高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省卓越縣中聯(lián)盟＆皖豫名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即為．故選：C2.若直線與平行，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】若直線與平行，則，且，解得．故選：A.3.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，則邊上的中線所在直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，即，又，所以，故邊上的中線所在直線的方程為，即．故選：D.4.已知直線恒過(guò)點(diǎn)，圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的距離可取到最大值，而，所以，又圓的半徑為2，故圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．故選：B.5.已知四面體的所有棱長(zhǎng)都等于，棱的中點(diǎn)分別是，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)，由題意知，且三向量?jī)蓛蓨A角均為，，．故選：B.6.已知直線過(guò)點(diǎn)和，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由題意知，直線的一個(gè)方向向量為，取直線的一個(gè)單位方向向量為，易知點(diǎn)不在直線上，，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：C.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)，表示面積），則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以，又，所以，將代入，可得，再將代入，可得，又，所以，故的離心率．故選：D.8.在空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系，若任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：已知分別為“空間斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”，若，且與的夾角為，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)分別為與同方向的單位向量，則．得，，由題可得，即，即，解得．故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面的法向量分別是，直線的方向向量為，則（）A. B.C.可以作為空間的一個(gè)基底 D.在上的投影向量的模長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)，解析可知，由的坐標(biāo)可知不共線，所以不共面，則可以作為空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)于D，在上的投影向量的模長(zhǎng)為，故D正確．故選：ACD.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上一點(diǎn)，若是直角三角形，則的面積可以是（）A. B. C. D.1【答案】BD【解析】在橢圓中，，半焦距，，由是直角三角形，得（）或，若（），由，得，則點(diǎn)到軸距離為，的面積，B正確；當(dāng)是的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，，的面積，D正確.故選：BD11.已知點(diǎn)，曲線是滿足點(diǎn)的軌跡，分別是曲線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若曲線與圓有公共點(diǎn)，則B.若，則兩曲線交點(diǎn)所在直線的方程為C.若，則的取值范圍為D.若，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則存在點(diǎn)，使得【答案】AC【解析】設(shè)Mx,y，由，可得，整理得，所以曲線的方程為，表示圓心為，半徑的圓．圓的圓心為點(diǎn)3,-4，半徑，兩圓的圓心距．對(duì)于A，若圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得，故A正確；對(duì)于B，若，由A選項(xiàng)知兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，兩圓外離，則有，即，故C正確；對(duì)于D，若，則四邊形為正方形，，如圖，又為，即，而，所以不存在這樣的點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.圓的半徑的最小值為______．【答案】【解析】】圓的方程可化為，半徑為，當(dāng)時(shí)，圓的半徑取得最小值．故答案為：2.13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則三點(diǎn)能構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正三角形時(shí)，的方程為______．【答案】【解析】設(shè)，由題意知當(dāng)時(shí)是邊長(zhǎng)為的正三角形，如圖．由橢圓和正三角形的對(duì)稱性，可知，所以，又，所以，由，得，故橢圓的方程為．故答案為：.14.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，，點(diǎn)是底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則符合條件的點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為______．【答案】【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．因?yàn)?，所以，得，所以點(diǎn)的軌跡是一條線段，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以符合條件的點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知向量．（1）若共面，求的值；（2）若，求的值．解：（1）與不平行，共面，存在實(shí)數(shù)，使得，即，解得，故實(shí)數(shù)的值為8．（2），且，，即，解得．16.已知直線的方程為．（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)．（2）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大？最大值是多少？（1）證明：將直線的方程整理得，由，解得，所以直線恒過(guò)點(diǎn)．（2）解：由（1）可得直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，且最大距離，即點(diǎn)到直線的最大距離為．此時(shí)，而直線的斜率，所以，解得．17.已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程．解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，解得所以圓的方程為．（2）由(1)知圓的方程為，圓心為M1,1，半徑．因?yàn)?，所以要使最小，則需最小，此時(shí)與直線垂直，由直線，可得直線的斜率為，直線的方程為，即，由解得即，則以為直徑的圓的方程為．由兩式相減可得直線的方程為．18.如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，分別是棱的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：．（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：連接，如圖，由題知四邊形是菱形，則，又分別為棱的中點(diǎn)，所以，故．因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，故．又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）解：連接，如圖．由，可知為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，由(1)得平面，所以兩兩互相垂直．故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．假設(shè)在棱上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，則即即取，則，所以．由(1)得是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角的余弦值為，所以，即，解得或（舍去），故存在點(diǎn)，且為棱上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為．19.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為上任意一點(diǎn)，且．（1）求的方程．（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)直線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（均不與點(diǎn)重合）．（?。┤粢跃€段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，求的值；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，若直線的斜率存在且線段的中點(diǎn)為，求證：直線與直線（是坐標(biāo)原