數(shù)學分析函數(shù)試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.下列函數(shù)中，在\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=-x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sinx\)3.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)4.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(f(1)=2\)，則\(f(-1)\)等于（）A.2B.-2C.1D.-15.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在6.函數(shù)\(y=\lnx\)的導數(shù)是（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(x^2\)7.函數(shù)\(y=3x+2\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\frac{x-2}{3}\)B.\(y=3x-2\)C.\(y=\frac{1}{3x+2}\)D.\(y=2-3x\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值點為（）A.\(x=1\)和\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=2\)D.\(x=-2\)9.已知函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，則在\((a,b)\)內(nèi)（）A.至少有一個零點B.至多有一個零點C.沒有零點D.只有一個零點10.函數(shù)\(y=\cos2x\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導的等價條件有（）A.左右導數(shù)存在且相等B.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)C.極限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.函數(shù)在\(x_0\)處有定義3.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)4.關于函數(shù)極限，下列說法正確的是（）A.極限存在則左右極限存在且相等B.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，則\(f(a)=A\)C.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)D.函數(shù)在某點極限不存在，則函數(shù)在該點無定義5.函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間有（）A.單調(diào)遞增區(qū)間\((-\infty,0)\)B.單調(diào)遞減區(qū)間\((0,2)\)C.單調(diào)遞增區(qū)間\((2,+\infty)\)D.單調(diào)遞減區(qū)間\((-\infty,2)\)6.下列求導公式正確的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)7.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的最大值可能在（）取得A.區(qū)間端點\(a\)處B.區(qū)間端點\(b\)處C.區(qū)間內(nèi)的極值點處D.區(qū)間內(nèi)的任意點處8.以下函數(shù)中，值域為\((0,+\infty)\)的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\frac{1}{x^2}\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\lnx\)9.若函數(shù)\(f(x)\)與\(g(x)\)滿足\(f(x)=g(x)+C\)（\(C\)為常數(shù)），則（）A.\(f^\prime(x)=g^\prime(x)\)B.\(f(x)\)與\(g(x)\)有相同的單調(diào)性C.\(f(x)\)與\(g(x)\)有相同的極值點D.\(f(x)\)與\(g(x)\)的圖像形狀相同10.函數(shù)\(y=\sinx\)的性質(zhì)有（）A.周期為\(2\pi\)B.是奇函數(shù)C.值域為\([-1,1]\)D.在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)上單調(diào)遞增判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\(x\geq1\)。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處可導。（）3.函數(shù)\(y=2x+1\)是單調(diào)遞增函數(shù)。（）4.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1\)。（）5.奇函數(shù)的圖像關于原點對稱。（）6.函數(shù)\(y=x^3\)的導數(shù)是\(y^\prime=3x^2\)。（）7.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)。（）8.函數(shù)\(y=\ln(-x)\)的定義域是\(x\lt0\)。（）9.函數(shù)\(f(x)\)在某點的導數(shù)表示函數(shù)在該點的變化率。（）10.函數(shù)\(y=\cosx\)的最大值是\(1\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)單調(diào)性的判定方法。答案：利用導數(shù)判定。若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\(I\)內(nèi)可導，\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增；\(f^\prime(x)\lt0\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞減。2.求函數(shù)\(y=x^2+2x-3\)的極值。答案：先求導\(y^\prime=2x+2\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=-1\)。當\(x\lt-1\)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt-1\)，\(y^\prime\gt0\)，所以\(x=-1\)時，\(y\)有極小值，\(y(-1)=(-1)^2+2\times(-1)-3=-4\)。3.簡述函數(shù)極限與函數(shù)連續(xù)的關系。答案：函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，即極限值等于函數(shù)值。極限存在是函數(shù)連續(xù)的必要條件，但不是充分條件，函數(shù)連續(xù)還要求在該點有定義且極限值等于函數(shù)值。4.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-2}\)的反函數(shù)。答案：由\(y=\frac{1}{x-2}\)得\(x-2=\frac{1}{y}\)，\(x=\frac{1}{y}+2\)，所以反函數(shù)為\(y=\frac{1}{x}+2(x\neq0)\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3-6x^2+9x+1\)的單調(diào)性與極值情況。答案：求導得\(y^\prime=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=1\)和\(x=3\)。當\(x\lt1\)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增；\(1\ltx\lt3\)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減；\(x\gt3\)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增。所以\(x=1\)有極大值\(y(1)=5\)，\(x=3\)有極小值\(y(3)=1\)。2.討論函數(shù)\(y=\sinx+\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的最值情況。答案：將\(y=\sinx+\cosx\)化為\(y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)。在\([0,2\pi]\)上，當\(x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)即\(x=\frac{\pi}{4}\)時，\(y\)取最大值\(\sqrt{2}\)；當\(x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}\)即\(x=\frac{5\pi}{4}\)時，\(y\)取最小值\(-\sqrt{2}\)。3.討論函數(shù)\(y=e^x-x\)的性質(zhì)。答案：求導得\(y^\prime=e^x-1\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)。當\(x\lt0\)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減；\(x\gt0\)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增。\(x=0\)時有極小值\(y(0)=1\)，函數(shù)值域\([1,+\infty)\)，且在\((-\infty,0)\)遞減，\((0,+\infty)\)遞增。4.討論復合函數(shù)求導法則及其應用。答案：復合函數(shù)求導法則：若\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，則\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x\)。應用時先明確復合關系，分層求導再相乘。比如求\(y=\sin(2x+1)\)導數(shù)，令\(u=2x+1\)，\(y=\sinu\)，則\(y^\prime=\cosu\cdot2=2\co