋1>xn＋2π.2．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)叫做f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f″(x)．類似的，函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記作f?(x)，函數(shù)f(x)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的四階導(dǎo)數(shù)…，一般地，函數(shù)f(x)的n－1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作f(n)(x)＝[f(n-1)(x)]′，n≥4；②若n∈N*，定義n?。絥×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1；③若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)開區(qū)間(a，b)上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意x∈(a，b)有g(shù)(x)＝fx0+f'x01！(x－x0)＋f″x02！(x－x0)2＋…＋fnx0n！(x－x0)n＋…，我們將g(x)稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝x0處的泰勒展開式．例如f1(x)＝ex在點(diǎn)根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出f(x)＝cosx在點(diǎn)x＝0處的泰勒展開式g(x)；(2)用f(x)＝cosx在點(diǎn)x＝0處的泰勒展開式前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；(3)現(xiàn)已知sinxx＝1?xπ解：(1)f(x)＝cosx，f′(x)＝－sinx，f″(x)＝－cosx，…，所以f(0)＝cos0＝1，f′(0)＝－sin0＝0，f″(0)＝－cos0＝－1，…，由cosx＝1＋01！(x－0)＋?12！(x－0)2＋…＋?1n2n！(x所以cosx＝1－x22！(2)由(1)可得cos0.3＝1－0.322！+0.34(3)因?yàn)閟inxx＝1?xπ1+對(duì)cosx＝1－x22！兩邊求導(dǎo)可得：－sinx＝－x1！+所以sinx＝x1！?所以sinxx＝1?比較①②中x2的系數(shù)，可得－13所以n＝1∞3．(2024·廣州二模)拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，那么在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在點(diǎn)c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立．設(shè)f(x)＝ex＋x－4，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828.易知，f(x)在實(shí)數(shù)集R上有唯一零點(diǎn)r，且r∈1，(1)證明：當(dāng)x∈r，r+19時(shí)，0<(2)從圖形上看，函數(shù)f(x)＝ex＋x－4的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．直接求解f(x)＝ex＋x－4的零點(diǎn)r是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到f(x)零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在1，32中選定一個(gè)x0作為r的初始近似值，使得0<f(x0)<12，然后在點(diǎn)(x0，f(x0))處作曲線y＝f(x)的切線，切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，稱x1是r的一次近似值；在點(diǎn)(x1，f(x1))處作曲線y＝f(x)的切線，切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的二次近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列x0，x1，x2，…，x①當(dāng)xn>r時(shí)，證明：xn>xn＋1>r；②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：{xn}為遞減數(shù)列，且?n∈N，xn>r.請(qǐng)以此為前提條件，證明：0<xn－r<12·解：(1)由f(x)在R上單調(diào)遞增，得任意x∈r，r+19，有f(x)>f(又由f(r)＝0，得f(x)＝f(x)－f(r)，根據(jù)拉格明日中值定理，存在c∈(r，x)，f(x)＝f(x)－f(r)＝f′(c)(x－r)<19f′(c)＝19(ec因?yàn)閞∈1，32，所以c<x<r＋19<32+19<2，19所以0<f(x)<1.(2)①先證xn>xn＋1，在(xn，f(xn))處，曲線y＝f(x)的切線方程為y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，令y＝0，得x＝xn－fxnf'xn，即xn＋1由于xn>r，f(x)在R上單調(diào)遞增，則f(xn)>f(r)＝0，而f′(x)＝ex＋1>0，則有fx所以xn＋1＝xn－fxnf'xn<xn，即xn再證：xn＋1>r，由于f(x)在R上單調(diào)遞增，只需證f(xn＋1)>f(r)＝0，曲線y＝f(x)的切線方程為y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，即y＝f(xn)＋f′(xn)(x－xn)，根據(jù)xn＋1的定義，f(xn)＋f′(xn)(xn＋1－xn)＝0，令h(x)＝f(x)－f(xn)－f′(xn)(x－xn)，x∈[xn＋1，xn]，h′(x)＝f′(x)－f′(xn)＝ex?exn≤0，x∈[xn＋于是h(x)在[xn＋1，xn]上單調(diào)遞減，而h(xn)＝f(xn)－f(xn)－f′(xn)(xn－xn)＝0，因此h(xn＋1)>0，又h(xn＋1)＝f(xn＋1)，即f(xn＋1)>0，所以xn＋1>r，綜上xn>xn＋1>r.②由f(x)在R上單調(diào)遞增，0<f(x0)<12，得x0>r則x0>x1>x2>…>xn>…>r>1，根據(jù)前面的結(jié)論xn＋1＝xn－fxnf'x令φ(x)＝x－