小測卷(六)函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性1．解析：函數(shù)y＝lgx定義域為(0，＋∞)，是非奇非偶函數(shù)；y＝sinx為偶函數(shù)；y＝ex是非奇非偶函數(shù)；故A，B，C不符合題意．對于D選項，定義域為?∞，0∪0，+∞，f?x答案：D2．解析：因為f(x＋2)為奇函數(shù)，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，可知f(x)的圖象關(guān)于點(2，0)對稱，所以f(7)＝－f(－3)，因為f(－3)＝－2-3＋1＝78，所以f(7)＝－7答案：A3．解析：∵fx的圖象關(guān)于點1，0對稱，∴f又f2?x＝2?x3+a2?x2∴fx+f2?x＝2a+6x∴2a+6＝0，4a+12＝0，10+4a+2b＝0，答案：C4．解析：因為f?x＝fx，所以f(當(dāng)x≥0時，f(x)＝4x1+x又因為f1＝2，所以f(2x－3)<2可化為f(2x－3)<f(1)，可得到2x?3<1，解得1<x<2.答案：A5．解析：因為f(x)是定義在R上的周期為5的奇函數(shù)，所以f(0)＝f(5)＝f(10)＝0，又f(3)＝0，所以f(3)＝f(8)，則f(－3)＝f(2)＝f(7)＝0，f?52＝－f52，則f?52＝所以f?52＝f52＝0，f152＝f5故零點至少有0，2，52，3，5，7，8，152，10，則答案：D6．解析：函數(shù)fx＝sinx為偶函數(shù)且故b＝flog132＝flog32，顯然0<log因為1.7<312<1.8，1.5<π2<1.6，ln2<1<π2，所以a<c，所以b答案：D7．解析：由f(x)＋f(4－x)＝2，令x＝2得f(2)＝1.令x＝1，得f(1)＋f(3)＝2，∵f(1)＝2，∴f(3)＝0.∵f(2x＋1)為偶函數(shù)，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1＋x)＝f(1－x)，∴曲線f(x)關(guān)于直線x＝1對稱．又∵f(x)＋f(4－x)＝2，∴f(x)圖象關(guān)于點(2，1)中心對稱，f(x)＝2－f(4－x)＝2－f[1－(x－3)]＝2－f[1＋(x－3)]＝2－f(x－2)，可得f(x＋2)＝2－f(x)，即f(x)＝2－f(x＋2)，又f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝2－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4.∵f(1)＝2，f(4)＝f(0)＝2－f(2)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，∴n＝122fn＝5×4＋f答案：A8．解析：由f(2x＋1)為奇函數(shù)得f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，令t＝－2x＋1，則x＝1?t2，所以f(t)＝－f2·1?t2+1＝－即f(x)＝－f(2－x)，所以f(1－x)＝－f(2－(1－x))＝－f(1＋x)；因為g(x－1)關(guān)于直線x＝1對稱，所以g(x)關(guān)于y軸對稱，即g(x)為偶函數(shù)，所以g(－x)＝g(x)．對于選項A，因為g(x)為偶函數(shù)，所以g(－x)＝g(x)，所以f(g(－1))＝f(g(1))≠－f(g(1))，故選項A錯誤．對于選項B，由f(1－x)＝－f(1＋x)得f(－1)＝f(1－2)＝－f(1＋2)＝－f(3)，所以g(f(－1))＝g(－f(3))＝g(f(3))≠－g(f(3))，故選項B錯誤．對于選項C，因為g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以y軸左右兩邊對稱點的切線關(guān)于y軸對稱，所以切線的斜率互為相反數(shù)，即g′(－x)＝－g′(x)，所以g′(－1)＝－g′(1)，所以f(g′(－1))＝f(－g′(1))≠f(g′(1))，故選項C錯誤．對于選項D，因為f(1－x)＝－f(1＋x)，所以f(x)關(guān)于點(1，0)中心對稱，因為?1+32＝1，所以f(－1)和f所以f(x)在x＝－1和x＝3處切線的斜率相等，即f′(－1)＝f′(3)，所以g(f′(－1))＝g(f′(3))，故選項D正確．答案：D9．解析：由題設(shè)，f(x)是周期為4的奇函數(shù)，且f1＝2，則f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)＝－f(2)，即f(2)＝0，f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝－f(1)＝－2，f(0)＝f(0＋4)＝f(4)＝0，所以f(1)＝f(1)＋f(2)＝2，f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，當(dāng)n＝4k或n＝4k＋3，k∈N*時，f1+f當(dāng)n＝4k＋1或n＝4k＋2，k∈N*時，f1+f答案：BC10．解析：對于A，因為f(x＋2)＝f(x－2)，所以周期T＝4，故A正確；對于B，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(－x－2)，又f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，故B正確；對于C，若當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)無零點，則根據(jù)周期性和對稱性可推出f(x)無零點，故C錯誤；對于D，因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，且f(x)的周期T＝4，又f(x)＝m在區(qū)間[－4，0]上的根為x1，x2，所以x1＋x2＝2×(－2)＝－4，故D錯誤．答案：AB11．解析：由題意知，當(dāng)x≥0時，有f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，因為當(dāng)x∈[0，1)時，f(x)＝log2(x＋1)，當(dāng)x∈[1，2)時，可得x－1∈[0，1)，可得f(x－1)＝log2x，又因為f((x－1)＋1)＝－f(x－1)?f(x－1)＝－f(x)＝log2x?f(x)＝－log2x，所以f(x)＝log又由函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以可作出函數(shù)f(x)的圖象如下：對于A中，由f(2014)＋f(－2015)＝f(2×1007＋0)＋f(2015)＝f(0)＋f(2×1007＋1)＝0＋f(1)＝－log21＝0，所以A正確；對于B中，由圖象可知函數(shù)不是周期函數(shù)，所以B是錯誤的；對于C中，由圖象可知函數(shù)的值域為(－1，1)，所以C正確．對于D中，由圖象可知直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象只有1個交點，所以D錯誤．答案：AC12．解析：∵f32?2x為偶函數(shù)，∴f32?2x＝f32+2x，∴f(x)關(guān)于直線x＝32設(shè)f(x)＝x?322＋1，f32∵g12+x為奇函數(shù)，∴g12?x＝?g12+x令x＝0，得g12∵f32?x＝f∴f32?x′＝f32+x′，即∴f′(1)＋f′(2)＝0，∴g(1)＋g(2)＝0，故選項C正確；∴f′?12＋f′72＝0，∴g?1答案：BCD13．解析：由題設(shè)，寫出一個周期為4的偶函數(shù)即可，所以f(x)＝cosπx2答案：cosπx214．解析：由ex－1≠0，得f(x)＝x＋mxex?1又∵f(x)＝x＋mxex?1是偶函數(shù)，故f即－1＋?me?1?1此時f(x)＝x＋2xex?1＝xex故f(x)的確為偶函數(shù)，故m＝2.答案：215．解析：由f(x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，則f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0；由f(x)＋f(2－x)＝0，則f(2－x)＝－f(x)，又因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，則f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是以2為周期的函數(shù)，g(x)的零點個數(shù)，即函數(shù)y＝f(x)與y＝lgx的交點個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖象：由圖可知兩函數(shù)有5個交點，即函數(shù)g(x)的零點共有5.答案：0516．解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－1＝ex-1－1ex?1＋(x－1)，那么g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動一個單位得到h(x)＝g(x＋1)＝ex－1eh(x)的定義域為R，且h(－x)＝1ex－ex－x＝－h(huán)(所以h(x)為奇函數(shù)，